[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (1: 전기용량)

[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (1: 전기용량)

크기는 같지만 부호가 서로 반대인 전하로 대전되어 있는 두 도체의 배열을 축전기(Capacitor)라 하고 이 두 도체들을 판이라 한다.

축전기의 전기용량(Capacitance) \(C\)는 두 도체 사이의 전위차의 크기에 대한 한쪽 도체의 전하량의 크기로 정의된다.(전기용량은 항상 양(+)의 값이다)

\(\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}\,(Q=C\Delta V)\)이고 SI단위는 \(\text{F}\)(패럿)이다. 즉, \(1\text{F}=1\text{C/V}\)

*전기용량을 높이는 방법

(1) 면적(\(A\))을 늘이고 간격(\(d\))을 좁힌다.

(2) 도체 사이에 부도체를 끼워넣는다.

축전기의 전기용량은 다음과 같이 계산한다.

(1) 대전된 구형 도체

\(\displaystyle V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\int_{a}^{b}{E_{r}dr}=-k_{e}Q\int_{a}^{b}{\frac{1}{r^{2}}dr}=-k_{e}Q\frac{b-a}{ab}\)이므로

\(\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{|V_{b}-V_{a}|}=\frac{ab}{k_{e}(b-a)}\)이다.

이때 \(b\,\rightarrow\,\infty\)이면 \(\displaystyle C=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\frac{ab}{k_{e}(b-a)}}=\frac{a}{k_{e}}=4\pi\epsilon_{0}a\)이고 이는 반지름이 \(a\)인 대전된 구만 있을 때와 같다.

실제로 반지름이 \(a\)인 대전된 구만 있을 때 이 구의 전기용량은 \(\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{k_{e}\frac{Q}{a}}=\frac{a}{k_{e}}=4\pi\epsilon_{0}a\,\left(\Delta V=k_{e}\frac{Q}{a}\right)\)이다.

(2) 평행판 축전기

판 사이의 전기장은 균일하고 그 이외의 곳의 전기장은 0이다.

\(\displaystyle E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}=\frac{Q}{\epsilon_{0}A}\)이므로 \(\displaystyle\Delta V=Ed=\frac{Qd}{\epsilon_{0}A}\)이고 따라서 \(\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{\frac{Qd}{\epsilon_{0}A}}=\epsilon_{0}\frac{A}{d}\)이다.

이는 평행판 축전기의 전기용량이 판의 면적(\(A\))에 비례하고 판 사이의 간격(\(d\))에 반비례 함을 뜻한다.

(3) 원통형 축전기

\(\displaystyle V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\int_{a}^{b}{E_{r}dr}\,(\vec{\text{E}}//\vec{\text{s}})\)이므로

\(\displaystyle V_{b}-V_{a}=-2k_{e}\lambda\int_{a}^{b}{\frac{1}{r}dr}=-2k_{e}\lambda\ln\frac{b}{a}\)이고

\(\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{\left(2k_{e}\frac{Q}{\ell}\right)\ln\left(\frac{b}{a}\right)}=\frac{\ell}{2k_{e}\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\,\left(\lambda=\frac{Q}{\ell}\right)\)이다.

이때 단위길이당 전기용량은 \(\displaystyle\frac{C}{\ell}=\frac{1}{2k_{e}\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\)이다.

위의 그림은 왼쪽부터 축전기, 배터리(전원), 스위치의 회로기호이다.

축전기의 병렬연결(Parallel combination)

병렬연결의 경우 전압이 일정하고(\(\Delta V_{1}=\Delta V_{2}=\Delta V\)), \(\displaystyle Q_{1}=\frac{C_{1}}{\Delta V_{1}}=\frac{C_{1}}{\Delta V},\,Q_{2}=\frac{C_{2}}{\Delta V_{2}}=\frac{C_{2}}{\Delta V}\)이며, 전하량은 두 축전기의 전하량의 합과 같으므로 \(Q=Q_{1}+Q_{2}\) 따라서 \(C=C_{1}+C_{2}\)이다.

일반적으로 축전기를 병렬연결했을 때 총 전기용량(등가 전기용량, Equivalence capacitance)은 다음과 같다.

\(C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\cdots\)

축전기의 직렬연결(Series combination)

직렬연결의 경우 전하량이 동일하고(\(Q_{1}=Q_{2}=Q\)) \(\displaystyle \Delta V_{1}=\frac{Q_{1}}{C_{1}}=\frac{Q}{C_{1}}\), \(\displaystyle\Delta V_{2}=\frac{Q_{2}}{C_{2}}=\frac{Q}{C_{2}}\)이며 \(\Delta V=\Delta V_{1}+\Delta V_{2}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\)이다.

일반적으로 축전기를 직렬연결했을 때 총 전기용량(등가 전기용량)은 다음과 같다.

\(\displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}+\cdots\)

위의 그림은 등가 전기용량을 구하는 과정을 나타낸 것이다.

전하가 \(-q\)인 판으로부터 \(+q\)인 판(높은 전위)으로 미소전하 \(dq\)를 옮기는데 필요한 일은 \(\displaystyle dW=\Delta Vdq=\frac{Q}{C}dq\,\left(\Delta V=\frac{q}{C}\right)\)이다.

\(q=0\)으로부터 나중의 \(q=Q\)까지 축전기를 충전시키는데 필요한 전체 일은 \(\displaystyle W=\int_{0}^{Q}{\frac{q}{C}dq}=\frac{1}{C}\int_{0}^{Q}{qdq}=\frac{Q^{2}}{2C}\)이다.

대전된 축전기에 저장된 위치에너지는 \(\displaystyle U=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}Q\Delta V=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}\)이고 전위차 \(\Delta V=Ed\), 전기용량 \(\displaystyle C=\epsilon_{0}\frac{A}{d}\)이므로 \(\displaystyle U=\frac{1}{2}\epsilon_{0}\frac{A}{d}(Ed)^{2}=\frac{1}{2}\epsilon_{0}(Ad)E^{2}\)이다. 이때 단위부피당 에너지(에너지 밀도)는 \(\displaystyle u_{E}=\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}\left(=\frac{U}{Ad}\right)\)이고 전기장 내부의 에너지밀도는 전기장 크기의 제곱에 비례함을 알 수 있다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning