[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (2: 유전체)

[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (2: 유전체)

축전기의 두 극판 사이에 넣었을 때 전기용량을 증가시키는 물질을 유전체(Dielectrics)라고 한다. 예를 들면 고무, 유리, 왁스칠한 종이 등 비전도성 물질들이 유전체이다.

왼쪽 그림에서 \(\displaystyle\Delta V=\frac{\Delta V_{0}}{\kappa}\)식이 성립한다. \(\Delta V_{0}\)는 축전기의 두 극판에 유전체를 넣기 전의 전압이고 \(\Delta V\)는 유전체를 넣은 후의 전압이다. 상수 \(\kappa\)를 유전상수(Dielectric constant)라 하고 이 상수의 차원은 없다. \(\Delta V<\Delta V_{0}\)이므로 \(\kappa>1\)이다.

\(\displaystyle C=\frac{Q_{0}}{\Delta V}=\frac{Q_{0}}{\frac{\Delta V_{0}}{\kappa}}=\kappa\frac{Q_{0}}{\Delta V_{0}}\)이므로 \(C=\kappa C_{0}\)이다.

유전체를 채웠을 때의 전기용량은 \(\displaystyle C=\kappa\epsilon_{0}\frac{A}{d}\)이다\(\displaystyle\left(C_{0}=\epsilon_{0}\frac{A}{d}\right)\).

*유전상수가 크다고 해서 물을 사용하지 않는다.

위의 그림은 다양한 축전기의 형태를 나타낸 것이다.

유전체를 넣기 전 축전기에 저장된 에너지는 \(\displaystyle U_{0}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C_{0}}\)이고 유전체를 넣은 후 축전기에 저장되는 에너지는 \(\displaystyle U=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}=\frac{Q_{0}^{2}}{2\kappa C_{0}}=\frac{U_{0}}{\kappa}\)이다.

왼쪽 그림은 전기 쌍극자를 나타낸 것이고 오른쪽 그림은 전기장 내부에서 기울어져 있는 전기 쌍극자를 나타낸 것이다.

전기 쌍극자 모멘트(Electric dipole moment)는 \(-q\)에서 \(+q\)로 향하는 벡터 \(\vec{p}\)이고 이때 \(p=|\vec{p}|=2aq\)(단위는 \(\text{C}\cdot\text{m}\))이다.

\(O\)에 대한 알짜 토크의 크기는 \(\tau=|\vec{\tau}|=2Fa\sin\theta\)이고 이때 \(F=qE\), \(p=2aq\)이므로 \(\tau=2aqE\sin\theta=pE\sin\theta\)이고 \(\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}\)이다(\(\vec{p}\)는 전기 쌍극자 모멘트).

\(\theta_{i}\)로부터 \(\theta_{f}\)까지 회전에 의한 계의 위치에너지 변화는 \(\displaystyle U_{f}-U_{i}=\int_{\theta_{i}}^{\theta_{f}}{\tau d\theta}=\int_{\theta_{i}}^{\theta_{f}}{pE\sin\theta d\theta}=pE(\cos\theta_{i}-\cos\theta_{f})\)(회전에 의하여 계에 축적되는 위치에너지)이고, 여기서 기준각도를 \(\theta_{i}=90^{\circ}\,\left(\frac{\pi}{2}\right)\)로 하여 \(\cos\theta_{i}=0\)이 되게 한다. 그러면 \(U=pE\cos\theta\)이고 이를 \(\vec{p}\)와 \(\vec{E}\)의 스칼라곱으로 나타내면 \(U=-\vec{p}\cdot\vec{E}\)이다.

분자의 양전하와 음전하의 각각에 대한 평균적인 위치가 분리되어 있을 때 분자가 분극되어 있다고 본다.

왼쪽 그림에서 위의 그림은 비극성분자(nonpolar molecules)이고 분극을 가지지 않는 분자를 나타낸 것이다.

아래의 그림은 극성분자(polar molecules)이고 분극을 갖는 분자를 나타낸 것이다.

물분자의 전기 쌍극자 모멘트는 \(6.3\times10^{-30}\text{C}\cdot\text{m}\)이고 분자의 개수는 \(10^{21}\)개 이다.

외부전기장의 크기는 \(2.5\times10^{5}\text{N/C}\)이고 쌍극자를 이 배열로부터 \(\theta=0^{\circ}\)인 전기장과 수직인 \(\theta=90^{\circ}\)로 모두 회전시킨다. 이때 필요한 일은

\(\Delta U=U_{90^{\circ}}-U_{0^{\circ}}=(-NpE\cos90^{\circ})-(-NpE\cos0^{\circ})=NpE=1.6\times10^{-3}\text{J}\)이다.

유전체가 있을 때의 전기장은 \(\displaystyle\vec{\text{E}}=\frac{\vec{\text{E}_{0}}}{\kappa}\)이고 유전체 내부의 알짜전기장 \(\vec{\text{E}}\)의 크기는 \(E=E_{\text{o}}-E_{\text{ind}}\)(\(E_{\text{o}}\)는 외부전기장이고, \(E_{\text{int}}\)는 유전체 내부의 유도전기장이다.) 이때 \(E_{\text{o}}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\), \(\displaystyle E_{\text{ind}}=\frac{\sigma_{\text{ind}}}{\epsilon_{0}}\), \(\displaystyle E=\frac{E_{0}}{\kappa}=\frac{\sigma}{\kappa\epsilon_{0}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{\sigma}{\kappa\epsilon_{0}}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}-\frac{\sigma_{\text{ind}}}{\epsilon_{0}}\)이고 따라서 \(\displaystyle\sigma_{\text{ind}}=\left(\frac{\kappa-1}{\kappa}\right)\sigma\)이다.

왼쪽 그림에서 왼쪽 축전기의 중간에 폭의 길이가 \(a\)인 유전체를 넣었다. 그러면 간격이 \(\displaystyle\frac{d-a}{2}\)인 축전기 두개가 직렬연결한 것과 같고 \(\displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{\epsilon_{0}\frac{A}{\frac{d-a}{2}}}+\frac{1}{\epsilon_{0}\frac{A}{\frac{d-a}{2}}}=\frac{1}{\epsilon_{0}\frac{A}{d-a}}\)이고 따라서 \(\displaystyle C=\epsilon_{0}\frac{A}{d-a}\)이고 \(a\,\rightarrow\,0\)일때 \(\displaystyle C\,\rightarrow\,\epsilon_{0}\frac{A}{d-a}\)이다.

또한 유전체의 위치에 상관없이 전기용량은 \(\displaystyle C=\epsilon_{0}\frac{A}{d-a}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning