[일반물리학] 20. 직류회로

[일반물리학] 20. 직류회로

회로에 흐르는 방향과 크기가 일정한 전류를 직류(Direct current)라고 하고(약자로 DC) 볼트로 표현되는 전위차를 기전력(Emf)이라고 한다.

전지의 기전력 \(\epsilon\)은 전지의 양단에 공급할 수 있는 최대전압을 말한다.

왼쪽 그림의 위에서 저항값이 \(r\)이고 전지와 함께 점선 사각형 내부에 있는 저항을 내부저항(Internal resistance)라 한다. 내부저항은 전지내부의 전하의 흐름을 방해하는 저항이다.

전지의 단자전압은 \(IR=\Delta V=\epsilon\)(기전력)\(-Ir\)(내부저항에 의한 전압강하)이므로 \(\epsilon=IR+Ir\)이고 \(\displaystyle I=\frac{\epsilon}{R+r}\)이다.

저항 \(R\)이 소비하는 전력은 \(\displaystyle P=I^{2}R=I^{2}R=\frac{\epsilon^{2}R}{(R+r)^{2}}\)이고 \(\displaystyle\frac{dP}{dR}=\frac{\epsilon^{2}(r-R)}{(R+r)^{3}}\)이므로 \(R=r\)일 때 소비전력이 최대이다.

왼쪽 그림은 저항의 직렬연결을 나타낸 것이다.

저항 \(R_{1}\)과 \(R_{2}\)에 흐르는 전류가 \(I\)로 일정하므로 \(\Delta V=IR_{1}+IR_{2}=IR_{\text{eq}}\)이고 따라서

\(R_{\text{eq}}=R_{1}+R_{2}\)이다.

일반적으로 \(R_{\text{eq}}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots\)

이다.

직렬의 단점은 하나라도 끊어지면 모두 끊어진다는 것이다.

왼쪽 그림은 저항의 병렬연결을 나타낸 것이다.

저항 \(R_{1}\)과 \(R_{2}\)에 걸리는 전압이 \(\Delta V\)로 일정하므로 \(I=I_{1}+I_{2}\), \(\displaystyle\frac{\Delta V}{R_{\text{eq}}}=\frac{\Delta V}{R_{1}}+\frac{\Delta V}{R_{2}}\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\)이다.

일반적으로 \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\cdots\)이다.

병렬의 단점은 화재의 위험이 있다는 것이다.

위의 그림은 등가저항을 구하는 과정을 나타낸 것이다.

다음은 회로분석에 사용되는 키르히호프 법칙(Kirchhoff's Rules) 이다.

키르히호프 제 1 법칙(분기점 법칙, Junction rule): 모든 분기점에서 전류의 합은 0이다.(전하량 보존)

                                      \(\displaystyle\sum_{\text{Junction}}{I}=0\)

키르히호프 제 2 법칙(고리법칙, Loop rule): 모든 닫힌 회로에서 각 소자를 지나갈 때, 전위차의 합은 0이다.(에너지 보존)

                               \(\displaystyle\sum_{\text{closed loop}}{\Delta V}=0\)

왼쪽 그림은 RC회로(저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로)이다. 맨 위의 회로는 축전기에 전하가 충전되지 않았고 가운데의 회로는 축전기에 전하를 충전하는 중이고, 맨 밑의 회로는 축전기에 전하를 충전한 후 방전하고 있다.

축전기의 충전(Charging a capacitor)

스위치를 \(a\)로 닫는 순간\((t=0)\), 초기전류 \(\displaystyle I_{i}=\frac{\epsilon}{R}\), 초기전하량 \(q_{i}=0\)이다.

키르히호프 제2법칙을 적용하면 \(\displaystyle\epsilon-\frac{q}{C}-IR=0\)(\(q\)는 순간전하, \(I\)는 순간전류)이고 이때 \(\displaystyle I=\frac{dq}{dt}\)이므로

\(\displaystyle\frac{dq}{dt}=\frac{\epsilon}{R}-\frac{q}{RC}=-\frac{q-C\epsilon}{-C\epsilon}\)이고 \(\displaystyle\frac{dq}{q-C\epsilon}=-\frac{1}{RC}dt\)이다.

그러면 \(\displaystyle\int_{0}^{q}{\frac{1}{q-C\epsilon}dq}=-\int_{0}^{t}{\frac{1}{RC}dt}\)이고 \(\displaystyle\ln\left(\frac{q-C\epsilon}{-C\epsilon}\right)=-\frac{t}{RC}\)이므로

\(\displaystyle q(t)=C\epsilon\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)=Q\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)\)이고 \(\displaystyle I(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{\epsilon}{R}e^{-\frac{t}{RC}}\)이다.

전하량은 \(t=0\)에서 0이고, \(t\,\rightarrow\,\infty\)일때 최댓값 \(C\epsilon(=Q)\)에 수렴한다. 여기서 상수 \(RC\)를 회로의 시간상수(time constant)라 하고 \(\tau=RC\)로 나타낸다.

참고: \(\displaystyle[\tau]=[RC]=\left[\frac{\Delta V}{I}\times\frac{Q}{\Delta V}\right]=\left[\frac{Q}{\frac{Q}{\Delta t}}\right]=[\Delta t]\)

축전기의 방전(Discharging a capacitor)

키르히호프 제 2법칙을 적용하면 \(\displaystyle-\frac{q}{C}-IR=0\)이고 이때 \(\displaystyle I=\frac{dq}{dt}\)이므로 \(\displaystyle-R\frac{dq}{dt}=\frac{q}{C}\)이고 \(\displaystyle\frac{dq}{q}=-\frac{1}{RC}dt\)이다.

그러면 \(\displaystyle\int_{Q}^{q}{\frac{dq}{q}}=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}{dt}=-\frac{t}{RC}\)이고 \(\displaystyle\ln\left(\frac{q}{Q}\right)=-\frac{t}{RC}\)이므로

\(\displaystyle q(t)=Qe^{-\frac{t}{RC}},\,I(t)=\frac{dq}{dt}=-\frac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)이다.

검류계(Galvanometer)는 전류와 전압을 측정하기 위한 아날로그 측정기의 가장 중요한 요소이다.

전류계(Ammeter)는 전류를 측정하는 측정기이며 이상적인 전류계의 내부저항은 0이다. 또한 전압계(Voltmeter)는 전압을 측정하는 측정기이며 이상적인 전압계의 내부저항은 무한대(흐르는 전류가 0)이다.

전류계는 직렬연결하고 전압계는 병렬연결한다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning