기초 금융수학 13-주식과 주식시장

기초 금융수학 13-주식과 주식시장

 

 

 주식(share, stoke)은 기업의 소유권을 나타내고, 주주는 주식을 보유한 사람이다.

*주식에는 여러 가지 형태가 있지만 여기서는 보통주(common stoke, 보통주를 소유하면 투표권이 있고, 회사가 의무를 다한 후에 소득에 대한 권리가 있다)를 다룰 것이다.

 

-자금이 필요한 기업은 비공개 투자자에게 주식을 발행할 수 있고, 투자자는 회사의 주식 지분을 구매한다.

-투자자는 회사가 성장해 지분의 가치가 증가(주가상승)에 대한 반대급부로 큰 위험을 떠맡는다(주가하락).

-회사가 성장하면 상장하기로 하고 일반인에게 주식 지분을 내놓아 매각할 수 있다.

-주식을 발행할 때 회사가 자금을 받는다는 사실을 아는 것이 중요하고, 이 시점 이후의 거래는 주식 보유자와 주식 구매자 사이에서 이루어진다.

-주식을 구매하는 투자자는 주기적(보통 분기별)으로 배당을 받는다(*배당이 없을 수도 있다)

-기업은 때로 주식을 주당 가격이 더 낮은 주식들로 분할한다. 

 

 주식 매매에는 여러 가지 형태의 위험이 있다.

-경제 위험(economic risk), 이자율 민감성(interest rate sensitivity), 회사 부도 가능성, 회사 경영문제, 회사간 경쟁, 회사에 부정적 영향을 줄 수 있는 정부의 결정(예: 중국의 사교육 금지령)

 

 회사를 자본화(capitalization)-발행주식의 총 가치(total value of issued share, 주가×발행주식 수)에 따라 세 종류로 분류한다.

-대기업(big/large-cap company):

 매우 높은 자본화(100억 달러 이상)를 가지고 있다. 인정 받고 성공경력이 있는 회사로 부도 가능성이 거의 없다. 주가는 보통 상대적으로 높고, 그에 따라 성장가능성이 높지 않을 수 있고, 대다수 회사들이 정기적으로 배당을 지급한다.

-중견기업(mid-cap company):

 대략 15억~100억 달러 사이의 자본화를 가지고 있다. 대기업에 비해 높은 성장 가능성이 있다.

-소기업(small-cap company):

 15억 달러보다 적은 자본화를 가지고 있다. 이러한 회사들은 가장 높은 성장가능성을 갖지만 가장 높은 회사 실패의 가능성도 갖는다. 

 

 미국에서 주식을 매매하려는 투자자는 적절한 정부기관에 등록된 투자회사를 이용한다. 회사를 위해 거래를 실제로 수행하는 사람을 중개인(broker)이라고 한다.

*여기서는 회사(firm)와 중개인(broker)을 서로 바꾸어 쓸 수 있는 용어로 사용한다. 거래에 대한 비용과 수수료는 중요하게 고려해야 할 사항이다. 비용은 전문 중개인이 가장 높고, 인터넷 거래의 수수료가 가장 낮은데 수수료는 주식을 팔때, 살때 모두 부과된다.

 

 가장 흔한 주식 거래 방법은 전액 현금으로 지불하는 것이다.

 

예: 헬렌은 가격이 주당 20달러일 때 500주를 구입하려면, 투자회사에 10,000달러에 구매 수수료를 더한 것을 지불할 것이다. 주가가 주당 30달러로 오르면 그녀는 투자회사를 통해 주식을 팔고 15,000달러에서 판매 수수료를 뺀 것을 받는다. 그래서 헬렌은 5000달러에서 수수료를 뺀 만큼 수익을 볼 것이다.

 

 헬렌과 휴즈 모두 같은 주식을 매월 정기적으로 구매하되 서로 다른 방식으로 한다고 하자.

헬렌: 매월 10주를 구매한다.

휴즈: 같은 주식을 주식 수가 얼마가 되는 100달러 어치 구매한다(정기매입, dollar cost averegging).

 \(S(t)\)를 시간 \(t\)일 때의 주가라고 하자. 

 헬렌은 시간 \(t=1\), \(t=2\)에 주식을 같은 수량 \(N\)개씩 구매하면 전체 \(2N\)개 주식을  \(NS(1)+NS(2)\)에 구매하므로 주당 평균 가격은 다음과 같다.$$\frac{NS(1)+NS(2)}{2N}=\frac{S(1)+S(2)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{2}{S(t)}$$휴즈: \(D\)달러로 주식을 \(t=1\), \(t=2\)에 구매하면 전체 \(\displaystyle\frac{D}{S(1)}+\frac{D}{S(2)}\)주에 \(2D\)를 지불하게 되므로 주당 평균가격은 다음과 같다.$$\frac{2D}{\frac{D}{S(1)}+\frac{D}{S(2)}}=\frac{2}{\frac{1}{S(1)}+\frac{1}{S(2)}}=\frac{2}{\sum_{t=1}^{2}{\frac{1}{S(t)}}}$$ 여기서 어느 방법으로 구매할 때 주당 평균가격이 더 낮게 나오는가? 라는 질문이 나오게 된다.$$\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}{S(t)}-\frac{n}{\sum_{t=1}^{n}{\frac{1}{S(t)}}}=\frac{1}{n\sum_{t=1}^{n}{\frac{1}{S(t)}}}\left\{\left(\sum_{t=1}^{n}{S(t)}\right)\left(\sum_{t=1}^{n}{\frac{1}{S(t)}}\right)-n^{2}\right\}$$ 위 식은 헬렌 방법에 의한 주당 평균가격을 휴즈의 방법에 의한 주당 평균가격으로 뺀 것이고, 코시-슈바르츠 부등식에 의해$$n^{2}\leq\left(\sum_{t=1}^{n}{S(t)}\right)\left(\sum_{t=1}^{n}{\frac{1}{S(t)}}\right)$$이고 등호는 \(\displaystyle\sqrt{S(t)}=\frac{\lambda}{\sqrt{S(t)}}\)(\(\lambda\)는 상수), 즉 \(S(1)=S(2)=\cdots=S(n)=\lambda\)일 때 성립한다.

 그러므로 식 \(S(1)=S(2)=\cdots=S(n)=\lambda\)이 성립하지 않으면 정액 정기매입법(휴즈의 방법)이 주당 평균가격(헬렌의 방법)보다 낮고, 등식이 성립하면 두 방법에 의한 가격은 같다.

 

 정리 8.1(정액 정기 매입정리) 주식을 매수할 때 정액 정기 매입법으로 매수하는 것이 정기적으로 일정한 수의 주식을 매수하는 것에 비해 주당 평균 가격은 더 낮게 든다. 주식을 매도할 때, 정기적으로 일정한 수의 주식을 매도하는 것이 정액 정기 매입에 따르는 것보다 주당 평균 가격이 더 높게 나온다.

 

신용매수(buying on margin):

 주식 매수방법 중 하나, 투자자의 구매력에 지렛대 효과(레버리지)를 줄 수 있으나 중개인과 증거금 계정(margin account)을 설정해야 하고, 투자자는 이 계좌로 중개인에게 빌린 돈으로 구입할 수 있으나 매수 증거금(down payment)을 예치해야 한다.

증거금(margin equity):

 최소 요구 매수증거금(required minimum down payment)으로 구매하는 주식 가격의 50%이고, 요구증거금(margin requirement)이라고 한다. 증거금 계좌의 증거금은 주식의 현재 시장가치와 차변잔고(debit balance)인 주식 매수를 위해 중개인으로부터 차용한 돈의 차액이다.

 

 증거금 요구가 처음 주식을 매수할 때에만 적용되지만, 투자자는 증거금 계좌에 항상 충분한 증거금을 유지하도록 요구받는다.

 

유지수준(maintenance level):

 요구(유지) 증거금을 (최소 요구 증거금)은 현재 주식의 시장가치의 명시된 비율이다(유지비율, maintenance requirement,이라 한다).

 

예: 투자가가 5,000달러를 예금한 증거금 계좌를 개설하고 5,000달러를 빌려 차변 잔고가 5,000달러가 되었다. 투자자는 10,000달러로 주당 20달러에 주식 500주를 매수했다. 이 시점에서 투자자는 증거금 10000-5000=5000달러를 갖고 있다.

 이 예에서 유지비율은 계좌에 있는 주식의 시장가치의 25%이다. 이는 계좌에 있는 증거금이 최소한 주식의 시장 가치의 25%가 되어야 한다는 뜻이다. 요구 증거금은 0.25×10,000=2,500달러로 증거금 5,000달러보다 적으므로 투자자는 유지 비율을 충족하고 있다.

*\(m\)은 소수로 표현한 유지수준이다. 

 

정리 8.2(현물 매매 유지수준 정리) 주식을 신용매수하고, 주식의 원래 시장 매수가가 \(V_{0}\), 원래 증거금이 \(E_{0}\), 유지수준이 \(m\)이면, 차액 \(E\)가 요구 증거금과 같거나 커지는(그래서 유지요청이 발생하지 않는) 최소시장가 \(V^{*}\)는 \(\displaystyle V^{*}=\frac{1}{1-m}(V_{0}-E_{0})\)이다.

증명: \(D=V_{0}-E_{0}\)는 주식을 매수하기 위해 중개인에게 빌린 금액인 차변잔고이다. 그러나 \(V\)는 현재 주식의 시가이고 \(E\)가 현재 차액이면 \(V-E\) 또한 주식을 매수하기 위해 중개인으로부터 빌린 금액이므로 \(V-E=V_{0}-E_{0}\)이다. 최소시장가 \(V^{*}\)에 \(E^{*}=mV^{*}\)이므로 \(V^{*}-mV^{*}=V_{0}-E_{0}\), 즉 \(\displaystyle V^{*}=\frac{V_{0}-E_{0}}{1-m}\)

 이제 \(\displaystyle\frac{V_{0}-E_{0}}{1-m}\)이 최소 시장가임을 보이자. \(\displaystyle V<\frac{V_{0}-E_{0}}{1-m}\)이면 현재 시장가는 주식을 매수하기 위해 중개인에게 빚진 금액의 \(\displaystyle\frac{1}{1-m}\)보다 적다. 이는 \(\displaystyle V<\frac{V-E}{1-m}\)임을 뜻하고, 이때 \(E<mV\)가 되어 유지 요청이 발생한다.

 

공매도(short selling): 

 투자자가 주식의 가치가 하락할 것으로 생각하면, 투자자는 중개인으로부터 주식을 빌려 매도할 수 있고, 이러한 행위를 말한다.

 

 주식의 가치가 하락하면, 투자자는 동일한 수량의 주식을 더 낮은 가격에 매수하고 빌린 주식을 상환하는데 사용할 수 있다.

 

예: 투자자는 현재 주당 50달러에 팔리는 주식 100주를 공매도하려 한다. 주식의 시장가치는 100×50=5,000달러이다. 요구 증거금은 주식의 시장 가치의 50%이므로 투자자는 0.50×5000=2,500달러를 증거금 계좌에 예치하고, 중개인은 투자자에게 100주를 빌려준다.

 그러면 투자자는 주식을 주당 50달러에 매도하고 100×50=5,000달러를 (수수료를 빼고) 받는다. 그래서 투자자는 신용잔고(거래수입+초기 예치금) 2,500+5,000=7,500달러를 갖게 된다.

 투자자는 중개인에게 빌린 주식을 돌려줘야 하는데 가격이 오르면 투자자는 주식을 구입해야 하므로 돈을 잃게 되고, 투자회사는 위험에 빠지게 된다. 그러므로 공매도에 대한 유지 요구가 발생한다. 

 유지 요구가 30%라면 이 예에서는 0.3×5,000=1,500달러이다. 이는 계좌에 있는 증거금이 항상 적어도 주식 가치의 30%가 되어야 함을 의미한다. 차액은 신용잔고(credit balance)와 주식의 현재 시장가치의 차이로서, 이 예에서 차액은 7.500-5,000=2,500달러이고 유지 요구는 충족된다.

*\(m\)은 (소수로 표기하는) 유지수준이다. 다음 두 경우를 고려하자.

 

1. 주가가 주당 40달러로 하락한다.

(a) 투자자가 주식을 주당 40달러로 구매하고 회사에 주식을 돌려주면, 투자자는 100\times(50-40)=1,000에서 매매수수료, 주식 대출에 대한 이자를 뺀 금액을 수익으로 남긴다.

(b) 투자자가 이 시점에 주식을 구매하지 않으면, 주식의 시장가치가 40×100=4,000달러이므로 요구 증거금은 4,000달러의 30%인 0.3×14,000=1,200이다. 그러므로 가격이 하락하면 차액은 요구증거금보다 커지고 유지 요구가 충족된다.

 

 현재 가격의 50%를 초과하는 증거금은 추가 공매도에도 사용할 수 있다. 지금 경우에는 0.5×4,000=2,000달러 이므로 초과 증거금은 1,500달러이다 투자자는 이를 \(1,500/0.50=3,000)달러 만큼의 주식을 공매도 하는데 쓸 수 있다.

 

2. 주가가 주당 60달러로 상승한다. 이 경우 요구 증거금은 0.30×6,000=1,800달러이고 차액은 \(7,500-6,000=1,500\)달러이므로 투자자는 유지요구를 충족시키기 위해 추가로 300(=1,800-1,500)을 지불한다. 주가가 급속히 상승하면 투자자는 손실금액에 제한이 없지만, 투자자에 수직은 비용(수수료+주식대여에 대한 이자)를 뺀 매매수익에 제한된다. 이 때문에 공매도는 위험하다.

 

정리 8.3(공매도 유지 수준 정리) 투자자가 주식을 공매도하고, 초기 신용잔고가 \(C_{0}\), 유지수준이 \(m\)이면, 주식의 시장가치가 상승하여 유지요청이 발생하지 않을 수 있는 최고시장가 \(V^{*}\)는 \(\displaystyle V^{*}=\frac{1}{1+m}C_{0}\)이다.

증명: 주식을 신용매수하고 초기 주식의 시장 매수가가 \(V_{0}\), 초기 증거금이 \(E_{0}\)이면, \(C_{0}=V_{0}+E_{0}\)이다. \(V\)가 주식의 현재시가, \(E\)가 현재 차익이면, 차액이 요구증거금보다 크게 유지되는 한 \(C=V+E\)이다.

 최고수준 \(V^{*}\)에서 \(E^{*}=mV^{*}\)이고 \(C_{0}=V^{*}+E^{*}\) 이고 이를 \(V^{*}\)에 대해 풀면 다음과 같다.$$V^{*}=\frac{C_{0}}{1+m}=\frac{V_{0}+E_{0}}{1+m}$$ \(\displaystyle\frac{V_{0}+E_{0}}{1+m}\)이 최고 수준임을 보이기 위해 \(\displaystyle V>\frac{V_{0}+E_{0}}{1+m}\)이라 하자. 그러면 차액은 다음과 같다.$$C_{0}-V=(V_{0}+E_{0})-V<V_{0}+E_{0}-\frac{V_{0}+E_{0}}{1+m}=\frac{m}{1+m}(V_{0}+E_{0})$$ 그런데 요구 증거금은 \(\displaystyle mV>\frac{m}{1+m}(V_{0}+E_{0})\)이므로 \(E=C_{0}-V<mV\)이고 유지 요청이 발생한다. 

 

참고자료:    
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer