[일반물리학] 18. 전기용량과 유전체 (2: 유전체)
축전기의 두 극판 사이에 넣었을 때 전기용량을 증가시키는 물질을 유전체(Dielectrics)라고 한다. 예를 들면 고무, 유리, 왁스칠한 종이 등 비전도성 물질들이 유전체이다.
왼쪽 그림에서 ΔV=ΔV0κ식이 성립한다. ΔV0는 축전기의 두 극판에 유전체를 넣기 전의 전압이고 ΔV는 유전체를 넣은 후의 전압이다. 상수 κ를 유전상수(Dielectric constant)라 하고 이 상수의 차원은 없다. ΔV<ΔV0이므로 κ>1이다.
C=Q0ΔV=Q0ΔV0κ=κQ0ΔV0이므로 C=κC0이다.
유전체를 채웠을 때의 전기용량은 C=κϵ0Ad이다(C0=ϵ0Ad).
*유전상수가 크다고 해서 물을 사용하지 않는다.
위의 그림은 다양한 축전기의 형태를 나타낸 것이다.
유전체를 넣기 전 축전기에 저장된 에너지는 U0=Q202C0이고 유전체를 넣은 후 축전기에 저장되는 에너지는 U=Q202C=Q202κC0=U0κ이다.
왼쪽 그림은 전기 쌍극자를 나타낸 것이고 오른쪽 그림은 전기장 내부에서 기울어져 있는 전기 쌍극자를 나타낸 것이다.
전기 쌍극자 모멘트(Electric dipole moment)는 −q에서 +q로 향하는 벡터 →p이고 이때 p=|→p|=2aq(단위는 C⋅m)이다.
O에 대한 알짜 토크의 크기는 τ=|→τ|=2Fasinθ이고 이때 F=qE, p=2aq이므로 τ=2aqEsinθ=pEsinθ이고 →τ=→p×→E이다(→p는 전기 쌍극자 모멘트).
θi로부터 θf까지 회전에 의한 계의 위치에너지 변화는 Uf−Ui=∫θfθiτdθ=∫θfθipEsinθdθ=pE(cosθi−cosθf)(회전에 의하여 계에 축적되는 위치에너지)이고, 여기서 기준각도를 θi=90∘(π2)로 하여 cosθi=0이 되게 한다. 그러면 U=pEcosθ이고 이를 →p와 →E의 스칼라곱으로 나타내면 U=−→p⋅→E이다.
분자의 양전하와 음전하의 각각에 대한 평균적인 위치가 분리되어 있을 때 분자가 분극되어 있다고 본다.
왼쪽 그림에서 위의 그림은 비극성분자(nonpolar molecules)이고 분극을 가지지 않는 분자를 나타낸 것이다.
아래의 그림은 극성분자(polar molecules)이고 분극을 갖는 분자를 나타낸 것이다.
물분자의 전기 쌍극자 모멘트는 6.3×10−30C⋅m이고 분자의 개수는 1021개 이다.
외부전기장의 크기는 2.5×105N/C이고 쌍극자를 이 배열로부터 θ=0∘인 전기장과 수직인 θ=90∘로 모두 회전시킨다. 이때 필요한 일은
ΔU=U90∘−U0∘=(−NpEcos90∘)−(−NpEcos0∘)=NpE=1.6×10−3J이다.
유전체가 있을 때의 전기장은 →E=→E0κ이고 유전체 내부의 알짜전기장 →E의 크기는 E=Eo−Eind(Eo는 외부전기장이고, Eint는 유전체 내부의 유도전기장이다.) 이때 Eo=σϵ0, Eind=σindϵ0, E=E0κ=σκϵ0이므로 σκϵ0=σϵ0−σindϵ0이고 따라서 σind=(κ−1κ)σ이다.
왼쪽 그림에서 왼쪽 축전기의 중간에 폭의 길이가 a인 유전체를 넣었다. 그러면 간격이 d−a2인 축전기 두개가 직렬연결한 것과 같고 1C=1ϵ0Ad−a2+1ϵ0Ad−a2=1ϵ0Ad−a이고 따라서 C=ϵ0Ad−a이고 a→0일때 C→ϵ0Ad−a이다.
또한 유전체의 위치에 상관없이 전기용량은 C=ϵ0Ad−a이다.
참고자료
대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐
Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning
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