[일반물리학] 17. 전위 (2)

[일반물리학] 17. 전위 (2)

거리가 \(ds\)만큼 떨어져 있는 두 점 사이의 전위차는 \(dV=-\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}\)이다.

전기장이 단 하나의 성분 \(E_{x}\)만을 가지면 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=E_{x}dx\)이고 따라서 \(dV=-E_{x}dx\)이며 \(\displaystyle\frac{dV}{dx}=-E_{x}\)이다.

시험전하가 등전위면을 따라 \(d\vec{\text{s}}\)만큼 이동할 때, 전위는 등전위면을 따라 일정하기 때문에 \(dV=-\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=0\)이고 이 사실로부터 등전위면과 등전위면을 지나는 전기력은 항상 수직(\(\vec{\text{E}}\perp d\vec{\text{s}}\))임을 알 수 있다.

전기장을 생성하는 전하분포가 구면대칭이면 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=E_{r}dr,\,dV=-E_{r}dr\)이므로 \(\displaystyle E_{r}=-\frac{dV}{dr}\)이다.

만약 전위가 \(V(x,\,y,\,z)\)이면, 전기장은 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=-\nabla V=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\vec{k}\right)\)이고 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x},\,E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y},\,E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}\)이다.

왼쪽 그림에서 \(y\)축 위의 점 \(P\)에서의 전위는 \(\displaystyle V_{P}=k_{e}\sum_{i}{\frac{q_{i}}{r_{i}}}=k_{e}\left(\frac{q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}-\frac{q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}\right)=0\),

\(x\)축 위의 점 \(R\)에서의 전위는 \(\displaystyle V_{R}=k_{e}\sum_{i}{\frac{q_{i}}{r_{i}}}=k_{e}\left(\frac{-q}{x-a}+\frac{q}{x+a}\right)=-\frac{2k_{e}qa}{x^{2}-a^{2}}\)이다.

\(x\gg a\)이면 \(\displaystyle V_{R}=\lim_{x\gg a}{\left(-\frac{2k_{e}qa}{x^{2}-a^{2}}\right)}\approx-\frac{2k_{e}qa}{x^{2}}\)이고 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{dV}{dx}=-\frac{4k_{e}qa}{x^{3}}\)이다.

왼쪽 그림은 연속적인 전하분포를 나타낸 그림이다. 연속전하 \(dq\)에 의한 점 \(P\)에서의 전위는 \(\displaystyle dV=k_{e}\frac{1}{r}dq\)이고 전체 전위는 \(\displaystyle V=k_{e}\int{\frac{1}{r}dq}\)이다.

점 \(P\)에서의 전위가 \(V\)이고 금속 고리의 중심에서 점 \(P\)까지의 거리가 x, 금속 고리의 반지름은 \(a\)이다.

점 \(P\)에서의 전위 \(V\)를 구하면

\(\displaystyle V=k_{e}\int{\frac{1}{r}dq}=k_{e}\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dq}=\frac{k_{e}Q}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\)이고

점 \(P\)에서의 전기장은 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{dV}{dx}=\frac{k_{e}Q}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)이다.

점 \(P\)에서의 전위는 \(V\)이고 원판의 중심에서 점 \(P\)까지의 거리는 \(x\)이다.

점 \(P\)에서의 전위 \(V\)를 구하면 \(dq=\sigma dA=\sigma(2\pi rdr)\)이므로

\(\displaystyle dV=\frac{k_{e}}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}}dr=\frac{2k_{e}\sigma\pi r}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}}dr\)이고 \(\displaystyle V=\pi k_{e}\sigma\int_{0}^{R}{\frac{2r}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}}dr}=2\pi k_{e}\sigma(\sqrt{R^{2}+x^{2}}-x)\)이다.

점 \(P\)에서의 전기장은 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{dV}{dx}=2\pi k_{e}\sigma\left[1-\frac{x}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\right]\)이다.

점 \(P\)에서의 전위는 \(V\)이고 왼쪽 그림의 막대의 한쪽 끝부분(점 \(O\))에서 점 \(P\)까지의 거리는 \(a\)이다. 점 \(P\)에서의 전위 \(V\)를 구하면

\(\displaystyle dq=k_{e}\frac{1}{r}dq=k_{e}\frac{\lambda}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx\)이므로

\(\displaystyle V=\int_{0}^{\ell}{k_{e}\frac{\lambda}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx}=k_{e}\frac{Q}{\ell}\ln\left(\frac{\ell+\sqrt{a^{2}+\ell^{2}}}{a}\right)\,\left(\lambda=\frac{Q}{\ell}\right)\)이다.

평형 상태에 있는 대전된 도체 표면 상에 있는 모든 점의 전위는 같다. 따라서 왼쪽 그림의 두 점 (A)와 (B)의 전위차는 0이다.

즉, \(\displaystyle V_{(B)}-V_{(A)}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=0\,(\vec{\text{E}}\perp d\vec{\text{s}})\)

정전기적 평형상태에 있는 대전된 도체 표면은 등전위면을 이루며 또한 도체 내부의 전기장이 0이므로 도체 내부의 모든 점에서의 전위는 일정하며 그 표면의 전위와 같다.

왼쪽 그림에서 도체 내부의 전기장 \(\vec{\text{E}}=\vec{0}\)이고 도체 바로 바깥의 전기장은 도체 표면에 수직인 방향이다. 또한 전기장 방향이 일정하지 않은 것은 표면 전하밀도가 일정하지 않음을 의미한다.

내부에 빈 공간을 가진 도체의 경우, 빈 공간 내부의 전기장은 도체 표면의 전하분포와 무관하게 항상 0이다. 도체 벽으로 둘러싸인 빈 공간은 그 내부에 전하가 없다면 전기장이 없는 영역이다.

벼락이 칠때 비행기와 자동차 내부가 안전한 것이 이 때문이다.

왼쪽 그림은 밀리컨(Millikan)의 기름방울 실험을 나타낸 것이다. 밀리컨은 기본 전하량의 크기인 \(e\)를 측정하는 실험을 수행하여 전하가 양자화 되어 있음을 보였다.

위의 그림에서 왼쪽의 경우는 전기장이 없을 때 저항력이 커지고 중력이 작아져서 일정한 속도로 하강하는 모습이고 오른쪽의 경우, 전기장이 있을 때 전기력이 커지고 중력과 저항력을 합한 힘이 작아져서 초당 \(\displaystyle\frac{1}{100}\text{cm}\)의 속도로 위로 상승하는 모습이다.

(비가 내릴때 빗방울을 맞아도 아프지 않은 이유는 처음에 중력가속도로 떨어지지만 나중에 종단속도로 떨어지기 때문이다.)

위의 그림에서 왼쪽은 밴 더 그래프 가속기(The Van de Graaff Generator)이고 오른쪽 그림은 정전기 집진기(The electrostatic precipitator)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning