[일반물리학] 22. 자기장의 원천(1: 비오-사바르 법칙, 앙페르의 법칙)

[일반물리학] 22. 자기장의 원천(1: 비오-사바르 법칙, 앙페르의 법칙)

왼쪽 그림은 비오(Jean-Baptiste Biot)와 사바르(Felix Savart)가 전류가 근처에 있는 자석에 미치는 힘에 관한 정량적인 실험을 하는 그림이다. 이 실험의 결과는 다음과 같다.

1. 자기장 \(d\vec{\text{B}}\)는 \(d\vec{\text{s}}\)(전류방향의 미소변위) 와 \(\vec{\text{r}}\)에 수직이다.

2. \(d\vec{\text{B}}\)의 크기는 \(r^{2}\)(\(d\vec{\text{s}}\)에서 \(P\)까지의 거리)에 반비례한다.

3. \(d\vec{\text{B}}\)의 크기는 전류 \(I\)와 \(d\vec{\text{s}}\)의 크기 \(ds\)에 비례한다.

4. \(d\vec{\text{B}}\)의 크기는 \(\sin\theta\)(\(\theta\)는 \(d\vec{\text{s}}\)와 \(\vec{\text{r}}\)사이의 각)에 비례한다.

이 결과를 비오-사바르 법칙(Biot-Savart law) \(\displaystyle d\vec{\text{B}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Id\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}}{r^{2}}\,\left(\vec{\text{B}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int{\frac{d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}}{r^{2}}}\right)\)으로 나타낼 수 있고 여기서 \(\mu_{0}\)는 자유공간의 투자율(permeability of free space)이고 \(\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\text{T}\cdot\text{m/A}\)이다.

 

왼쪽 그림에서 점 \(P\)가 받는 자기장의 크기를 구하자.

\(\displaystyle d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}=|d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}|\vec{k}=\left[dx\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right]\vec{k}=(dx\cos\theta)\vec{k}\)(\(\vec{k}\)는 지면에서 나오는 방향의 단위벡터)이고

\(\displaystyle d\vec{\text{B}}=(dB)\vec{k}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{dx\cos\theta}{r^{2}}\vec{k}\), \(\displaystyle|\vec{\text{r}}|=r=\frac{a}{\cos\theta}\)이고 \(d\vec{\text{s}}\)가 \(x\)의 음의 값에 위치해 있기 때문에 \(x=-a\tan\theta\)이다.

그러면 \(\displaystyle dx=-a\sec^{2}\theta d\theta=-\frac{ad\theta}{\cos^{2}\theta}\)이므로 \(\displaystyle dB=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{(ad\theta)\cos\theta\cos^{2}\theta}{a^{2}\cos^{2}\theta}=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\cos\theta d\theta\)이고 따라서 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}{\cos\theta d\theta}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\sin\theta_{1}-\sin\theta_{2})\)이다.

도선이 무한히 길면 위치 \(x=-\infty\)와 \(x=+\infty\)사이의 영역에 있는 길이요소에 대해서는 \(\displaystyle\theta_{1}=\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle\theta_{2}=-\frac{\pi}{2}\)이다. (참고: \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{2}-}{\tan x}=\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\frac{\pi}{2}+}{\tan x}=-\infty\))

그러면 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{a}\)이다.

왼쪽 그림을 보면 오른손으로 전선을 감는데 엄지손가락이 윗방향으로 가게 하고 나머지 네손가락은 도선을 감는 방향으로 가게 한다. 이렇게 해서 전류와 자기장의 방향을 결정한다. 오른손 엄지손가락의 방향이 전류의 방향이고, 나머지 감은 네손가락의 방향이 자기장의 방향이다.

왼쪽 그림은 전선의 일부가 곡선모양으로 되어있는 전선이다. 점 \(O\)에서의 자기장의 크기를 구하자.

점 \(O\)에서 \(AA'\)와 \(CC '\)의 전류에 의한 자기장은 0이다. 왜냐하면 \(d\vec{\text{s}}\)와 \(\vec{\text{r}}\)이 평행하기 때문이다.

호 \(AC\)에서 \(d\vec{\text{s}}\)와 \(\vec{\text{r}}\)이 수직이므로 \(|d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}|=ds\)이고 \(\displaystyle d\vec{\text{B}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}}{r^{2}}\)이므로 \(\displaystyle dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Ids}{a^{2}}\)이고 \(\displaystyle B=\int{dB}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a^{2}}\int{ds}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a^{2}s}\)이다. 이때 \(\displaystyle s=\int{ds}=a\theta\)이므로 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\theta\)이다.

전류 \(I\)가 흐르는 반지름이 \(a\)인 원형고리의 중심에서의 자기장은 \(\theta=2\pi\)이므로 이때의 자기장의 세기는 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}2\pi=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{I}{a}\)이다.

왼쪽 그림은 원형 전류도선이다. 점 \(P\)에서의 자기장의 크기를 구하자.

\(d\vec{\text{s}}\)와 \(\vec{\text{r}}\)이 수직이므로 \(|d\vec{\text{s}}\times\vec{\text{r}}|=ds\cdot1\cdot\sin90^{\circ}=ds\), \(r^{2}=a^{2}+x^{2}\)이고

\(\displaystyle dB=|d\vec{\text{B}}|=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{|d\vec{\text{s}}\times\vec{r}|}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{ds}{(a^{2}+x^{2})}\)이다.

\(\displaystyle dB_{x}=dB\cos\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{ds}{(a^{2}+x^{2})}\cos\theta\)이고 \(\displaystyle B_{x}=\oint{dB_{x}}\), \(\displaystyle\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\)이므로 \(\displaystyle B_{x}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\oint{\frac{ds}{a^{2}+x^{2}}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{a}{(a^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\oint{ds}\)이고 \(\oint{ds}=2\pi r\)이므로 \(\displaystyle B_{x}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{a}{(a^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}(2\pi a)=\frac{\mu_{0}Ia^{2}}{2(a^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\)이다.

\(x=0\)이면 이는 전류가 \(I\)이고 반지름이 \(a\)인 원형고리 중심에서의 자기장과 같으며, 즉 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{I}{a}\)이고 원형도선으로부터 매우 먼 \(x\)축의 한 지점에서의 자기장은 \(x\gg a\)이므로 \(\displaystyle B\approx\frac{\mu_{0}Ia^{2}}{2x^{3}}\)이다.

길이가 \(\ell\)인 도선 \(1\)에 작용하는 자기력은 \(\vec{\text{F}_{1}}=I_{1}\vec{\ell}\times\vec{\text{B}_{2}}\)이고 \(\displaystyle F_{1}=I_{1}\ell B_{2}=I_{1}\ell\left(\frac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi a}\right)=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi a}\ell\)이다.

같은 방향으로 전류가 흐르는 평행도체는 서로 끌어당기고, 다른 방향으로 전류가 흐르는 평행도체는 서로 민다.

이때 단위길이당 힘은 \(\displaystyle\frac{F_{B}}{\ell}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I_{1}I_{2}}{a}\)이다.

이를 이용하여 암페어(Ampere)와 쿨롱(Coulomb)의 정의를 내릴 수 있다.

\(1\text{m}\)떨어진 두 긴 평행도선에 같은 전류가 흐를 때, 단위길이당 작용하는 힘이 \(2\times10^{-7}\text{N/m}\)이면 각 도선에 흐르는 전류를 \(1\text{A}\)로 정의한다. 이는 암페어의 정의이다.

도체에 \(1\text{A}\)의 정상전류가 흐른다면 도체의 단면을 통하여 1초동안 흐르는 전하량은 \(1\text{C}\)이다. 이는 쿨롱의 정의이다.

왼쪽 그림은 전류가 흐르는 도선 주변에 나침반을 두어서 자기장의 방향을 나타낸 것이다.

자기장의 세기는 전류 \(I\)에 비례하고 도선으로부터의 거리 \(r\)에 반비례한다.

\(\vec{\text{B}}\)와 \(d\vec{\text{s}}\)는 평행하고 같은 방향이므로 \(\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}=Bds\)이고

\(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B\oint{ds}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r}(2\pi r)=\mu_{0}I\,\left(\oint{ds}=2\pi r\right)\)이다.

이 결과로부터 앙페르의 법칙(Ampere's law) \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I\)으로 나타낼 수 있다. 이는 폐경로에서 \(\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}\)의 선적분의 값이 \(\mu_{0}I\)라는 것을 뜻하고 여기서 \(I\)는 폐경로에 의해 둘러싸인 임의의 면을 통과하는 전체 정상전류이다.

가우스의 법칙은 폐곡면에 따른 \(E\)(전기장)의 면적분이 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)임을 뜻하고

앙페르의 법칙은 폐곡면에 따른 \(B\)(자기장)의 선적분이 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=\mu_{0}I\)임을 뜻한다.

정상전류 \(I\)가 흐르는 도체의 단면의 반지름은 \(R\)이다.

도체 외부에서의 자기장을 구하면 앙페르의 법칙으로부터 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B\oint{ds}=B(2\pi r)=\mu_{0}I\)이므로 \(\displaystyle B=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r}\,(r\geq R)\)이다.

도체 내부에서의 자기장을 구하면 원 2를 통과하는 전류 \(I'\)이 전체전류 \(I\)보다 작으므로 원 2의 반지름을 \(r\)이라 하면 \(\displaystyle\frac{I'}{I}=\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}\)이므로 \(I'=\frac{r^{2}}{R^{2}}I\)이고 앙페르의 법칙으로부터 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{B}}\cdot d\vec{\text{s}}}=B(2\pi r)=\mu_{0}I'=\mu_{0}\left(\frac{r^{2}}{R^{2}}I\right)\)이므로 \(\displaystyle B=\left(\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^{2}}\right)r\,(r<R)\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning