기초 금융수학 14-주식, 가격, 위험(1)

기초 금융수학 14-주식, 가격, 위험(1)

 

 

 어떤 주식종목(group of stocks)의 평균을 계산하는데 주식시장 지수가 사용된다. 주식시장 지수는 지수라는 하나의 수를 사용하여 그 지수가 대표하는 주식군의 실적을 반영하려는 것이다.

 

 특정 주식에 대한 주어진 기간 동안의 수익률은 해당 기간동안 주식의 가격의 변화와 그 기간 동안 받은 현금 배당금의 합을 기간 초의 주식 가격으로 나눈 것으로 정의된다.

 즉, \(S(0)\)을 기간 초 주가, \(S(1)\)을 기간 말 주가, \(D\)를 현금 배당금이라고 하면 수익률 \(R\)은 다음과 같다.$$R=\frac{S(1)-S(0)+D}{S(0)}$$여기서 \(\displaystyle 1+R=\frac{S(1)+D}{S(0)}\)이고 \(S(0)>0\), \(S(1)>0\), \(D\geq0\)이므로 \(1+R>0\)이다.

 

예: 2004년 12월 31일에 어떤 주식이 주당 50달러에 거래되었다. 다음은 2005년 1월 1일에서 2005년 12월 31일까지 각 분기 말일에 기록한 주가와 배당금 목록이다. 각 분기의 수익률은?

\(\displaystyle\frac{(52.00-50.00)+0.50}{50.00}=0.05=5\text{%}\), \(\displaystyle\frac{(54.00-52.00)+0.50}{52.00}=0.0481=4.81\text{%}\), \(\displaystyle\frac{(53.00-54.00)+0.50}{54.00}=-0.0093=-0.93\text{%}\), \(\displaystyle\frac{(56.00-53.00)+0.50}{53.00}=0.066=6.6\text{%}\)

 \(R_{1},\,R_{2},\,R_{3},\,R_{4}\)가 분기별 수익률일 때 평균 분기당 수익률 \(R\)은 단리, 복리 중 어느 것을 사용하는가에 따라 달려있다.

 

 단리를 사용하면 연말에 1달러 투자의 가치는 \(1+R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}\)이고 이것이 \(1+4R\)과 같아지기를 기대하므로 산술평균 분기수익(arithmetic average quarterly return) \(\displaystyle R_{A}=\frac{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}}{4}\)를 얻는다.

 복리를 사용하면 연말에 1달러 투자의 가치는 \((1+R_{1})(1+R_{2})(1+R_{3})(1+R_{4})\)이고 이것이 \((1+R)^{4}\)와 같아지기를 기대하므로 기하평균 분기수익(geometric average quartely return) \(R_{G}=\sqrt[4]{(1+R_{1})(1+R_{2})(1+R_{3})(1+R_{4})}-1\)을 얻는다.

 

정리 9.1(평균 분기수익 정리) \(R_{G}\leq R_{A}\)

증명: 산술-기하평균 부등식에 의해$$R_{G}=\sqrt[n]{(1+R_{1})\cdots(1+R_{n})}-1\leq\frac{(1+R_{1})+\cdots+(1+R_{n})}{n}-1=\frac{R_{1}+\cdots+R_{n}}{n}=R_{A}$$이고 등호가 성립할 필요충분조건은 \(R_{1}=R_{2}=\cdots=R_{n}\)이다.

 

 이러한 수식의 정의에 관해 유의해야 할 점이 있다.

-배당금이 각 분기 말일에 지급되었다고 가정했다. 그렇지 않다면 계산은 일별로 해야 한다.

-배당금이 주식에 투자되지 않았다고 가정했다.

-배당금 지급 시기와 금액을 알지 못하면 이러한 형태의 수익을 계산할 수 없다.

 

 보통주 투자에 대한 수익은 두 가지 구성요소로 되어있다. 그것은 현금 배당과, 주가의 상승 또는 하락인 자본 수익 또는 손실이다. 투자자가 보통주에 지불할 의사가 있는 가격은 배당금과 주식의 미래 가격에 대한 투자자의 기대에 기초한다.

 

 \(S(0)\)를 주식의 현재 주당 가격, \(D_{t}\)를 분기로 표기한 시간 \(t\)에 지급되는 예상 배당금, \(T\)를 분기로 표기한 보유기간, \(k\)를 분기별 요구수익률이라 하자. 

 처음에 배당은 분기별로 지급되고 주가는 배당지급 직후에 결정된다고 가정한다. 또한 거래 구조의 특정한 부분은 무시한다.

 

 이론상 보유기간이 무한일 수 있다. 보통주는 채권과 달리 (회사가 유지되는 한) 만기가 없다.

여기서 \(D_{1},\,D_{2},\,...\)는 배당금, \(S(0)\)는 배당 받는 대가로 주식에 지불하는 금액이다.

 

 오늘 투자자가 주식에 대해 지불할 의사가 있는 가격은 적절한 요구수익률(\(k\))로 할인된 예상 이래 배당금의 현재가로 주어진다. \(k\)를 적절한 분기당 요구수익률이라 하면 \(S(0)\)는 다음과 같다.$$S(0)=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{D_{t}}{(1+k)^{t}}}$$ 그러나 실제로 보유기간은 무한이 아니다. 투자자는 \(T\)분기 말에 \(S(T)\)라는 가격으로 주식을 매도할 수 있기를 기대하고, 그 대가로 오늘 주식에 \(S(0)\)를 지불하려는 것이다.

 여기서도 오늘 투자자가 주식에 대해 지불할 의사가 있는 가격은 적절한 요구수익률로 할인된 예상 미래 현금흐름의 현재가로 주어진다. 그러므로 오늘의 주가에 대한 다른 공식은 다음과 같다.$$S(0)=\sum_{t=1}^{T}{\frac{D_{t}}{(1+k)^{t}}}+\frac{S(T)}{(1+k)^{T}}$$ 그래서 다음 정리가 성립한다.

 

정리 9.2(보통주 정리) 보통주의 주당 가격이 \(\displaystyle S(0)=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{D_{t}}{(1+k)^{t}}}\) 이면, 가격을 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.$$S(0)=\sum_{t=1}^{T}{\frac{D_{t}}{(1+k)^{t}}}+\frac{S(T)}{(1+k)^{T}}$$(이 정리의 역은 일반적으로 참이 아니다)

 

예: 헬렌은 배당금을 다음 네 분기에 각 분기 말 마다 1.50달러를 받고, 그 다음 네 분기에 각 분기 말 마다 1.75달러를 받을 것으로 기대한다. 분기당 요구수익률이 0.025이면, 주식에 대해 그녀는 얼마나 지불해야 하는가?

답: \(T=8\), \(D_{1}=D_{2}=D_{3}=D_{4}=1.5\), \(D_{5}=D_{6}=D_{7}=D_{8}=1.75\), \(k=0.025\), \(S(T)=94.5\)이다. 그러므로 \(S(0)\)는 다음과 같고$$S(0)=\sum_{t=1}^{4}{\frac{1.5}{(1+0.025)^{t}}}+\sum_{t=5}^{8}{\frac{1.95}{(1+0.025)^{t}}}+\frac{94.5}{(1+0.025)^{8}}=89.168$$ 그러므로 헬렌은 주식에 대해 89.17달러를 지불해야 한다. 

 

 배당금은 단기적으로 비교적 안정적인 경향이 있으나 배당금의 연이은 흐름에는 보통 변동성이 있다. 이것이 일반 가격공식을 적용하는데 어려움을 초래한다. 그러나 종종 회사가 주주들에게 지급하는 배당금이 고정 비율로 무한정 증가할 것으로 가정한다.

 

정리 9.3(일정 성장정리) 배당금이 \(D_{n}=D_{0}(1+g)^{n}\)에 따라 증가하고 \(k>g\)이면, \(S(0)\)는 다음과 같다.$$S(0)=D_{0}\frac{1+g}{k-g}$$증명: \(k>g\)이므로 \(\displaystyle0<\frac{1+g}{1+k}<1\)이고 따라서 다음의 등식에 의해 성립한다.$$\begin{align*}S(0)&=\sum_{t=1}^{\infty}{D_{0}\left(\frac{1+g}{1+k}\right)^{t}}\\&=D_{0}\left(\frac{1+g}{1+k}\right)\frac{1}{1-\frac{1+g}{1+k}}\\&=D_{0}\frac{1+g}{k-g}\end{align*}$$ 요구수익률은 미래에 지급될 것으로 기대되는 배당금을 할인할 때 적절하게 위험 조정된 비율이다. 주식의 위험을 어떻게 재는지?, 그 위험측도를 어떻게 사용하여 적절한 할인율을 계산하는가? 이 질문에 대한 답을 찾자.

 주식의 위험은 주식에 대한 수익의 불확실성과 관련되어 있다. 수익이 확실하면 위험은 없다. 수익의 불확실성이 증가하면 위험도 그렇게 된다.

 

참고자료:     
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer