[일반물리학] 19. 전류와 저항

[일반물리학] 19. 전류와 저항

전류(Current)는 단면적을 통과하는 전하량의 흐름률이다. 전류의 방향은 양전하가 이동하는 방향이다(전자와 반대로 이동)

단위시간당 단면 $A$를 통과하는 전하량을 평균전류라 하고 $\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$이다.

평균전류의 미분극한값을 순간전류라 하고 $\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}$이며 SI단위는 $\text{A}$(암페어, Ampere)이고 $\displaystyle1\text{A}=\frac{1\text{C}}{1\text{s}}=6.3\times10^{18}e/\text{s}$이다.

위의 그림 오른쪽에서 길이가 $\Delta x$인 도체의 일부분의 전하는 $\Delta Q=(nA\Delta x)q$이고 $\displaystyle I_{\text{avg}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=nqv_{d}A$이다.

여기서 $n$은 단위부피당 이동전하 운반자수이고 $\displaystyle v_{d}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$, $v_{d}$는 유동속력이다.

단위 면적당 전류를 전류밀도(Current density)라 하고 $\displaystyle J=\frac{I}{A}=nqv_{d}$이다. 도체 양단에 전위차가 유지될 때문 도체 내부에서 전류밀도와 전기장이 형성된다.

전류밀도는 전기장에 비례한다. 식으로는 $J=\sigma E$이고 여기서 $\sigma$는 전도도(Conductivity)이다. 식 $J=\sigma E$를 만족하면 옴의 법칙(Ohm's law)을 따른다고 한다.

$\displaystyle\Delta V=-\int_{a}^{b}{\vec{\text{E}}\cdot d\vec{\text{s}}}=E\ell$, $\displaystyle J=\sigma E=\sigma\frac{\Delta V}{\ell}=\frac{I}{A}$이므로 $\displaystyle\Delta V=\frac{\ell}{\sigma}J=\left(\frac{\ell}{\sigma A}\right)I=RI$이고 여기서 $\displaystyle R=\frac{\ell}{\sigma A}$를 도체의 저항(Resistance)이라고 하고 전류에 대한 전위차의 비로 정의한다.

즉, $\displaystyle R=\frac{\Delta V}{I}$이고 SI단위는 1암페어당 볼트, 옴(Ohm, $\Omega$) 즉, $1\Omega=1\text{V/A}$이다.

전도도 $\sigma$의 역수를 비저항(Resistivity)이라 하고, $\displaystyle\rho=\frac{1}{\sigma}$로 나타낸다. 전도도의 단위는 $\Omega\cdot\text{m}$이고 이를 이용하여 저항을 나타내면 $\displaystyle R=\rho\frac{\ell}{A}$이다.

위의 그래프에서 왼쪽은 옴물질(옴의 법칙을 따르는 물질)의 전위차에 대한 전류의 그래프이고 오른쪽은 옴물질이 아닌 물질(옴의 법칙을 따르지 않는 물질, 예: 반도체소자의 접합 다이오드)의 전위차에 대한 전류의 그래프이다.

왼쪽 그림은 동축 케이블이다. 이 동축케이블의 지름방향의 저항을 구하면

$\displaystyle dR=\rho\frac{dr}{A}=\frac{\rho}{2\pi rL}dr$

($dR$은 두께가 $dr$이고 표면적이 $A$인 플라스틱 요소의 저항이다)

이므로 $\displaystyle R=\int_{a}^{b}{dR}=\frac{\rho}{2\pi L}\int_{a}^{b}{\frac{1}{r}dr}=\frac{\rho}{2\pi L}\ln\frac{b}{a}$이다.

대학에서의 옴의 법칙은 다음과 같다: 옴의법칙 $J=\sigma E$. 대부분의 금속을 포함한 대부분의 물질은, 그 물질속의 전류밀도를 전기장으로 나누면 상수값 $\sigma$를 가지며, 이 값은 전류를 흐르게 하는 전기장과 무관하다.

왼쪽 그림은 전기전도의 모형을 나타낸 것이다. 이 그림에서 왼쪽은 전기장이 없을 때이고, 오른쪽은 전기장이 있을 때이다.

1. 충돌 후 전자들의 운동은 충돌 전의 운동과는 무관하다.

2. 전기장 내부에서 전자들이 얻은 여분의 에너지는 전자와 원자가 충돌할 때 도체 내부의 원자들에게 전달된다.

전자의 가속도는 $\displaystyle\vec{a}=\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}$이고 $\displaystyle\vec{v_{f}}=\vec{v_{i}}+\vec{a}t=\vec{v_{i}}+\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}t$이며 $\displaystyle\vec{v_{f,\,\text{avg}}}=\vec{v_{d}}=\frac{q\vec{\text{E}}}{m_{e}}\tau$($\tau$는 연속적인 충돌 사이의 평균시간 간격이고 $\vec{v_{d}}$는 유동속도이다.)

이때의 전류밀도는 $\displaystyle J=nqv_{d}=\frac{nq^{2}E}{m_{e}}\tau$이고 $\displaystyle\sigma=\frac{nq^{2}\tau}{m_{e}}$, $\displaystyle\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{m_{e}}{nq^{2}\tau}$이다. 옴의법칙 $J=\sigma E$를 만족한다.

어떤 온도범위 안에서의 도체의 비저항은 $\rho=\rho_{0}[1+\alpha(T-T_{0})]$이고 $\alpha$를 비저항의 온도계수(Temperature coefficient of resistivity)라고 하며 $\displaystyle\alpha=\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\Delta \rho}{\Delta T}\,(\Delta \rho=\rho-\rho_{0},\,\Delta T=T-T_{0})$, $\alpha$의 단위는 $(^{\circ}C)^{-1}$이다.

그러면 어떤 재료의 온도에 따른 저항의 변화는 $R=R_{0}[1+\alpha(T-T_{0})]$이다.

왼쪽 그림의 밑의 그래프는 선형성이 파괴된 부분을 나타낸 것인데 이는 금속 내부의 불순물 또는 결함, 충돌에 의한 것이며 선형영역(고온)에서의 비저항은 주로 전자와 금속간의 충돌에 의한 것이다.

*반도체 내부에서의 전하 운반자들은 불순물 원자와 관련이 있어서 비저항은 불순물의 형태와 농도에 매우 민감하다.

왼쪽 그림은 초전도체(Superconductor)의 절대온도에 따른 저항의 그래프를 나타낸 것이다. 임계온도(Critical temperature) $T_{c}$이하에서 저항이 0이 되는데 이러한 금속이나 화합물을 초전도체라고 한다.

에너지를 저장하는 용도로 사용되며 MRI(자기공명영상장치)에 초전도 자석을 이용하면 방사선과 X-선 노출없이 사진촬영이 가능하다.

전하량이 $a$에서 $b$로 전지를 통과하여 움직임에 따라 그 계의 전기위치에너지는 $Q\Delta V$만큼 증가한다. 그러나 $c$에서 $d$로 저항을 통과하여 이동할 때는 전자들이 저항 내부의 원자와 충돌해서 전기위치에너지를 잃는다.

$U=Q\Delta V$이고 $\displaystyle\frac{dU}{dt}=\frac{d}{dt}(Q\Delta V)=\frac{dQ}{dt}\Delta V=I\Delta V$이다.

전하 $Q$가 저항을 통과할 때, 위치에너지를 잃는 비율(일률)을 전력(Power)이라 하고 $P=I\Delta V$이며 SI단위는 일률과 똑같이 $\text{W}$(와트, watt)이다.

$\Delta V=IR$이므로 $\displaystyle P=I^{2}R=\frac{(\Delta V)^{2}}{R}$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning