[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (1: 전기용량)
크기는 같지만 부호가 서로 반대인 전하로 대전되어 있는 두 도체의 배열을 축전기(Capacitor)라 하고 이 두 도체들을 판이라 한다.
축전기의 전기용량(Capacitance) C는 두 도체 사이의 전위차의 크기에 대한 한쪽 도체의 전하량의 크기로 정의된다.(전기용량은 항상 양(+)의 값이다)
C=QΔV(Q=CΔV)이고 SI단위는 F(패럿)이다. 즉, 1F=1C/V
*전기용량을 높이는 방법
(1) 면적(A)을 늘이고 간격(d)을 좁힌다.
(2) 도체 사이에 부도체를 끼워넣는다.
축전기의 전기용량은 다음과 같이 계산한다.
(1) 대전된 구형 도체
Vb−Va=−∫ba→E⋅d→s=−∫baErdr=−keQ∫ba1r2dr=−keQb−aab이므로
C=QΔV=Q|Vb−Va|=abke(b−a)이다.
이때 b→∞이면 C=lim이고 이는 반지름이 a인 대전된 구만 있을 때와 같다.
실제로 반지름이 a인 대전된 구만 있을 때 이 구의 전기용량은 \displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{k_{e}\frac{Q}{a}}=\frac{a}{k_{e}}=4\pi\epsilon_{0}a\,\left(\Delta V=k_{e}\frac{Q}{a}\right)이다.
(2) 평행판 축전기
판 사이의 전기장은 균일하고 그 이외의 곳의 전기장은 0이다.
\displaystyle E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}=\frac{Q}{\epsilon_{0}A}이므로 \displaystyle\Delta V=Ed=\frac{Qd}{\epsilon_{0}A}이고 따라서 \displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{\frac{Qd}{\epsilon_{0}A}}=\epsilon_{0}\frac{A}{d}이다.
이는 평행판 축전기의 전기용량이 판의 면적(A)에 비례하고 판 사이의 간격(d)에 반비례 함을 뜻한다.
(3) 원통형 축전기
\displaystyle V_{b}-V_{a}=-\int_{a}^{b}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\int_{a}^{b}{E_{r}dr}\,(\vec{\text{E}}//\vec{\text{s}})이므로
\displaystyle V_{b}-V_{a}=-2k_{e}\lambda\int_{a}^{b}{\frac{1}{r}dr}=-2k_{e}\lambda\ln\frac{b}{a}이고
\displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{\left(2k_{e}\frac{Q}{\ell}\right)\ln\left(\frac{b}{a}\right)}=\frac{\ell}{2k_{e}\ln\left(\frac{b}{a}\right)}\,\left(\lambda=\frac{Q}{\ell}\right)이다.
이때 단위길이당 전기용량은 \displaystyle\frac{C}{\ell}=\frac{1}{2k_{e}\ln\left(\frac{b}{a}\right)}이다.
위의 그림은 왼쪽부터 축전기, 배터리(전원), 스위치의 회로기호이다.
축전기의 병렬연결(Parallel combination)
병렬연결의 경우 전압이 일정하고(\Delta V_{1}=\Delta V_{2}=\Delta V), \displaystyle Q_{1}=\frac{C_{1}}{\Delta V_{1}}=\frac{C_{1}}{\Delta V},\,Q_{2}=\frac{C_{2}}{\Delta V_{2}}=\frac{C_{2}}{\Delta V}이며, 전하량은 두 축전기의 전하량의 합과 같으므로 Q=Q_{1}+Q_{2} 따라서 C=C_{1}+C_{2}이다.
일반적으로 축전기를 병렬연결했을 때 총 전기용량(등가 전기용량, Equivalence capacitance)은 다음과 같다.
C_{\text{eq}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\cdots
축전기의 직렬연결(Series combination)
직렬연결의 경우 전하량이 동일하고(Q_{1}=Q_{2}=Q) \displaystyle \Delta V_{1}=\frac{Q_{1}}{C_{1}}=\frac{Q}{C_{1}}, \displaystyle\Delta V_{2}=\frac{Q_{2}}{C_{2}}=\frac{Q}{C_{2}}이며 \Delta V=\Delta V_{1}+\Delta V_{2}이므로 따라서 \displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}이다.
일반적으로 축전기를 직렬연결했을 때 총 전기용량(등가 전기용량)은 다음과 같다.
\displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}+\cdots
위의 그림은 등가 전기용량을 구하는 과정을 나타낸 것이다.
전하가 -q인 판으로부터 +q인 판(높은 전위)으로 미소전하 dq를 옮기는데 필요한 일은 \displaystyle dW=\Delta Vdq=\frac{Q}{C}dq\,\left(\Delta V=\frac{q}{C}\right)이다.
q=0으로부터 나중의 q=Q까지 축전기를 충전시키는데 필요한 전체 일은 \displaystyle W=\int_{0}^{Q}{\frac{q}{C}dq}=\frac{1}{C}\int_{0}^{Q}{qdq}=\frac{Q^{2}}{2C}이다.
대전된 축전기에 저장된 위치에너지는 \displaystyle U=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}Q\Delta V=\frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}이고 전위차 \Delta V=Ed, 전기용량 \displaystyle C=\epsilon_{0}\frac{A}{d}이므로 \displaystyle U=\frac{1}{2}\epsilon_{0}\frac{A}{d}(Ed)^{2}=\frac{1}{2}\epsilon_{0}(Ad)E^{2}이다. 이때 단위부피당 에너지(에너지 밀도)는 \displaystyle u_{E}=\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}\left(=\frac{U}{Ad}\right)이고 전기장 내부의 에너지밀도는 전기장 크기의 제곱에 비례함을 알 수 있다.
참고자료
대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐
Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning
'기초자연과학 > 일반물리학 이론(전자기학)' 카테고리의 다른 글
[일반물리학] 19. 전류와 저항 (0) | 2017.07.01 |
---|---|
[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (2: 유전체) (0) | 2017.06.29 |
[일반물리학] 17. 전위 (2) (0) | 2017.06.26 |
[일반물리학] 17. 전위 (1) (0) | 2017.06.25 |
[일반물리학] 16. 가우스의 법칙 (0) | 2017.06.24 |