기초 금융수학 15-주식, 가격, 위험(2)

기초 금융수학 15-주식, 가격, 위험(2)

 

 

 주식에 대한 수익 \(R_{s}\)가 가능한 값은 \(S\)개이고, \(1\leq s\leq S\)일 때, \(R_{s}\)일 확률을 \(P_{s}\)라 하자. \(R\)이 주식에 대한 수익을 나타내는 확률변수이면 \(R\)이 가능한 값은 \(R_{1},\,R_{2},\,...,\,R_{S}\)이고 주식에 대한 기대수익은 다음과 같다.$$E(R)=\sum_{s=1}^{S}{P_{s}R_{s}}$$ 위험은 여러 측도 중 하나로 측정할 수 있다. 이러한 측도에는 주식에 대한 수익의 범위, 평균 절대편차, 음 수익 확률, 준분산, 표준편차 등이 있다. 

 

-범위(range):

 최대 수익과 최저 수익의 차로 다음과 같이 정의된다.$$\max_{s\in S}R_{s}-\min_{s\in S}R_{s}$$ 계산하기 쉬우나 두 극단 사이에 있는 수익에 대한 정보를 알 수 없다.

-평균절대편차(mean absolute deviation):

 주식 수익과 기대수익 차의 절댓값에 대한 기댓값$$\text{MAD}=\sum_{s=1}^{S}{P_{s}|R_{s}-E(R)|}$$ 적절한 측도가 될 수 있으나 통계적으로 사용하기 어려운 점이 있다.

 

-음의 수익 확률(probability of a negative return): 

 모든 음의 수익 확률의 합으로 다음과 같이 정의된다.$$\sum_{s=1}^{S}{P_{s}\mathbf{1}_{R_{s}<0}}$$*\(X\)가 확률변수, \(X\subset A\)가 사건일 때 지시변수(indicator variable) \(\mathbf{1}_{X\subset A}\)는 다음과 같다.$$\mathbf{1}_{X\subset A}=\begin{cases}1\,(X\subset A)\\0\,(X\not\subset A)\end{cases}$$ 이 측도의 약점은 위험의 모든 양상을 고려하지 않는다는 점이다(예: 음이 아닌 수익이나 음의 수익의 크기는 고려하지 않는다).

 

-준분산(semi variance):

 기대수익 이하의 변동성을 재는 통계측도로 다음과 같이 정의된다.$$\sum_{s=1}^{S}{P_{s}\{R_{s}-E(R)\}^{2}}\mathbf{1}_{R_{s}<E(R)}$$ 음의 수익 확률과 같이 준분산은 기대수익 이상의 수익의 불확실성은 고려하지 않는다.

 

-\(R\)의 표준편차(standard deviation):

 갖아 많이 사용하는 위험측도, 기대수익이 위, 아래 양쪽으로 흩어진 정도로 재고, 다음과 같이 정의된다.$$\sigma=\sqrt{\sum_{s=1}^{S}{P_{s}\{R_{s}-E(R)\}^{2}}}$$ \(\sigma^{2}\)는 \(R\)의 분산(variance)이다.

 

예: 어떤 투자의 가능한 연수익률이 3가지가 된다고 하자. \(R\)을 연수익률이라고 하면 다음과 같다.$$P(R=0.10)=0.50,\,P(R=0.15)=0.30,\,P(R=-0.05)=0.20$$범위는$$0.15-(-0.05)=0.20$$기대수익은$$E(R)=0.5(0.10)+0.3(0.15)+0.2(-0.05)=0.085$$평균절대편차는$$\text{MAD}=0.5|0.10-0.085|+0.3|0.15-0.085|+0.2|-0.05-0.085|=0.054$$음의 수익 확률은$$0.2(P(R=-0.05)=0.20)$$준분산은$$0.2(-0.05-0.085)^{2}=0.0036$$표준편차는$$\sigma=\sqrt{0.5(0.10-0.085)^{2}+0.3(0.15-0.085)^{2}+0.2(-0.05-0.085)^{2}}=0.0709$$이다.

 

 이러한 측도들은 두 형태의 위험, 즉 체계적 위험(systematic risk)과 비체계적 위험(unststematic risk)을 잰다. 체계적 위험은 모든 위험한 주식이 공통으로 갖는 위험이고, 비체계적 위험은 각 회사의 고유한 위험이다. 

 

 체계적 위험에는 인플레이션, 장기 경제성장의 불확실성, 투자자의 위험에 대한 태도의 변화, 이자율 변화 등이 있다.

 

-인플레이션으로 대출 이율이 높아지면 미래의 기업수익 기대치는 감소할 가능성이 높고, 반면 인플레이션으로 가격이 높아지면 미래의 기업 수익 기대치는 증가할 가능성이 높으며 효과는 모든 주식에 대해 유사하다.

-모든 기업의 기업수익은 경제의 장기적 건전성과 성장에 의존한다. 총 생산에 영향을 주는 요인에는 인구성장, 노동 생산성, 정치적 불확실성, 세금정책, 기술 등이 있다.

-일반적인 투자자의 위험회피성향이 갑자기 커지면 요구수익률이 증가한다. 이렇게 커진 수익을 제공하기 위해 주가는 하락해야 한다. 일반적인 투자자가 갑자기 위험회피성향이 약해지면 반대로 일이 벌어진다. 여기서도 효과는 모든 주식에 대해 유사하다.

-이자율 인상은 이자비용을 증가시키고 기업 수익을 감소시킨다. 이자율 변화는 또한 투자자의 위험에 대한 태도에 영향을 주어 그 결과로 주가에 영향을 미친다.

 

 체계적 위험은 분산투자(diversification)로 제거할 수 없다. 이러한 이유로 체계적 위험을 종종 시장위험(marker risk) 또는 분산불가능 위험(nondiversifiable risk)이라고 한다. 

 비체계적 위험은 각 회사에 고유한 것이다. 이러한 형태의 위험에는 소송(law suit), 파업(strike), 경쟁(competition), 소비자 시장 변화(change in consumer base) 등이 있다.

 

-어느 회사가 다른 회사에 대해 계약 위반으로 소송을 제기하면 승소한 회사의 시장가치는 증가하고 패소한 회사의 시장가치는 감소한다.

-회사가 파업을 겪으면 회사의 수익은 감소한다. 한편 판매상품은 경쟁자가 차지하면 그 회사의 수익은 증갛나다.

-어느 회사가 다른 회사가 연구개발로 대응해야 하는 주요 제품라인에 대해 특허를 보유하고 있다면, 그 특허를 보유한 회사의 수익이 유효한 특허의 지위를 상실할 경우 감소하고 경쟁사의 수익이 증가할 수 있다.

-한 영역에서 회사들이 고객의 이주로 인해 다른 영역의 회사들에게 고객을 잃으면 첫째 영역의 회사의 수익은 감소하고 둘째 영역의 회사의 수익은 증가한다.

 

 앞의 네 가지의 경우, 두 주식에 대한 적절한 포지션을 취하면 우려해야 할 필요성이 제거된다. 

 

 비체계적 위험은 잘 분산된 포트폴리오에 투자해 제거할 수 있다. 한 주식에서 본 손실을 다른 주식에서 얻은 수익이 상쇄한다. 이런 이유로 비체계적 위험을 분산가능 위험(diversifiable risk)이라고 한다.

 비체계적 위험이 적절한 분산으로 제거될 수 있으므로 투자자는 이런 형태의 위험에서 보상을 받을 수 없고, 투자자는 체계적 위험에서만 보상을 받는다. 주식의 수익 중 얼마나 많은 부분이 분산될 수 없는지 결정하려면 그 주식의 수익과 다른 주식들의 수익 사이의 관계에 대한 측도가 필요하다.

 

상관계수(correlation coefficient)는 두 확률변수 사이의 관계를 잴 때 많이 사용하는 통계측도이다. 주식 \(i\)와 \(j\)에 대한 수익값으로 \(S\)개가 가능하며 \(1\leq s\leq S\)에 대하여 각각 \(R_{is}\)와 \(R_{js}\)일  확률이 \(P_{s}\)로 동일하다고 하고, 주식 각각의 기대수익을 \(E(R_{i})\), \(E(R_{j})\), 각각의 수익에 대한 표준편차를 \(\sigma_{i}\), \(\sigma_{j}\)라 하자. 그러면 주식 \(i\)의 수익과 주식 \(j\)의 수익 사이의 상관계수는 다음과 같다.$$\rho_{ij}=\frac{1}{\sigma_{i}\sigma_{j}}\sum_{s=1}^{S}{P_{s}\{R_{is}-E(R_{i})\}\{R_{js}-E(R_{j})\}}$$예:$$P(R=0.10,\,U=0.15)=0.50,\,P(R=0.15,\,U=0.20)=0.30,\,P(R=-0.05,\,U=-0.10)=0.20,\,E(R)=0.085,\,\sigma_{R}=0.0709$$이다.$$\begin{align*}E(U)&=0.5(0.15)+0.3(0.20)+0.2(-0.10)=0.115\\\sigma_{U}&=\sqrt{0.5(0.15-0.115)^{2}+0.3(0.20-0.115)^{2}+0.2(-0.10-0.115)^{2}}=0.1097\end{align*}$$이므로 따라서 상관계수는 다음과 같다.$$\begin{align*}\rho_{RU}&=\frac{0.5(0.10-0.085)(0.15-0.115)+0.3(0.15-0.085)(0.20-0.115)+0.2(-0.05-0.085)(-0.10-0.115)}{0.0709\cdot0.1097}\\&=0.993\end{align*}$$ 두 주식 사이의 상관계수가 \(-1\)이면 위험은 적절한 분산투자로 제거할 수 있으나 \(1\)이면 분산투자로 제거할 수 없다.

 그러나 단 두 주식 사이의 관계만 고려하는 것은 불충분하다. 모든 주식 사이의 관계를 고려해야 한다. 주식의 위험을 재는 한 가지 측도는 그 주식이 시장 포트폴리오에 끼치는 분산불가능한 위험의 정도이다. 이 위험측도는 \(\sigma_{i}\rho_{iM}\)으로 주어지는데 여기서 \(\sigma_{i}\)는 주식의 수익의 표준편차, \(\rho_{iM}\)은 주식의 수익과 시장의 수익 사이의 상관계수이다. 

 좀 더 많이 사용하는 주식의 위험측도는 시장 포트폴리오의 위험에 대한 주식에 내재한 분산불가능한 위험의 양이다. 이 주식의 상대적 위험에 대한 측도는 주식의 베타로 알려져 있는데 다음과 같이 주어진다.$$\beta_{i}=\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{M}}\rho_{iM}$$ 여기서 \(\sigma_{i}\)는 주식의 수익의 표준편차, \(\sigma_{M}\)은 시장의 수익의 표준편차, \(\rho_{iM}\)은 주식의 수익과 시장의 수익 사이의 상관계수이다. 

 \(\sigma_{M}\)에 대한 \(\sigma_{i}\)의 비율은 주식이 기준 포트폴리오의 변동성(volatility)에 비교할 때 얼마나 변동성이 있는지 계량한다. 그리고 그 상관계수는 그 상대적 변동성을 얼마나 중시하여야 하는지 잰다. 주식이 시장과 완벽한 상관관계에 있다면 상대적 변동성은 중요하고, 상관관계가 없다면 상대적 변동성은 전혀 중요하지 않다.

 실제로 투자자는 \(\sigma_{i}\), \(\sigma_{M}\), \(\rho_{iM}\)을 모르기 때문에 이 변수들을 추정해야 한다. 필요한 값은 \(\sigma_{i}\), \(\sigma_{M}\), \(\rho_{iM}\)의 사전추정(ex ante estimate)이다. 그러나 사전추정치를 사용하려면 모든 가능한 미래수익과 그에 해당하는 확률을 알아야 하는데 이는 가능해도 극히 어렵다. 그러므로 \(\sigma_{i}\), \(\sigma_{M}\), \(\rho_{iM}\)의 사후추정(ex post estimate) 또는 기록에 입각한 추정이 이들의 사전추정값으로 자주 사용된다.

 

참고자료:     
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer