[일반물리학] 25. 교류회로 (1: 교류회로에서의 저항, 인덕터, 축전기)

[일반물리학] 25. 교류회로 (1: 교류회로에서의 저항, 인덕터, 축전기)

전원으로부터 시간에 따라 변하는 전압은 보통 \(\Delta v=\Delta V_{\max}\sin\omega t\)이고 여기서 \(\Delta V_{\max}\)는 전압진폭이다. 시간에 따라 사인 (또는 코사인)모양으로 변하는 전원을 교류전원이라고 한다. 교류전원이 공급된 회로에서 전압, 전류는 시간에 따라 사인모양으로 변하는 교류이다.

교류전원의 각진동수는 \(\displaystyle\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\)이다(\(f\)는 전원의 진동수, \(T\)는 주기).

기호 는 교류전원을 나타내는 기호이다.

왼쪽의 회로는 저항과 교류전원으로 구성된 교류회로다. 키르히호프 법칙으로부터 \(\Delta v-\Delta v_{R}=0\)이고 \(\Delta v=-i_{R}R=0\)이다. 즉 \(\Delta v_{R}=i_{R}R\).

저항에 흐르는 순간전류는 \(\displaystyle i_{R}=\frac{\Delta v}{R}=\frac{\Delta V_{\max}}{R}\sin\omega t=I_{\max}\sin\omega t\)이고 여기서 \(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{R}\)는 최대전류이다. 

저항 양단의 순간전압은 \(\Delta v_{R}=i_{R}R=I_{\max}R\sin\omega t\)이다.

왼쪽의 그래프는 전류와 전압의 그래프이고 오른쪽은 전류와 전압의 위상자도표이다.

전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변한다. 이를 위상이 같다(in phase) 라고 한다.

사인모양의 전압이 걸릴 때, 저항에 흐르는 전류는 저항의 양단에 걸린 전압과 항상 같은 위상에 있다.

*위상자(phase)는 벡터이고, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최댓값에 비례한다.

이 저항회로의 경우, 한 주기에 대한 전류의 평균값은 0이나 전류의 방향은 저항의 영향을 받지 않는다.

에너지가 저항기로 전달되는 비율은 전력 \(P=i^{2}R\)(\(i\)는 저항에 흐르는 순간전류이고 여기서 직류, 교류, 부호는 중요한게 아니다)이다.

교류회로에서 가장 중요한 것은 rms전류(rms Current)라고 하는 전류의 평균값이다. (rms는 제곱-평균-제곱근(root-mean-square)을 나타낸다) rms전류는 전류의 제곱-평균-제곱근을 의미한다. 즉 이는 \(I_{\text{rms}}=\sqrt{(i)^{2}_{\text{avg}}}\)이고 \(i^{2}\)이 \(\sin^{2}\omega t\)에 비례하며 \(i^{2}\)의 시간에 대한 평균값은 \(\displaystyle \frac{1}{2}I_{\max}^{2}\)이기 때문에 rms전류는 \(I_{\text{rms}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}=0.707I_{\max}\)이다.\(\displaystyle\left(\sin^{2}\omega t=\frac{1-\cos2\omega t}{2}\right)\)

교류가 흐르는 저항에 전달되는 평균전력은 \(P_{\text{avg}}=I_{\text{rms}}^{2}R\)이고 rms전압은 \(\displaystyle\Delta V_{\text{rms}}=\frac{\Delta V_{\max}}{\sqrt{2}}=0.707V_{\max}\)이다.

(전기 콘센트로부터 \(120\text{V}\)의 교류전압을 측정한다고 말할 때 이는 \(120\text{V rms}\))전압을 의미한다.

왼쪽 회로는 교류전원과 인덕터로 구성된 회로이다. \(\displaystyle\epsilon_{L}=-L\frac{di_{L}}{dt}\)가 인덕터 양단에 걸린 자체유도된 순간전압이면 키르히호프 법칙으로부터 \(\Delta v-\Delta v_{L}=0\)이므로 \(\displaystyle\Delta v-L\frac{di_{L}}{dt}=0\)이다.(\(i\)는 인덕터 내부를 흐르는 순간전류이고 \(\displaystyle\Delta v=L\frac{di_{L}}{dt}\)는 인덕터 양단의 전압이다.)

\(\displaystyle\Delta v=L\frac{di_{L}}{dt}=\Delta V_{\max}\sin\omega t\)이므로 \(\displaystyle di_{L}=\frac{\Delta V_{\max}}{L}\sin\omega t\)이고 \(\displaystyle i=\frac{\Delta V_{\max}}{L}\int{\sin\omega t dt}=-\frac{\Delta V_{\max}}{\omega L}\cos\omega t\)이다. 이를 \(\sin\)에 대한 식으로 나타내면 \(\displaystyle i_{L}=\frac{\Delta V_{\max}}{\omega L}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\)이고 이는 \(i_{L}\)과 \(\Delta v\)의 위상차가 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}(=90^{\circ})\)임을 뜻한다.

사인형 전압에 의해 인덕터에 흐르는 전류는 항상 인덕터 양단에 걸리는 전압보다 \(90^{\circ}\)(\(\displaystyle\frac{1}{4}\)주기)만큼 뒤쳐져있다.

인덕터 회로에 흐르는 전류는 \(\cos\omega t=\pm 1\)일 때 최댓값에 도달한다.

\(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{\omega L}\)이고 여기서 \(X_{L}=\omega L\)을 유도리액턴스(inductive reactance)라고 하며 단위는 저항과 같은 옴(\(\Omega\))이다.

\(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{X_{L}}\), \(\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta V_{\text{avg}}}{X_{L}}\)이고 \(\displaystyle\Delta v=L\frac{di_{L}}{dt}=\Delta V_{\max}\sin\omega t=I_{\max}X_{L}\sin\omega t\)

왼쪽의 회로는 교류전원과 축전기로 구성된 회로이다. 키르히호프 법칙으로부터 \(\Delta v-\Delta v_{C}=0\)이므로 \(\displaystyle\Delta v-\frac{q}{C}=0\)이다(\(\displaystyle\Delta v_{C}=\frac{q}{C}\)는 축전기 양단에 걸리는 전압이고 \(q\)는 축전기의 순간전하).

그러면 \(q=C\Delta V_{\max}\sin\omega t\)이고 순간전류는 \(\displaystyle i_{C}=\frac{dq}{dt}=\omega C\Delta V_{\max}\cos\omega t=\omega C\Delta V_{\max}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)\)이다.

이는 \(i_{C}\)와 \(\Delta V_{C}\)의 위상이 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}(=90^{\circ})\)만큼 차이가 남을 보여준다.

이 그래프는 위의 회로에 대한 전류와 전압의 그래프를 나타낸 것이다. 사인모양 전압에 대해 전류는 항상 축전기 양단의 전압보다 \(90^{\circ}\)앞섬을 보여준다.

회로에 흐르는 전류는 \(\cos\omega t=\pm1\)일 때 최댓값에 도달한다.

\(\displaystyle I_{\max}=\omega C\Delta V_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{\frac{1}{\omega C}}\)이고 여기서 \(\displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}\)를 용량리액턴스(Capacitive reactance)라 하고 단위는 저항과 같은 옴(\(\Omega\))이다.

\(\displaystyle I_{\max}=\frac{\Delta V_{\max}}{X_{C}}\), \(\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta V_{\text{avg}}}{X_{C}}\)

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning