기초 금융수학 19-옵션(3)
풋-콜 패리티 정리
모두 유러피언이며 같은 주식에 대한 옵션인 가격이 C인 콜옵션과 P인 풋옵션을 고려하자(유러피언 옵션은 만기일에만 행사할 수 있다). 두 옵션에 대해 행사가격 X와 만기일 T는 동일하다. t=0에 두 포트폴리오를 형성하는데 하나는 콜옵션과 액면가 x이고 만기일 T는 동일하다.
t=0에 두 포트폴리오를 형성하는데 하나는 콜옵션과 액면가 X이고 만기일 T인 무위험 무이표 채권으로 구성되었고, 다른 하나는 주식과 풋옵션으로 구성되었다.
S(T)≤X | S(T)>X | ||
포트폴리오 1: | 콜옵션의 가치 | 0 | S(T)−X |
채권의 가치 | X | X | |
가치 합계 | X | S(T) | |
포트폴리오 2: | 주식의 가치 | S(T) | S(T) |
풋옵션의 가치 | X−S(T) | 0 | |
가치 합계 | X | S(T) |
시간 T의 주식 가격에 무관하게 두 포트폴리오의 가치는 시간 T에 동일하다. 따라서 차익거래가 없다는 가정에서 초기에 두 포트폴리오를 구성하는 비용은 같아야 한다.
첫 포트폴리오를 구성하는 비용은 C+Xe−i(∞)T로 여기서 i(∞)는 연속복리로 계산한 무위험 수익률, 둘째 포트폴리오를 구성하는 비용은 S(0)+P로, 여기서 S(0)는 시간 t=0일 때 주식 가격이다. 여기서 다음 정리를 얻는다.
정리 10.2(풋-콜 패리티 정리)
C를 콜옵션 가격, P를 풋옵션 가격(모두 같은 주식에 대해 발행된 유러피언 옵션이다), 두 옵션의 행사가격 X와 만기일 T가 같고, 시간 0일 때 주식가격이 S(0), 주식 배당금이 없다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.C+Xe−i(∞)T=S(0)+P여기서 i(∞)는 연속복리로 계산한 무위험 수익률이다.
C+Xe−i(∞)T<S(0)+P라 하자. 그러면 둘째 포트폴리오의 가치는 첫째 포트폴리오보다 크다. 이로부터 투자자에게 다음과 같은 차익 거래 기회가 발생한다.
콜옵션을 C에 구입, 채권을 Xe−i(∞)T에 구입, 주식을 공매도, 풋옵션을 P에 매도한다. 이 포지션을 설정하는 총 비용은 C+Xe−i(∞)T−S(0)−P<0, 즉 투자자는 초기에 순손실을 본다.
유러피언 옵션임을 생각하면 시간 T에 다음의 포지션이 가능하다.
S(T)≥X | S(T)<X | |
콜옵션 가치 | S(T)−X | 0 |
채권의 가치 | X | X |
주식(공매도)의 가치 | −S(T) | −S(T) |
풋옵션(공매도)의 가치 | 0 | −(X−S(T)) |
0 | 0 |
그러므로 시간 T에 포트폴리오의 가치는 주식가격 S(T)에 무관하게 0이다. 포트폴리오를 설정하는 초기에 순수익이 있었으므로 무위험이며 보장된 수익이 존재한다.
여기서는 이러한 차익거래가 존재하지 않는다고 가정한다.
유사하게 C+Xe−i(∞)T>S(0)+P이면 투자자는 콜옵션을 C에 공매도, 채권을 Xe−i(∞)T에 공매도, 주식을 S(0)에 매입, 풋옵션을 P에 매입한다. 이 포지션을 설정하는 총 비용은 S(0)+P−C−Xe−i(∞)T<0, 즉 투자자는 초기에 순수익을 본다.
유러피언 옵션임을 생각하면 시간 T에 다음의 포지션이 가능하다.
S(T)≥X | S(T)<X | |
콜옵션(공매도) 가치 | −(S(T)−X) | 0 |
채권(공매도) 가치 | −X | −X |
주식의 가치 | S(T) | S(T) |
풋옵션의 가치 | 0 | X−S(T) |
합계 | 0 | 0 |
예: H주식은 현재 주당 95달러에 팔리고 있고, 배당금은 없으며, T=0.5(6개월)에 만기가 되며 행사가격이 100달러로 같은 콜옵션과 풋옵션이 있다.
콜옵션은 5달러이고, 풋옵션은 8달러이며 연속복리로 계산한 무위험 수익률은 10%이다.
*풋옵션이 내가격이고, 그래서 콜옵션보다 프리미엄이 더 높다.
-포트폴리오 1: C+Xe−i(∞)T=5+100e−0.1⋅5=5+95.12=100.12
-포트폴리오 2: S(0)+P=95+8=103
첫째 포트폴리오를 매수하고 둘째 포트폴리오를 매도함으로써 이 차익거래 상황을 이용할 수 있다. 즉, 콜옵션을 5달러에 매입하고 채권을 95.12달러에 매입해, 주식을 95달러에 공매도하고, 풋옵션을 8달러에 매도한다. 이는 순수익 2.88달러를 의미한다.
(주식을 공매도했을 때 배당금이 나온다면 주식 대여자에게 이를 주어야 한다. 이것이 주식에 배당이 없다고 가정한 요인이다.)
시간 T(6개월)에 포트폴리오는 다음의 가치를 지닌다.
S(T)≤X | S(T)>X | |
콜옵션의 가치 | 0 | S(T)−100 |
채권의 가치 | 100 | 100 |
주식(공매도)의 가치 | −S(T) | −S(T) |
풋옵션(공매도)의 가치 | −100+S(T) | 0 |
합계 | 0 | 0 |
포지션을 설정하면서 순수익 2.88달러를 얻었고, 시간 T에 포트폴리오의 가치는 주식 가격 S(T)에 관계없이 0이 된다.
앞서 설정한 가정을 살펴보자. 액면가 X이고 시간 T에 만기인 무위험 채권을 매입할 수 있다고 가정했으므로 회사채, 지방채, 수의상환 채권 등에 투자하는 것은 배제된다.
정한 가치를 지닌 포트폴리오를 구성할 수 있다고 가정했다. 예를 들어 주식, 채권, 콜/풋옵션을 주어진 가격에 사실상 동시에 매입(혹은 공매도)할 수 있다고 했다(유동성 가정).
옵션이 유러피언이므로 옵션은 만기일 이전에는 행사될 수 없다. 다음의 경우 풋옵션을 행사하는 것이 합당한 경우가 있다.
파산 준비중인 회사의 풋옵션을 매입해 그 후 주식 가격이 0이 되었다고 하자. 주식 가격이 더 낮아질 수 없으므로 명백히 풋옵션이 행사되어야 한다.
옵션을 이용한 헤징
헤징(hedging):
주어진 투자 또는 포트폴리오의 위험을 다른 자산에 투자해 상쇄하는 것이다.
예: 웬디는 D회사의 주식을 주당 30달러에 100주 매입했다. 그녀는 주가 하락을 우려해 잠재적 손실을 줄이기로 했다. 그녀는 이 회사에 대한 풋옵션을 행사가격 25달러에 1계약 구매했다.
D회사 주가가 25달러 이하로 떨어지면 웬디는 풋옵션을 행사해 주가하락으로 인한 손실을 100×(30$−25$)=500달러로 제한할 수 있다(이것은 방어적 풋옵션(protective put)의 사례이다). 웬디는 주식에 주당 30달러를 지불하고, 풋옵션에 대해 지불하여 매 거래마다 수수료를 지불한다.
연초에 G회사 주식이 주당 50달러에 거래되며 연말에 주당 25달러 또는 100달러가 될 수 있다(가능성은 이것 뿐이다). 연속복리로 계산한 무위험수익률이 5%, 이 주식에 대한 콜옵션은 행사가격이 75달러라 하자. 만기일에 주가가 100달러이면 콜옵션 가격은 25달러이고, 주가가 25달러이면 0달러이다.
S(T)≤X | S(T)>X | |
S(T) | 25 | 100 |
C(T) | 0 | 25 |
헤징을 다음과 같이 예를 들어 설명할 수 있다.
Δ주의 주식을 매수하고 B달러를 연속복리로 5% 할인한 현재가치를 대출해 포트폴리오를 생성하려 한다. 이 포트폴리오는 콜옵션 하나로 이루어진 또다른 포트폴리오와 같은 가치를 갖게 될 것이다. 연말에 빌린 것이 B가 되려면 Be−i(∞)를 빌려야 한다. 원하는 포트폴리오를 구성하기 위해서는 다음의 방정식이 만족되어야 한다.Δ⋅S(T)−B=C(T)여기서 S(T)는 연말 주식 가격, C(T)는 만기일 콜옵션 가격이고, 다음의 연립방정식을 얻는다.{25Δ−B=0100Δ−B=25⇒{Δ=13B=253 그러므로 G회사 주식 13을 주당 50달러에 매수하고 253e−0.05=7.93달러를 대출한다.
연말에 포트폴리오들은 다음 가치를 지닌다.
S(T)≤X | S(T)>X | ||
포트폴리오1 | 콜옵션 1개 | 0 | 25 |
합계 | 0 | 25 | |
포트폴리오2 | G회사 주식 1/3주 | 8.33 | 8.33 |
대출상환 | -8.33 | -8.33 | |
합계 | 0 | 25 |
그러므로 첫째 포트폴리오를 G회사 주식 13주와 연속복리 5%의 7.93달러 대출로 복제했다. 이것은 일반적인 차익거래 논법을 이용하면 포트폴리오로 구성하는 비용이 같다는 것을 의미한다.
G회사 주식의 13주의 비용은 13×50=16.67달러이고, 대출비용은 -7.93달러이다. 그러므로 이 포트폴리오를 설정하는 전체 비용은 8.74달러이다.
헤징 방법의 일반화
현재 가격이 S(0), 시간 T(>0)에 만기, 행사가격이 X인 콜옵션을 가진 주식을 보유하고 있다. 연속복리 무위험 수익률은 i(∞), 주가는 만기일에 SU로 오르거나 SD로 내리는 경우 외에는 없다. 주식 Δ주와 미래가 B에 무위험 투자한 현금으로 구성된 포트폴리오를 설정하려 한다. 그러면 헤지된 포트폴리오의 가치는 다음의 두 방정식이 만족되면 시간 T의 주식 가격에 무관하게 콜옵션의 가치와 일치하게 된다.{Δ⋅SU−B=CUΔ⋅SD−B=CD여기서 SU, SD는 만기일에 가능한 주식의 가치, CU, CD는 SU, SD에 대응하는 콜옵션 가격이다. 위 연립방정식의 해는 다음과 같다.Δ=CU−CDSU−SD,B=CUSD−CDSUSU−SD(Δ를 헤지비율이라고 한다) 다음 정리가 성립한다.
정리 10.3(헤지비율 정리) 헤지비율은 포트폴리오의 가치가 주식 가격에 의해 달라지지 않도록 하는 콜옵션 1개 매도에 대한 보유 주식의 비이다.
증명: 포트폴리오의 가치가 두 값 SU, SD에 대해 동일함을 보인다.
주가가 SU일 때ΔSU−CU=CU−CDSU−SDSU−CU=CUSD−CDSUSU−SD=B이고, 주가가 SD일 때ΔSD−CD=CU−CDSU−SDSD−CD=CUSD−CDSUSU−SD=B이다.
헤지 비율 정리의 중요한 특징은 그 결과가 주식 가격이 S(0)에서 SU로 상승하거나 S(0)에서 SD로 하락할 확률에 독립이라는 점이다.
앞의 예에서 콜옵션이 너무 높게 가격이 책정되었다고 하자. 즉, 다음과 같다고 하자.S(0)=50,SU=100,SD=25,CU=25,CD=0,i(∞)=0.05 다음과 같이 차익거래를 통해 수익을 얻을 수 있다.
콜옵션을 10달러에 3개를 발행하고, 주식 하나를 50달러에 매입하고, 연속복리 5%로 20달러를 빌린다. 초기 흐름은 30−50+20=0이므로 포트폴리오를 구성하는데 비용이 들지 않는다.
S(T)=25 | S(T)=100 | |
옵션 3개 발행 | 0.00 | -75.00 |
주식 1주 매입 | 25.00 | 100.00 |
연속복리 5%로 20달러 차입 | -21.03 | -21.03 |
합계 | 3.97 | 3.97 |
이것은 무위험 투자이다. 초기 투자는 0이고, 만기일에 주가에 관계없이 수익이 3,97달러이다. 원하는 수입을 얻기 위해서는 그저 헤지비율 13(콜옵션 1개가 팔릴 때마다 주식 13주 매입)을 이용하고 초기 비용이 없게 무위험 이자율로 충분한 돈을 빌리면 된다.
참고자료:
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer
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