[일반물리학] 17. 전위 (1)

[일반물리학] 17. 전위 (1)

(중력장에서 질량이 물체를 들어올리는 상황과 비슷하다고 보면 된다. 지면에서 높이가 $h$인 지점까지 질량이 $m$인 물체를 들어올릴 때 외력이 한 일은 $mgh$이고 중력이 한 일은 $-mgh$이다.)

전기장이 전하에 한 일은 $\vec{\text{F}}\cdot d\vec{\text{s}}=q_{0}\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}$이고 전하와 전기장으로 구성된 계의 위치에너지는 $dU=-q_{0}\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}$이다.

전하가 (A)에서 (B)로 이동할 때 계의 위치에너지 변화는 $\displaystyle\Delta U=U_{(B)}-U_{(A)}=-q_{0}\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}$이다. 이때 힘 $\vec{\text{F}}=q_{0}\vec{\text{E}}$가 보존력이므로 이 선적분은 (A)와 (B) 사이의 경로에 무관하다.

단위전하를 움직이는데 필요한 에너지를 전위(전기포텐셜, Electrical potential)이라 하고 식은 $\displaystyle V=\frac{U}{q_{0}}$이다.

시험전하 $q_{0}$가 두 점 사이를 이동할 때 계의 위치에너지 변화를 시험전하 $q_{0}$로 나눈 값을 전위차(Potential difference)라 하고 식은 $\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=\frac{\Delta U}{q_{0}}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}$이다. 이 식은 차이만이 의미를 가짐을 뜻한다.

전하 $q$가 전기장 안에서 등속도로 움직이는 과정에서 한 일은 $W=q\Delta V$이다.

전위는 단위전하당 에너지이기 때문에 전위의 SI단위는 $\text{J}/\text{C}$이고 이를 $\text{V}$(볼트)라 한다. 즉, $1\text{V}=1\text{J}/\text{C}$이고 이는 1$\text{C}$의 전하량을 $1\text{V}$의 전위차만큼 옮기는데 $1\text{J}$의 일이 필요함을 뜻한다.

또한 전기장의 SI단위는 단위길이당 전압, 즉 $1\text{N/C}=1\text{V/m}$(전기장은 위치에 따라서 전위가 변화하는 비율의 척도)이다.

1전자볼트(Electron volt, eV)는 전자 또는 양성자 한개가 $1\text{V}$의 전위차 안에서 가속될 때 얻거나 잃는 에너지이고 $1\text{eV}=1.60\times10^{-19}\text{C}\cdot\text{V}=1.60\times10^{-19}\text{J}$이다.

왼쪽 그림에서 주황색 선은 전기장을, 보라색 선은 중력장을 나타낸 것이다.

$|\vec{\text{s}}|=d$만큼 떨어져 있는 점 (A)와 (B)사이의 전위차는 $\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\int_{(A)}^{(B)}{(E\cos0^{\circ})ds}=-\int_{(A)}^{(B)}{Eds}$이고

균일한 전기장 속에 있는 점 (A)와 (B)사이의 전위차는 $\displaystyle\Delta V=-E\int_{(A)}^{(B)}{ds}=-Ed$이다. 여기서 음(-)의 부호는 점 (B)의 전위가 점 (A)의 전위보다 낮음을 뜻한다. 이 사실로부터 전기력선은 항상 전위가 감소하는 방향으로 향함을 알 수 있다. 또한 전하-전기장 계의 위치에너지 변화는 $\Delta U=q_{0}\Delta V=-q_{0}Ed$이고 이는 양전하가 전기장과 동일한 방향으로 이동할 때, 전하와 전기장으로 이루어진 계는 전기위치에너지를 잃게 됨을 뜻한다(대전입자가 운동에너지를 얻으면, 전하-전기장 계는 동일한 크기의 위치에너지를 잃게 된다(에너지 보존 법칙)).

전기력선에 평행하지 않은 점 (A)와 (B) 사이로 이동하는 대전입자의 경우

$\displaystyle\Delta V=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=-\vec{\text{E}}\cdot\int_{(A)}^{(B)}{d\vec{\text{s}}}=-\vec{\text{E}}\cdot\vec{\text{s}}$이다.

전하를 띤 입자가 균일한 전기장 속에서 움직일 때의 위치에너지 변화는 $\Delta U=q_{0}\Delta V=-q_{0}\vec{\text{E}}\cdot\vec{\text{s}}$이다.

전위가 같은 일련의 점들로 이루어진 면을 등전위면(Equipotential surface)이라고 한다.

두 판에 $12\text{V}$의 전압이 공급되고 있고 두 판 사이의 전기장의 크기는 균일하다. 이 판사이의 전기장의 크기를 구하면

$\displaystyle E=\frac{|V_{B}-V_{A}|}{d}=\frac{12\text{V}}{0.30\times10^{-2}\text{m}}=4.0\times10^{3}\text{V/m}$이다.

왼쪽 그림에서 양전하가 (A)위치에서 정지상태에 있고 전기장의 세기는 $|\vec{\text{E}}|=8.0\times10^{4}\text{V/m}$, $d=0.50\text{m}$이다. $v_{(B)}$의 크기를 구하면 $\Delta V=-Ed=-(8.0\times10^{4}\text{V/m})(0.50\text{m})=-4.0\times10^{4}\text{V}$이고 에너지 보존법칙으로부터 $\Delta K+\Delta U=0$이고 $\displaystyle\Delta K=\frac{1}{2}mv_{(B)}^{2}$, $\Delta U=e\Delta V$이므로 $\displaystyle\frac{1}{2}mv_{(B)}^{2}+e\Delta V=0$이고

$\displaystyle v_{(B)}=\sqrt{\frac{-2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{-2(1.6\times10^{-19}\text{C})(-4.0\times10^{4}\text{V})}{1.67\times10^{-27}\text{Kg}}}=2.8\times10^{6}\text{m/s}$이다.

(A)와 (B)사이의 전위차는 $\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-\int_{(A)}^{(B)}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}$이고 이때 $\displaystyle\vec{\text{E}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\vec{\text{r}}$($\vec{\text{r}}$은 전하로부터 임의의 지점으로 향하는 방향의 단위벡터)이고 $\displaystyle\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}\vec{\text{r}}\cdot d\vec{\text{s}}$이며 $\vec{\text{r}}\cdot d\vec{\text{s}}=ds\cos\theta$이므로 $\displaystyle\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}=k_{e}\frac{q}{r^{2}}dr$이고 따라서 $\displaystyle\Delta V=V_{(B)}-V_{(A)}=-k_{e}q\int_{r_{(A)}}^{r_{(B)}}{\frac{1}{r^{2}}dr}=k_{e}q\left(\frac{1}{r_{(B)}}-\frac{1}{r_{(A)}}\right)$이다. 이는 $\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}$의 적분이 (A)와 (B) 사이의 경로에 무관함을 뜻한다.

보존력과 연관된 장(field)을 보존력장(Conservative field)이라고 한다. 전기력은 보존력이므로 전기장은 보존력장이다.

점전하로부터 거리가 $r$인 지점의 전위는 $\displaystyle V=k_{e}\frac{q}{r}(r_{(B)}=r,\,r_{(A)}=\infty)$이다.

점전하군에 의한 점 $P$에서의 전체 전위는 $\displaystyle V=\sum_{i}{\frac{q_{i}}{r_{i}}}$(무한대에서의 전위는 0이다.)

여기서 $r_{i}$는 전하 $q_{i}$에서 점 $P$까지의 거리이다.

두 전하가 거리 $r_{12}$만큼 떨어져 있을 때, 두 전하로 이루어진 계의 위치에너지는

$\displaystyle U=k_{e}\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}\,\left(V=\frac{U}{q_{1}}=k_{e}\frac{q_{2}}{r_{12}}\right)$이다.

셋 이상의 점전하로 이루어진 계의 전체 위치에너지는 각 전하쌍의 위치에너지를 계산하여 대수적으로 합한 값이다.

왼쪽 그림에는 세개의 점전하들이 있다. 이 계의 전체 위치에너지는

$\displaystyle U=k_{e}\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}}+k_{e}\frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}}+k_{e}\frac{q_{3}q_{1}}{r_{13}}$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning