[일반물리학] 16. 가우스의 법칙

[일반물리학] 16. 가우스의 법칙

전기력선은 전기장에 수직인 방향으로 놓여있는 면적이 \(A\)인 사각형의 단면을 통과한다. 전기장의 세기 \(E\)와 전기장에 수직인 면의 면적 \(A\)의 곱을 전기선속(Electric flux) \(\Phi_{E}\)라 한다.

즉 \(\Phi_{E}=EA\)이고 SI단위는 \(\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}\)이다. (전기선속은 어떤 면을 통과하는 전기력선의 수에 비례한다.)

면이 전기장의 방향과 수직으로 놓여있지 않으면 면 \(A\)를 통과하는 전기선속은 \(\Phi_{E}=EA_{\perp}=EA\cos\theta\)이다. (\(A_{\perp}=A\cos\theta\))

면적요소 \(\Delta A_{i}\)를 통과하는 전기선속은 \(\Delta \Phi_{E}=E_{i}\Delta A_{i}\cos\theta=\vec{\text{E}_{i}}\cdot\Delta\vec{\text{A}_{i}}\)(\(\Delta\vec{\text{A}_{i}}\)는 면적벡터)이고 전기선속의 일반적인 정의는 \(\displaystyle\Phi_{E}=\lim_{\Delta A_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{\vec{\text{E}_{i}}\cdot\Delta\vec{A}_{i}}}=\int_{\text{surface}}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}\)이다.

표면을 통과하는 알짜선속은 표면을 통과하는 알짜 전기력선의 수에 비례한다. 알짜 전기력선은 나가는 전기력선의 수를 들어오는 전기력선의 수로 뺀 값이다.

즉 알짜 전기력선의 수=나가는 전기력선의 수-들어오는 전기력선의 수

알짜선속은 \(\displaystyle\Phi_{E}=\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\oint{E_{n}dA}\)(폐곡면에 대한 적분) 이고 여기서 \(E_{n}\)은 표면에 수직인 전기장 성분이다.

왼쪽 그림에서 전기장의 크기는 균일하고 그림과 같이 정육면체의 단면을 통과한다.

이 정육면체를 통과하는 알짜 전기선속을 \(\Phi_{E}\)라 하면 \(\displaystyle\Phi_{E}=\int_{1}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}+\int_{2}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}\)이다.

\(\displaystyle\int_{1}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{A}}=\int_{1}{E(\cos180^{\circ})dA}=-E\int_{1}{dA}=-EA=-E\ell^{2}\)

\(\displaystyle\int_{2}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{A}}=\int_{2}{E(\cos0^{\circ})dA}=E\int_{2}{dA}=EA=E\ell^{2}\)

이므로 따라서 \(\Phi_{E}=-E\ell^{2}+E\ell^{2}+0+0+0+0=0\)이다.

구면에서 전기장의 세기는 \(\displaystyle E=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\)이고 \(\vec{\text{E}}//\Delta\vec{\text{A}_{i}}\)이므로 \(\vec{\text{E}}\cdot\Delta\vec{\text{A}_{i}}=E\Delta A_{i}\)이다.

그러면 폐곡면(가우스면: 전하 \(q\)를 둘러쌓는 면)을 통과하는 알짜선속은 \(\displaystyle\Phi_{E}=\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\oint{EdA}=E\oint{dA}\)이고 표면이 구면이므로 \(\displaystyle\oint{dA}=A=4\pi r^{2}\)이다.

따라서 \(\displaystyle\Phi_{E}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}(4\pi r^{2})=4\pi k_{e}q\)이고 \(\displaystyle k_{e}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\)이므로 \(\displaystyle\Phi_{E}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\)이다.(\(\epsilon_{0}\)은 자유공간의 유전율.)

점전하 \(q\)를 둘러싼 폐곡면을 지나는 알짜선속은 폐곡면의 모양에 무관하고 폐곡면 내부의 전하량에만 의존한다고 할 수 있으며, 크기는 항상 \(\displaystyle\frac{q}{\epsilon_{0}}\)이다. 이는 알짜선속이 알짜 전기력선 수에 비례함을 뜻하고 전하를 포함하지 않는 폐곡면을 통과하는 경우의 알짜 전기선속은 \(0\)이다.

여러개의 점 전하가 있는 경우 또는 연속적으로 전하가 분포되어 있는 경우, 여러개의 전하에 의해 만들어진 전기장은 각각의 전하에 의한 전기장들의 벡터합으로 주어진다.

\(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\oint{(\vec{\text{E}_{1}}+\vec{\text{E}_{2}}+\cdots)\cdot d\vec{\text{A}}}\)

이 결과들을 일반화해서 얻어지는 가우스의 법칙(Gauss's law)은 "임의의 폐곡면을 통과하는 알짜선속은 \(\displaystyle\Phi_{E}=\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=\frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_{0}}\)으로 주어진다"이다. 여기서 \(\vec{\text{E}}\)는 표면상의 각 점에서의 전기장, \(q_{\text{in}}\)은 표면 내부에 존재하는 알짜전하이다.

주의할 점은 \(q_{\text{in}}\)가 가우스면 내부에 존재하는 알짜 전하만을 의미하지만 전기장 \(\vec{\text{E}}\)는 가우스면 내부와 외부에 있는 모든 전하에 의해 만들어지는 전체 전기장이다.

전하분포는 다음과 같이 네 가지 경우가 있다.

1. 주어진 대칭성 때문에 전기장의 크기가 가우스면 상에서 일정한 크기의 상수가 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우

2. 전기장 \(\vec{\text{E}}\)와 면적요소벡터 \(d\vec{\text{A}}\)가 평행하기 때문에 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}=EdA\)로 주어지는 경우

3. \(\vec{\text{E}}\)와 \(d\vec{\text{A}}\)가 수직이기 때문에 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}=0\)으로 주어지는 경우

4. 전기장이 가우스면 상에서 0이 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우

왼쪽 그림의 구는 반지름이 \(a\)이고 속이 꽉 찬 부도체 구이다. 이 구의 부피 전하밀도는 \(\rho\)이고 전체 양전하 \(Q\)를 가진다.

구 밖의 한 점에서 전기장의 크기를 구하면 전하분포가 구면 대칭(전하가 구 전체에 균일하게 분포)이므로 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}=EdA\)이고 \(\displaystyle\Phi_{E}=\oint{EdA}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\), \(\displaystyle\oint{EdA}=E\oint{dA}=E(4\pi r^{2})=\frac{Q}{\epsilon}\,\left(\oint{dA}=A=4\pi r^{2}\right)\)이다. 따라서 구 바깥의 한 점에서의 전기장의 크기는 \(\displaystyle E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}=k_{e}\frac{Q}{r^{2}}\,(r>a)\)이다.

구 내부의 한 점에서 전기장의 크기를 구하자. 가우스면 내부의 부피를 \(V\)라 하면, 가우스면 내부의 전하는 \(\displaystyle q_{\text{in}}=\rho V=\rho\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)\)이고 \(\displaystyle\oint{EdA}=E\oint{dA}=E(4\pi r^{2})=\frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_{0}}\)이다. 따라서 구 내부의 한 점에서 전기장의 크기는 \(\displaystyle E=\frac{q_{\text{in}}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}=\frac{\rho}{3\epsilon_{0}}r=k_{e}\frac{Q}{a^{3}}r\,(r<a)\)이다.

이때 \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,a+}{\left(k_{e}\frac{Q}{r^{2}}\right)}=k_{e}\frac{Q}{a^{2}}=\lim_{r\,\rightarrow\,a-}{\left(k_{e}\frac{Q}{a^{3}}r\right)}\)이므로 전기장의 크기가 연속적으로 변한다.

왼쪽 그림의 무한히 긴 도선은 단위길이당 양전하의 크기가 \(\lambda\)의 크기로 균일하게 대전되어 있다.

외부의 자기선속은 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=E\oint{dA}=E(2\pi r\ell)=4\pi k_{e}(\ell\lambda)\)이므로 외부에서의 전기장의 크기는 \(\displaystyle E=\frac{2k_{e}\lambda}{r}\)이다.

내부의 자기선속은 \(\displaystyle\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=4\pi k_{e}(\rho\pi r^{2}\ell)=E=2k_{e}\rho\pi r\)이므로 내부에서의 전기장의 크기는 \(\displaystyle E=\frac{2k_{e}\lambda}{R^{2}}r\)이다.

왼쪽 그림의 무한평면은 양면에 양전하가 표면전하밀도 \(\sigma\)로 균일하게 대전되어 있다. 이 평면에 의한 전기장의 크기를 구하면

\(\displaystyle\Phi_{E}=\oint{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{A}}}=2EA=\frac{Q}{\epsilon_{0}}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma Q}{\epsilon_{0}}\)이므로 \(\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\)이다.

도체 내부에 전하의 알짜운동이 없을 경우 정전기적 평형상태에 있다고 한다.

1. 도체 내부가 채워지거나 비어있거나 상관없이, 도체 내부의 어느 위치에서나 전기장은 0이다.

2. 고립된 도체에 생긴 과잉전하는 도체 표면에만 분포한다.

3. 대전되어 있는 도체 표면 바로 바깥의 전기장은 도체 표면에 수직이고 \(\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\)의 크기를 갖는다(\(\sigma\)는 표면 전하밀도이다).

4. 불규칙한 모양을 가지는 도체의 경우, 표면전하밀도는 뾰족한 점에서 가장 크다.

도체의 표면에만 알짜전하가 분포할 수 있다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning