[일반물리학] 15. 전기장 (2: 전기장)

[일반물리학] 15. 전기장 (2: 전기장)

장힘(Field force)은 공간을 통해 작용하므로 물체 사이의 물리적인 접촉없이 상호작용이 일어난다.

전기장(Electric field)은 원천전하(Source charge)인 대전체 주변의 공간영역에 존재하고 시험전하(Test charge)인 다른 대전체가 전기장에 들어가면 전기력의 영향을 받는다.

전기장 벡터(Electric field vector)는 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=\frac{\vec{\text{F}}}{q_{0}}\)이고 SI단위는 \(\text{N/C}\)이다. 여기서 \(\vec{\text{F}_{e}}\)는 시험전하에 작용하는 전기력이고, \(q_{0}\)는 시험전하이다. 이때 \(\vec{\text{E}}\)는 시험전하에 의해 생성되지 않는다(시험전하는 검출기 역할을 한다).

왼쪽 그림은 어느 점에서 시험전하가 전기력을 받으면, 그 점에는 전기장이 존재함을 보여준다.

\(\vec{\text{F}_{e}}=q\vec{\text{E}}\)

\(q>0\)이면 힘의 방향은 전기장의 방향과 같고, \(q<0\)이면 힘의 방향은 전기장의 방향과 반대이다.

원천전하 \(q\)가 시험전하 \(q_{0}\)에 작용하는 힘과 자기장은 각각 \(\displaystyle\vec{\text{F}_{e}}=k_{e}\frac{qq_{0}}{r^{2}}\vec{\text{r}}\), \(\displaystyle\vec{E}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\vec{\text{r}}\)(\(\vec{\text{r}}\)은 \(q\)에서 \(q_{0}\)로 향하는 단위벡터이다)이다. 점 P에서 다수의 원천전하에 의한 전기장은 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=k_{e}\sum_{i}{\frac{q_{i}}{r_{i}^{2}}}\vec{\text{r}_{i}}\)이다.

\(y\)축에 있는 점 \(P\)에 전기장 \(\vec{\text{E}_{1}}\)과 \(\vec{\text{E}_{2}}\)가 작용하고 있다. 이때 점 \(P\)에서의 알짜 전기장 성분을 구하자. \(\displaystyle|\vec{\text{E}_{1}}|=E_{1}=k_{e}\frac{|q_{1}|}{r_{1}^{2}}=k_{e}\frac{|q_{1}|}{a^{2}+y^{2}}\), \(\displaystyle|\vec{\text{E}_{2}}|=E_{2}=k_{e}\frac{|q_{2}|}{r_{2}^{2}}=k_{e}\frac{|q_{2}|}{b^{2}+y^{2}}\)이므로

\(\displaystyle\vec{\text{E}_{1}}=k_{e}\frac{|q_{1}|}{a^{2}+y^{2}}\cos\phi\vec{i}+k_{e}\frac{|q_{1}|}{a^{2}+y^{2}}\sin\phi\vec{j}\), \(\displaystyle\vec{\text{E}_{2}}=k_{e}\frac{|q_{2}|}{b^{2}+y^{2}}\cos\theta\vec{i}-k_{e}\frac{|q_{2}|}{b^{2}+y^{2}}\sin\theta\vec{j}\)이고

따라서 알짜 전기장은 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=\vec{\text{E}_{1}}+\vec{\text{E}_{2}}=\left(k_{e}\frac{|q_{1}|}{a^{2}+y^{2}}\cos\phi+k_{e}\frac{|q_{2}|}{b^{2}+y^{2}}\cos\theta\right)\vec{i}+\left(k_{e}\frac{|q_{1}|}{a^{2}+y^{2}}\sin\phi-k_{e}\frac{|q_{2}|}{b^{2}+y^{2}}\sin\theta\right)\vec{j}\)

이다.

왼쪽 그림에서 점 \(P\)에서 전하 \(\Delta q\)로 대전된 전하요소에 의한 전기장은 \(\displaystyle\Delta\vec{\text{E}}=k_{e}\frac{\Delta q}{r^{2}}\vec{\text{r}}\)이고, 점 \(P\)에서 전하분포에 있는 모든 전하요소에 의한 전체 전기장은 다음과 같다.

\(\displaystyle\vec{\text{E}}=k_{e}\lim_{\Delta q_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{\frac{\Delta q_{i}}{r_{i}^{2}}\vec{\text{r}_{i}}}}=k_{e}\int{\frac{dq}{r^{2}}}\vec{\text{r}}\)(적분구간은 전체 전하분포의 영역이다.)

전하 \(Q\)가 부피 \(V\)에 균일하게 분포하면, 부피전하밀도(Volume charge density)는 \(\displaystyle\rho=\frac{Q}{V}\)이고 단위는 \(\text{C}/\text{m}^{3}\)

전하 \(Q\)가 면적 \(A\)에 균일하게 분포하면, 표면전하밀도(Surface charge density)는 \(\displaystyle\sigma=\frac{Q}{A}\)이고 단위는 \(\text{C}/\text{m}^{2}\)

전하 \(Q\)가 길이 \(l\)에 균일하게 분포하면, 선전하밀도(Linear charge density)는 \(\displaystyle\lambda=\frac{Q}{l}\)이고 단위는 \(\text{C}/\text{m}^{3}\)

전하가 부피, 면, 선에 따라서 균일하게 분포하지 않는 경우, 작은 부피요소, 면적요소, 길이요소의 전하량은

부피의 경우 \(dq=\rho dV\), 면적의 경우 \(dq=\sigma dA\), 길이의 경우 \(dq=\lambda dx\).

왼쪽 그림의 막대는 길이가 \(l\)이고 이 막대 전체에 양전하 \(+Q\)가 단위길이당 전하 \(\lambda\)로 고르게 퍼져있다. \(dx\)를 작은 조각 1개의 길이, \(dq\)를 작은 조각의 전하량이라고 하면 \(dq=\lambda dx\)이므로

\(\displaystyle dE=k_{e}\frac{dq}{x^{2}}=k_{e}\frac{\lambda dx}{x^{2}}\)이고 따라서 \(\displaystyle E=\int_{a}^{l+a}{k_{e}\frac{\lambda}{x^{2}}dx}=\frac{k_{e}Q}{a(l+a)}\)이다. 이때 \(a\gg l\)(\(a\)가 \(l\)에 비해 무시할 수 있을 정도로 큼)이면 \(\displaystyle E\approx k_{e}\frac{Q}{a^{2}}\)이다.

전기장 벡터 \(\vec{\text{E}}\)는 각 점에서 전기장의 접선성분이다. 전기력선의 방향은 전기장 안에 놓인 양(+)의 시험전하가 받는 힘의 방향이다.

전기력선에 수직인 면을 통과하는 단위면적당 전기력선\(\left(\frac{N}{A}\right)\)의 수는 그 영역 안에 있는 전기장의 크기에 비례한다.

전기력선은 (+)전하에서 시작해서 (-)전하에서 끝나고 교차하지 않고 접하지도 않는다.

위의 그림은 점 전하의 전기력선을 나타낸 것이다.

전기력선의 수는 전하 크기에 비례한다. 즉 전기력선의 수는 \(C|q|\)이고 \(C\)는 비례상수이다.

위의 세번째 그림에서 전하량의 크기가 \(q\)인 전하의 전기력선 수는 8개이고 전하량의 크기가 \(2q\)인 전하의 전기력선 수는 16이다.

전하가 \(q\)이고 질량이 \(m\)인 입자를 전기장 \(\vec{\text{E}}\)속에 놓으면, 전하에 작용하는 전기력은 \(q\vec{\text{E}}\)이다. 입자에 이 힘만 작용하면, 이 힘은 알짜힘으로서 입자를 가속시킨다.  즉 \(\vec{\text{F}_{e}}=q\vec{\text{E}}=m\vec{a}\)이므로 입자의 가속도는 \(\displaystyle\vec{a}=\frac{q\vec{\text{E}}}{m}\)이다.

입자가 양전하이면 입자의 가속도의 방향은 전기장의 방향과 같고 음전하이면 전기장과 반대방향이다.

왼쪽 그림에서 전기장 \(\vec{\text{E}}\)는 균일하고 질량이 \(m\)인 양의 점전하 \(q\)를 정지상태에서 (A)에 둔다. 이때 (A)와 (B) 사이의 거리는 \(d\)이다. 전기장이 균일하므로 가속도 \(\displaystyle a=\frac{qE}{m}\)는 일정하다(\(|\vec{\text{E}}|=E\)). 그러면 점전하는 등가속도 직선운동을 하므로 식 \(v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})\)을 이용하면 \(\displaystyle x_{f}=d,\,x_{i}=0,\,v_{i}=0,\,a=\frac{qE}{m}\)이므로 \(\displaystyle v_{f}=\sqrt{\frac{2qEd}{m}}\)이다.

일-운동에너지 정리를 이용하면 \(W=\Delta K\)에서 \(F_{e}\Delta x=K_{(B)}-K_{(A)}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-0\)이고 \(F_{e}=qE\), \(\Delta x=d\)이므로 \(\displaystyle v_{f}=\sqrt{\frac{2F_{e}\Delta x}{m}}=\sqrt{\frac{2qEd}{m}}\)이다.

전기장의 세기가 \(E=200\text{N}/\text{C}\)인 균일한 전기장 영역으로 전자가 초기속력 \(v_{i}=3.00\times10^{6}\text{m}/\text{s}\)로 들어온다. 이때 \(\ell=0.100\text{m}\)이다.

(1) 전자가 전기장 안에 있는 동안의 가속도를 구하면 \(\sum{F_{y}}=ma_{y}\)이므로 \(\displaystyle a_{y}=-\frac{eE}{m}=-3.51\times10^{13}\text{m}/\text{s}^{2}\)이다.

(2) 전자가 시간 \(t=0\)에 전기장 안으로 들어온다고 하자. 전자가 전기장을 떠나는 시간을 구하면 \(x_{f}=x_{i}+v_{x}t\)이므로 \(\displaystyle t=\frac{x_{f}-x_{i}}{v_{x}}=\frac{\ell-0}{v_{x}}=3.33\times10^{-8}\text{s}\)이다.

(3) 전자가 전기장 안으로 들어오는 수직위치를 \(y_{i}=0\)이라 하면 전자가 전기장을 떠날 때의 수직위치는 \(t=3.33\times10^{-8}\text{s}\), \(v_{y_{i}}=0\), \(a_{y}=-3.15\times10^{13}\text{m}/\text{s}^{2}\)이므로 \(\displaystyle y_{f}=y_{i}+v_{y_{i}}t+\frac{1}{2}a_{y}t^{2}=-1.95\text{cm}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning