기초 금융수학 19-옵션(3)

기초 금융수학 19-옵션(3)

 

 

풋-콜 패리티 정리

 

 모두 유러피언이며 같은 주식에 대한 옵션인 가격이 \(C\)인 콜옵션과 \(P\)인 풋옵션을 고려하자(유러피언 옵션은 만기일에만 행사할 수 있다). 두 옵션에 대해 행사가격 \(X\)와 만기일 \(T\)는 동일하다. \(t=0\)에 두 포트폴리오를 형성하는데 하나는 콜옵션과 액면가 \(x\)이고 만기일 \(T\)는 동일하다. 

 \(t=0\)에 두 포트폴리오를 형성하는데 하나는 콜옵션과 액면가 \(X\)이고 만기일 \(T\)인 무위험 무이표 채권으로 구성되었고, 다른 하나는 주식과 풋옵션으로 구성되었다. 

		\(S(T)\leq X\)	\(S(T)>X\)
포트폴리오 1:	콜옵션의 가치	\(0\)	\(S(T)-X\)
	채권의 가치	\(X\)	\(X\)
	가치 합계	\(X\)	\(S(T)\)
포트폴리오 2:	주식의 가치	\(S(T)\)	\(S(T)\)
	풋옵션의 가치	\(X-S(T)\)	\(0\)
	가치 합계	\(X\)	\(S(T)\)

  시간 \(T\)의 주식 가격에 무관하게 두 포트폴리오의 가치는 시간 \(T\)에 동일하다. 따라서 차익거래가 없다는 가정에서 초기에 두 포트폴리오를 구성하는 비용은 같아야 한다. 

 첫 포트폴리오를 구성하는 비용은 \(C+Xe^{-i^{(\infty)}T}\)로 여기서 \(i^{(\infty)}\)는 연속복리로 계산한 무위험 수익률, 둘째 포트폴리오를 구성하는 비용은 \(S(0)+P\)로, 여기서 \(S(0)\)는 시간 \(t=0\)일 때 주식 가격이다. 여기서 다음 정리를 얻는다.

 

정리 10.2(풋-콜 패리티 정리) 

 \(C\)를 콜옵션 가격, \(P\)를 풋옵션 가격(모두 같은 주식에 대해 발행된 유러피언 옵션이다), 두 옵션의 행사가격 \(X\)와 만기일 \(T\)가 같고, 시간 \(0\)일 때 주식가격이 \(S(0)\), 주식 배당금이 없다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$C+Xe^{-i^{(\infty)}T}=S(0)+P$$여기서 \(i^{(\infty)}\)는 연속복리로 계산한 무위험 수익률이다.

 

 \(C+Xe^{-i^{(\infty)}T}<S(0)+P\)라 하자. 그러면 둘째 포트폴리오의 가치는 첫째 포트폴리오보다 크다. 이로부터 투자자에게 다음과 같은 차익 거래 기회가 발생한다.

 콜옵션을 \(C\)에 구입, 채권을 \(Xe^{-i^{(\infty)}T}\)에 구입, 주식을 공매도, 풋옵션을 \(P\)에 매도한다. 이 포지션을 설정하는 총 비용은 \(C+Xe^{-i^{(\infty)}T}-S(0)-P<0\), 즉 투자자는 초기에 순손실을 본다.

 유러피언 옵션임을 생각하면 시간 \(T\)에 다음의 포지션이 가능하다.

	\(S(T)\geq X\)	\(S(T)<X\)
콜옵션 가치	\(S(T)-X\)	\(0\)
채권의 가치	\(X\)	\(X\)
주식(공매도)의 가치	\(-S(T)\)	\(-S(T)\)
풋옵션(공매도)의 가치	\(0\)	\(-(X-S(T))\)
	0	0

 그러므로 시간 \(T\)에 포트폴리오의 가치는 주식가격 \(S(T)\)에 무관하게 0이다. 포트폴리오를 설정하는 초기에 순수익이 있었으므로 무위험이며 보장된 수익이 존재한다.

 여기서는 이러한 차익거래가 존재하지 않는다고 가정한다. 

 유사하게 \(C+Xe^{-i^{(\infty)}T}>S(0)+P\)이면 투자자는 콜옵션을 \(C\)에 공매도, 채권을 \(Xe^{-i^{(\infty)}T}\)에 공매도, 주식을 \(S(0)\)에 매입, 풋옵션을 \(P\)에 매입한다. 이 포지션을 설정하는 총 비용은 \(S(0)+P-C-Xe^{-i^{(\infty)}T}<0\), 즉 투자자는 초기에 순수익을 본다.

 유러피언 옵션임을 생각하면 시간 \(T\)에 다음의 포지션이 가능하다.

	\(S(T)\geq X\)	\(S(T)<X\)
콜옵션(공매도) 가치	\(-(S(T)-X)\)	\(0\)
채권(공매도) 가치	\(-X\)	\(-X\)
주식의 가치	\(S(T)\)	\(S(T)\)
풋옵션의 가치	\(0\)	\(X-S(T)\)
합계	0	0

예: H주식은 현재 주당 95달러에 팔리고 있고, 배당금은 없으며, \(T=0.5\)(6개월)에 만기가 되며 행사가격이 100달러로 같은 콜옵션과 풋옵션이 있다.

 콜옵션은 5달러이고, 풋옵션은 8달러이며 연속복리로 계산한 무위험 수익률은 10%이다. 

*풋옵션이 내가격이고, 그래서 콜옵션보다 프리미엄이 더 높다.

-포트폴리오 1: \(C+Xe^{-i^{(\infty)}T}=5+100e^{-0.1\cdot5}=5+95.12=100.12\)

-포트폴리오 2: \(S(0)+P=95+8=103\)

 첫째 포트폴리오를 매수하고 둘째 포트폴리오를 매도함으로써 이 차익거래 상황을 이용할 수 있다. 즉, 콜옵션을 5달러에 매입하고 채권을 95.12달러에 매입해, 주식을 95달러에 공매도하고, 풋옵션을 8달러에 매도한다. 이는 순수익 2.88달러를 의미한다.

(주식을 공매도했을 때 배당금이 나온다면 주식 대여자에게 이를 주어야 한다. 이것이 주식에 배당이 없다고 가정한 요인이다.)

 시간 \(T\)(6개월)에 포트폴리오는 다음의 가치를 지닌다.

	\(S(T)\leq X\)	\(S(T)>X\)
콜옵션의 가치	\(0\)	\(S(T)-100\)
채권의 가치	\(100\)	\(100\)
주식(공매도)의 가치	\(-S(T)\)	\(-S(T)\)
풋옵션(공매도)의 가치	\(-100+S(T)\)	\(0\)
합계	0	0

 포지션을 설정하면서 순수익 2.88달러를 얻었고, 시간 \(T\)에 포트폴리오의 가치는 주식 가격 \(S(T)\)에 관계없이 0이 된다. 

 

 앞서 설정한 가정을 살펴보자. 액면가 \(X\)이고 시간 \(T\)에 만기인 무위험 채권을 매입할 수 있다고 가정했으므로 회사채, 지방채, 수의상환 채권 등에 투자하는 것은 배제된다.

 정한 가치를 지닌 포트폴리오를 구성할 수 있다고 가정했다. 예를 들어 주식, 채권, 콜/풋옵션을 주어진 가격에 사실상 동시에 매입(혹은 공매도)할 수 있다고 했다(유동성 가정).

 옵션이 유러피언이므로 옵션은 만기일 이전에는 행사될 수 없다. 다음의 경우 풋옵션을 행사하는 것이 합당한 경우가 있다.

 파산 준비중인 회사의 풋옵션을 매입해 그 후 주식 가격이 0이 되었다고 하자. 주식 가격이 더 낮아질 수 없으므로 명백히 풋옵션이 행사되어야 한다. 

 

옵션을 이용한 헤징

 

헤징(hedging):

 주어진 투자 또는 포트폴리오의 위험을 다른 자산에 투자해 상쇄하는 것이다.

 

예: 웬디는 D회사의 주식을 주당 30달러에 100주 매입했다. 그녀는 주가 하락을 우려해 잠재적 손실을 줄이기로 했다. 그녀는 이 회사에 대한 풋옵션을 행사가격 25달러에 1계약 구매했다.

 D회사 주가가 25달러 이하로 떨어지면 웬디는 풋옵션을 행사해 주가하락으로 인한 손실을 \(100\times(30\$-25\$)=500\)달러로 제한할 수 있다(이것은 방어적 풋옵션(protective put)의 사례이다). 웬디는 주식에 주당 30달러를 지불하고, 풋옵션에 대해 지불하여 매 거래마다 수수료를 지불한다.

 

 연초에 G회사 주식이 주당 50달러에 거래되며 연말에 주당 25달러 또는 100달러가 될 수 있다(가능성은 이것 뿐이다). 연속복리로 계산한 무위험수익률이 5%, 이 주식에 대한 콜옵션은 행사가격이 75달러라 하자. 만기일에 주가가 100달러이면 콜옵션 가격은 25달러이고, 주가가 25달러이면 0달러이다.

	\(S(T)\leq X\)	\(S(T)>X\)
\(S(T)\)	25	100
\(C(T)\)	0	25

 헤징을 다음과 같이 예를 들어 설명할 수 있다.

 

 \(\Delta\)주의 주식을 매수하고 \(B\)달러를 연속복리로 5% 할인한 현재가치를 대출해 포트폴리오를 생성하려 한다. 이 포트폴리오는 콜옵션 하나로 이루어진 또다른 포트폴리오와 같은 가치를 갖게 될 것이다. 연말에 빌린 것이 \(B\)가 되려면 \(Be^{-i^{(\infty)}}\)를 빌려야 한다. 원하는 포트폴리오를 구성하기 위해서는 다음의 방정식이 만족되어야 한다.$$\Delta\cdot S(T)-B=C(T)$$여기서 \(S(T)\)는 연말 주식 가격, \(C(T)\)는 만기일 콜옵션 가격이고, 다음의 연립방정식을 얻는다.$$\begin{cases}25\Delta-B=0\\100\Delta-B=25\end{cases}\,\Rightarrow\,\begin{cases}\displaystyle\Delta=\frac{1}{3}\\ \displaystyle B=\frac{25}{3}\end{cases}$$ 그러므로 G회사 주식 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)을 주당 50달러에 매수하고 \(\displaystyle\frac{25}{3}e^{-0.05}=7.93\)달러를 대출한다.

 

 연말에 포트폴리오들은 다음 가치를 지닌다.

		\(S(T)\leq X\)	\(S(T)>X\)
포트폴리오1	콜옵션 1개	0	25
	합계	0	25
포트폴리오2	G회사 주식 1/3주	8.33	8.33
	대출상환	-8.33	-8.33
	합계	0	25

 그러므로 첫째 포트폴리오를 G회사 주식 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)주와 연속복리 5%의 7.93달러 대출로 복제했다. 이것은 일반적인 차익거래 논법을 이용하면 포트폴리오로 구성하는 비용이 같다는 것을 의미한다. 

 G회사 주식의 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)주의 비용은 \(\displaystyle\frac{1}{3}\times50=16.67\)달러이고, 대출비용은 -7.93달러이다. 그러므로 이 포트폴리오를 설정하는 전체 비용은 8.74달러이다.

 

헤징 방법의 일반화

 

 현재 가격이 \(S(0)\), 시간 \(T(>0)\)에 만기, 행사가격이 \(X\)인 콜옵션을 가진 주식을 보유하고 있다. 연속복리 무위험 수익률은 \(i^{(\infty)}\), 주가는 만기일에 \(S_{U}\)로 오르거나 \(S_{D}\)로 내리는 경우 외에는 없다. 주식 \(\Delta\)주와 미래가 \(B\)에 무위험 투자한 현금으로 구성된 포트폴리오를 설정하려 한다. 그러면 헤지된 포트폴리오의 가치는 다음의 두 방정식이 만족되면 시간 \(T\)의 주식 가격에 무관하게 콜옵션의 가치와 일치하게 된다.$$\begin{cases}\Delta\cdot S_{U}-B=C_{U}\\ \Delta\cdot S_{D}-B=C_{D}\end{cases}$$여기서 \(S_{U}\), \(S_{D}\)는 만기일에 가능한 주식의 가치, \(C_{U}\), \(C_{D}\)는 \(S_{U}\), \(S_{D}\)에 대응하는 콜옵션 가격이다. 위 연립방정식의 해는 다음과 같다.$$\Delta=\frac{C_{U}-C_{D}}{S_{U}-S_{D}},\,B=\frac{C_{U}S_{D}-C_{D}S_{U}}{S_{U}-S_{D}}$$(\(\Delta\)를 헤지비율이라고 한다) 다음 정리가 성립한다.

 

정리 10.3(헤지비율 정리) 헤지비율은 포트폴리오의 가치가 주식 가격에 의해 달라지지 않도록 하는 콜옵션 1개 매도에 대한 보유 주식의 비이다.

증명: 포트폴리오의 가치가 두 값 \(S_{U}\), \(S_{D}\)에 대해 동일함을 보인다. 

 주가가 \(S_{U}\)일 때$$\Delta S_{U}-C_{U}=\frac{C_{U}-C_{D}}{S_{U}-S_{D}}S_{U}-C_{U}=\frac{C_{U}S_{D}-C_{D}S_{U}}{S_{U}-S_{D}}=B$$이고, 주가가 \(S_{D}\)일 때$$\Delta S_{D}-C_{D}=\frac{C_{U}-C_{D}}{S_{U}-S_{D}}S_{D}-C_{D}=\frac{C_{U}S_{D}-C_{D}S_{U}}{S_{U}-S_{D}}=B$$이다. 

 

 헤지 비율 정리의 중요한 특징은 그 결과가 주식 가격이 \(S(0)\)에서 \(S_{U}\)로 상승하거나 \(S(0)\)에서 \(S_{D}\)로 하락할 확률에 독립이라는 점이다.

 

 앞의 예에서 콜옵션이 너무 높게 가격이 책정되었다고 하자. 즉, 다음과 같다고 하자.$$S(0)=50,\,S_{U}=100,\,S_{D}=25,\,C_{U}=25,\,C_{D}=0,\,i^{(\infty)}=0.05$$ 다음과 같이 차익거래를 통해 수익을 얻을 수 있다.

 콜옵션을 10달러에 3개를 발행하고, 주식 하나를 50달러에 매입하고, 연속복리 5%로 20달러를 빌린다. 초기 흐름은 \(30-50+20=0\)이므로 포트폴리오를 구성하는데 비용이 들지 않는다.

	\(S(T)=25\)	\(S(T)=100\)
옵션 3개 발행	0.00	-75.00
주식 1주 매입	25.00	100.00
연속복리 5%로 20달러 차입	-21.03	-21.03
합계	3.97	3.97

 이것은 무위험 투자이다. 초기 투자는 0이고, 만기일에 주가에 관계없이 수익이 3,97달러이다. 원하는 수입을 얻기 위해서는 그저 헤지비율 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)(콜옵션 1개가 팔릴 때마다 주식 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)주 매입)을 이용하고 초기 비용이 없게 무위험 이자율로 충분한 돈을 빌리면 된다.

 

참고자료:        
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer