[일반물리학] 17. 전위 (1)

[일반물리학] 17. 전위 (1)

(중력장에서 질량이 물체를 들어올리는 상황과 비슷하다고 보면 된다. 지면에서 높이가 \(h\)인 지점까지 질량이 \(m\)인 물체를 들어올릴 때 외력이 한 일은 \(mgh\)이고 중력이 한 일은 \(-mgh\)이다.)

전기장이 전하에 한 일은 \(\vec{\text{F}}\cdot d\vec{\text{s}}=q_{0}\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}\)이고 전하와 전기장으로 구성된 계의 위치에너지는 \(dU=-q_{0}\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}\)이다.

전하가 (A)에서 (B)로 이동할 때 계의 위치에너지 변화는 \(\displaystyle\Delta U=U_{(B)}-U_{(A)}=-q_{0}\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}\)이다. 이때 힘 \(\vec{\text{F}}=q_{0}\vec{\text{E}}\)가 보존력이므로 이 선적분은 (A)와 (B) 사이의 경로에 무관하다.

단위전하를 움직이는데 필요한 에너지를 전위(전기포텐셜, Electrical potential)이라 하고 식은 \(\displaystyle V=\frac{U}{q_{0}}\)이다.

시험전하 \(q_{0}\)가 두 점 사이를 이동할 때 계의 위치에너지 변화를 시험전하 \(q_{0}\)로 나눈 값을 전위차(Potential difference)라 하고 식은 \(\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=\frac{\Delta U}{q_{0}}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}\)이다. 이 식은 차이만이 의미를 가짐을 뜻한다.

전하 \(q\)가 전기장 안에서 등속도로 움직이는 과정에서 한 일은 \(W=q\Delta V\)이다.

전위는 단위전하당 에너지이기 때문에 전위의 SI단위는 \(\text{J}/\text{C}\)이고 이를 \(\text{V}\)(볼트)라 한다. 즉, \(1\text{V}=1\text{J}/\text{C}\)이고 이는 1\(\text{C}\)의 전하량을 \(1\text{V}\)의 전위차만큼 옮기는데 \(1\text{J}\)의 일이 필요함을 뜻한다.

또한 전기장의 SI단위는 단위길이당 전압, 즉 \(1\text{N/C}=1\text{V/m}\)(전기장은 위치에 따라서 전위가 변화하는 비율의 척도)이다.

1전자볼트(Electron volt, eV)는 전자 또는 양성자 한개가 \(1\text{V}\)의 전위차 안에서 가속될 때 얻거나 잃는 에너지이고 \(1\text{eV}=1.60\times10^{-19}\text{C}\cdot\text{V}=1.60\times10^{-19}\text{J}\)이다.

왼쪽 그림에서 주황색 선은 전기장을, 보라색 선은 중력장을 나타낸 것이다.

\(|\vec{\text{s}}|=d\)만큼 떨어져 있는 점 (A)와 (B)사이의 전위차는 \(\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\int_{(A)}^{(B)}{(E\cos0^{\circ})ds}=-\int_{(A)}^{(B)}{Eds}\)이고

균일한 전기장 속에 있는 점 (A)와 (B)사이의 전위차는 \(\displaystyle\Delta V=-E\int_{(A)}^{(B)}{ds}=-Ed\)이다. 여기서 음(-)의 부호는 점 (B)의 전위가 점 (A)의 전위보다 낮음을 뜻한다. 이 사실로부터 전기력선은 항상 전위가 감소하는 방향으로 향함을 알 수 있다. 또한 전하-전기장 계의 위치에너지 변화는 \(\Delta U=q_{0}\Delta V=-q_{0}Ed\)이고 이는 양전하가 전기장과 동일한 방향으로 이동할 때, 전하와 전기장으로 이루어진 계는 전기위치에너지를 잃게 됨을 뜻한다(대전입자가 운동에너지를 얻으면, 전하-전기장 계는 동일한 크기의 위치에너지를 잃게 된다(에너지 보존 법칙)).

전기력선에 평행하지 않은 점 (A)와 (B) 사이로 이동하는 대전입자의 경우

\(\displaystyle\Delta V=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\vec{\text{E}}\cdot\int_{(A)}^{(B)}{d\vec{\text{s}}}=-\vec{\text{E}}\cdot\vec{\text{s}}\)이다.

전하를 띤 입자가 균일한 전기장 속에서 움직일 때의 위치에너지 변화는 \(\Delta U=q_{0}\Delta V=-q_{0}\vec{\text{E}}\cdot\vec{\text{s}}\)이다.

전위가 같은 일련의 점들로 이루어진 면을 등전위면(Equipotential surface)이라고 한다.

두 판에 \(12\text{V}\)의 전압이 공급되고 있고 두 판 사이의 전기장의 크기는 균일하다. 이 판사이의 전기장의 크기를 구하면

\(\displaystyle E=\frac{|V_{B}-V_{A}|}{d}=\frac{12\text{V}}{0.30\times10^{-2}\text{m}}=4.0\times10^{3}\text{V/m}\)이다.

왼쪽 그림에서 양전하가 (A)위치에서 정지상태에 있고 전기장의 세기는 \(|\vec{\text{E}}|=8.0\times10^{4}\text{V/m}\), \(d=0.50\text{m}\)이다. \(v_{(B)}\)의 크기를 구하면 \(\Delta V=-Ed=-(8.0\times10^{4}\text{V/m})(0.50\text{m})=-4.0\times10^{4}\text{V}\)이고 에너지 보존법칙으로부터 \(\Delta K+\Delta U=0\)이고 \(\displaystyle\Delta K=\frac{1}{2}mv_{(B)}^{2}\), \(\Delta U=e\Delta V\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{(B)}^{2}+e\Delta V=0\)이고

\(\displaystyle v_{(B)}=\sqrt{\frac{-2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{-2(1.6\times10^{-19}\text{C})(-4.0\times10^{4}\text{V})}{1.67\times10^{-27}\text{Kg}}}=2.8\times10^{6}\text{m/s}\)이다.

(A)와 (B)사이의 전위차는 \(\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}\)이고 이때 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\vec{\text{r}}\)(\(\vec{\text{r}}\)은 전하로부터 임의의 지점으로 향하는 방향의 단위벡터)이고 \(\displaystyle\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\vec{\text{r}}\cdot d\vec{\text{s}}\)이며 \(\vec{\text{r}}\cdot d\vec{\text{s}}=ds\cos\theta\)이므로 \(\displaystyle\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}dr\)이고 따라서 \(\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-k_{e}q\int_{r_{(A)}}^{r_{(B)}}{\frac{1}{r^{2}}dr}=k_{e}q\left(\frac{1}{r_{(B)}}-\frac{1}{r_{(A)}}\right)\)이다. 이는 \(\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}\)의 적분이 (A)와 (B) 사이의 경로에 무관함을 뜻한다.

보존력과 연관된 장(field)을 보존력장(Conservative field)이라고 한다. 전기력은 보존력이므로 전기장은 보존력장이다.

점전하로부터 거리가 \(r\)인 지점의 전위는 \(\displaystyle V=k_{e}\frac{q}{r}(r_{(B)}=r,\,r_{(A)}=\infty)\)이다.

점전하군에 의한 점 \(P\)에서의 전체 전위는 \(\displaystyle V=\sum_{i}{\frac{q_{i}}{r_{i}}}\)(무한대에서의 전위는 0이다.)

여기서 \(r_{i}\)는 전하 \(q_{i}\)에서 점 \(P\)까지의 거리이다.

두 전하가 거리 \(r_{12}\)만큼 떨어져 있을 때, 두 전하로 이루어진 계의 위치에너지는

\(\displaystyle U=k_{e}\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}\,\left(V=\frac{U}{q_{1}}=k_{e}\frac{q_{2}}{r_{12}}\right)\)이다.

셋 이상의 점전하로 이루어진 계의 전체 위치에너지는 각 전하쌍의 위치에너지를 계산하여 대수적으로 합한 값이다.

왼쪽 그림에는 세개의 점전하들이 있다. 이 계의 전체 위치에너지는

\(\displaystyle U=k_{e}\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+k_{e}\frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}+k_{e}\frac{q_{3}q_{1}}{r_{13}}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning