[일반물리학] 19. 전류와 저항

[일반물리학] 19. 전류와 저항

전류(Current)는 단면적을 통과하는 전하량의 흐름률이다. 전류의 방향은 양전하가 이동하는 방향이다(전자와 반대로 이동)

단위시간당 단면 \(A\)를 통과하는 전하량을 평균전류라 하고 \(\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)이다.

평균전류의 미분극한값을 순간전류라 하고 \(\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}\)이며 SI단위는 \(\text{A}\)(암페어, Ampere)이고 \(\displaystyle1\text{A}=\frac{1\text{C}}{1\text{s}}=6.3\times10^{18}e/\text{s}\)이다.

위의 그림 오른쪽에서 길이가 \(\Delta x\)인 도체의 일부분의 전하는 \(\Delta Q=(nA\Delta x)q\)이고 \(\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=nqv_{d}A\)이다.

여기서 \(n\)은 단위부피당 이동전하 운반자수이고 \(\displaystyle v_{d}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\), \(v_{d}\)는 유동속력이다.

단위 면적당 전류를 전류밀도(Current density)라 하고 \(\displaystyle J=\frac{I}{A}=nqv_{d}\)이다. 도체 양단에 전위차가 유지될 때문 도체 내부에서 전류밀도와 전기장이 형성된다.

전류밀도는 전기장에 비례한다. 식으로는 \(J=\sigma E\)이고 여기서 \(\sigma\)는 전도도(Conductivity)이다. 식 \(J=\sigma E\)를 만족하면 옴의 법칙(Ohm's law)을 따른다고 한다.

\(\displaystyle\Delta V=-\int_{a}^{b}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=E\ell\), \(\displaystyle J=\sigma E=\sigma\frac{\Delta V}{\ell}=\frac{I}{A}\)이므로 \(\displaystyle\Delta V=\frac{\ell}{\sigma}J=\left(\frac{\ell}{\sigma A}\right)I=RI\)이고 여기서 \(\displaystyle R=\frac{\ell}{\sigma A}\)를 도체의 저항(Resistance)이라고 하고 전류에 대한 전위차의 비로 정의한다.

즉, \(\displaystyle R=\frac{\Delta V}{I}\)이고 SI단위는 1암페어당 볼트, 옴(Ohm, \(\Omega\)) 즉, \(1\Omega=1\text{V/A}\)이다.

전도도 \(\sigma\)의 역수를 비저항(Resistivity)이라 하고, \(\displaystyle\rho=\frac{1}{\sigma}\)로 나타낸다. 전도도의 단위는 \(\Omega\cdot\text{m}\)이고 이를 이용하여 저항을 나타내면 \(\displaystyle R=\rho\frac{\ell}{A}\)이다.

위의 그래프에서 왼쪽은 옴물질(옴의 법칙을 따르는 물질)의 전위차에 대한 전류의 그래프이고 오른쪽은 옴물질이 아닌 물질(옴의 법칙을 따르지 않는 물질, 예: 반도체소자의 접합 다이오드)의 전위차에 대한 전류의 그래프이다.

왼쪽 그림은 동축 케이블이다. 이 동축케이블의 지름방향의 저항을 구하면

\(\displaystyle dR=\rho\frac{dr}{A}=\frac{\rho}{2\pi rL}dr\)

(\(dR\)은 두께가 \(dr\)이고 표면적이 \(A\)인 플라스틱 요소의 저항이다)

이므로 \(\displaystyle R=\int_{a}^{b}{dR}=\frac{\rho}{2\pi L}\int_{a}^{b}{\frac{1}{r}dr}=\frac{\rho}{2\pi L}\ln\frac{b}{a}\)이다.

대학에서의 옴의 법칙은 다음과 같다: 옴의법칙 \(J=\sigma E\). 대부분의 금속을 포함한 대부분의 물질은, 그 물질속의 전류밀도를 전기장으로 나누면 상수값 \(\sigma\)를 가지며, 이 값은 전류를 흐르게 하는 전기장과 무관하다.

왼쪽 그림은 전기전도의 모형을 나타낸 것이다. 이 그림에서 왼쪽은 전기장이 없을 때이고, 오른쪽은 전기장이 있을 때이다.

1. 충돌 후 전자들의 운동은 충돌 전의 운동과는 무관하다.

2. 전기장 내부에서 전자들이 얻은 여분의 에너지는 전자와 원자가 충돌할 때 도체 내부의 원자들에게 전달된다.

전자의 가속도는 \(\displaystyle\vec{a}=\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}\)이고 \(\displaystyle\vec{v_{f}}=\vec{v_{i}}+\vec{a}t=\vec{v_{i}}+\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}t\)이며 \(\displaystyle\vec{v_{f,\,\text{avg}}}=\vec{v_{d}}=\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}\tau\)(\(\tau\)는 연속적인 충돌 사이의 평균시간 간격이고 \(\vec{v_{d}}\)는 유동속도이다.)

이때의 전류밀도는 \(\displaystyle J=nqv_{d}=\frac{nq^{2}E}{m_{e}}\tau\)이고 \(\displaystyle\sigma=\frac{nq^{2}\tau}{m_{e}}\), \(\displaystyle\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{m_{e}}{nq^{2}\tau}\)이다. 옴의법칙 \(J=\sigma E\)를 만족한다.

어떤 온도범위 안에서의 도체의 비저항은 \(\rho=\rho_{0}[1+\alpha(T-T_{0})]\)이고 \(\alpha\)를 비저항의 온도계수(Temperature coefficient of resistivity)라고 하며 \(\displaystyle\alpha=\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\Delta \rho}{\Delta T}\,(\Delta \rho=\rho-\rho_{0},\,\Delta T=T-T_{0})\), \(\alpha\)의 단위는 \((^{\circ}C)^{-1}\)이다.

그러면 어떤 재료의 온도에 따른 저항의 변화는 \(R=R_{0}[1+\alpha(T-T_{0})]\)이다.

왼쪽 그림의 밑의 그래프는 선형성이 파괴된 부분을 나타낸 것인데 이는 금속 내부의 불순물 또는 결함, 충돌에 의한 것이며 선형영역(고온)에서의 비저항은 주로 전자와 금속간의 충돌에 의한 것이다.

*반도체 내부에서의 전하 운반자들은 불순물 원자와 관련이 있어서 비저항은 불순물의 형태와 농도에 매우 민감하다.

왼쪽 그림은 초전도체(Superconductor)의 절대온도에 따른 저항의 그래프를 나타낸 것이다. 임계온도(Critical temperature) \(T_{c}\)이하에서 저항이 0이 되는데 이러한 금속이나 화합물을 초전도체라고 한다.

에너지를 저장하는 용도로 사용되며 MRI(자기공명영상장치)에 초전도 자석을 이용하면 방사선과 X-선 노출없이 사진촬영이 가능하다.

전하량이 \(a\)에서 \(b\)로 전지를 통과하여 움직임에 따라 그 계의 전기위치에너지는 \(Q\Delta V\)만큼 증가한다. 그러나 \(c\)에서 \(d\)로 저항을 통과하여 이동할 때는 전자들이 저항 내부의 원자와 충돌해서 전기위치에너지를 잃는다.

\(U=Q\Delta V\)이고 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}=\frac{d}{dt}(Q\Delta V)=\frac{dQ}{dt}\Delta V=I\Delta V\)이다.

전하 \(Q\)가 저항을 통과할 때, 위치에너지를 잃는 비율(일률)을 전력(Power)이라 하고 \(P=I\Delta V\)이며 SI단위는 일률과 똑같이 \(\text{W}\)(와트, watt)이다.

\(\Delta V=IR\)이므로 \(\displaystyle P=I^{2}R=\frac{(\Delta V)^{2}}{R}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning