기초 금융수학 16-주식, 가격, 위험(3)

기초 금융수학 16-주식, 가격, 위험(3)

 

 

 회귀선(regression line)은 설명변수(explanatory variable)와 응답변수(response variable) 사이의 관계를 설명하는 선이다. 주식의 특성선(characteristic line)은 주식의 수익과 시장 수익 간의 관계를 설명하는 최적 회귀선이다.

 이 선의 기울기는 \(\displaystyle b_{i}=\frac{s_{i}}{s_{M}}r_{iM}\)으로 주어지는데 여기서 \(s_{i},\,s_{M}\)은 각각 \(\sigma_{i},\,\sigma_{M}\)의 추정치이고 \(r_{iM}\)은 \(\rho_{iM}\)의 추정치이다. 그러므로 \(b_{i}\)는 \(\beta_{i}\)의 추정치이고 주식의 \(\beta\)의 추정치는 주식의 과거수익을 시장 수익에 대해 회귀분석하여 얻는다.

 \(\beta\)를 추정할 때 사용기간, 수익 중 어느 것을 특정해서 사용할 필요는 없다. 그러므로 \(b_{i}\)는 단지 \(\beta_{i}\)의 추정치이고, 그 추정치의 값은 회귀분석에 사용된 특정 데이터에 의해 결정된다. \(\beta_{i}\)의 추정은 어려우나 적절한 위험 측도로 받아들여진다.

 

 주식의 가격은 기대되는 모든 미래의 배당금을 적절한 요구수익률로 할인하여 결정된다. 

 자본자산 가격결정 모형(Capital Asset Pricing Model, CAPM)으로 알려진 모형은 주식에 대한 기대수익과 위험 사이의 평형관계(equilibrium relationship)를 명시해 준다. 

 평형(equilibrium)은 기대수익률이 요구수익률과 같아지는 상태로 정의된다. 이 모형에 따르면 투자라는 돈의 시간가치와 분산불가능한 위험에 대해 보상을 받는다.

 

 \(R\)을 포트폴리오의 수익을 나타내는 확률변수라 하자. 포트폴리오의 기대수익 \(E(R)\)을 포트폴리오의 수익의 표준편차 \(\sigma\)와 관련짓는 직선을 자본시장선(capital market line)이라 한다. 

 \((\sigma,\,E(R))\)평면 위의 이 직선의 방정식은 다음과 같이 주어지는데$$E(R)=R_{rf}+\frac{E(R_{M})-R_{rf}}{\sigma_{M}}\sigma$$여기서 \(R_{rf}\)는 무위험수익률, \(E(R_{M})\)은 시장의 기대수익, \(\sigma_{M}\)는 시장의 수익의 표준편차이다. 

 자본시장선은 포트폴리오들의 효율경계(effcient boundary)로 시장 포트폴리오가 효율적이라고 가정하면, 모든 포트폴리오는 \((\sigma,\,E(R))\)평면 위에 그리면 이 직선이나 밑에 있어야 한다.

 

 자산 \(i\)에 투자한 비율이 \(w\), 시장 포트폴리오에 투자한 비율이 \(1-w\)인 포트폴리오를 생각하자. 이 포트폴리오의 기대수익률은$$E(R_{i,\,w})=wE(R_{i})+(1-w)E(R_{M})$$이고 여기서 \(R_{i,\,w}\)는 포트폴리오의 수익을 나타내는 확률변수, \(R_{i}\)는 자산 \(i\)의 수익을 나타내는 확률변수이다. 이 포트폴리오의 표준편차는$$\sigma_{i,\,w}=\sqrt{w^{2}\sigma_{i}^{2}+2w(1-w)\sigma_{iM}+(1-w)^{2}\sigma_{M}^{2}}$$이고 여기서 \(\sigma_{i}\)는 \(R_{i}\)의 표준편차, \(\sigma_{M}\)은 \(R_{M}\)의 표준편차, \(\sigma_{iM}\)은 \(R_{i}\)와 \(R_{M}\)의 공분산이다. 

 \(w\)를 달리 하면 \((\sigma,\,E(R))\)평면 위에서 다른 점 \((\sigma_{i,\,w},\,E(R_{i,\,w}))\)들이 생긴다. \(w=0\)이면 모두 시장에 투자한 것으로 \(R_{i,\,0}=R_{M}\)이고 \(\sigma_{i,\,0}=\sigma_{M}\)이며, 점 \((\sigma_{M},\,E(R_{M}))\)에서 자본시장선과 만난다.

 자본시장선의 정의에 의해 점 \((\sigma_{i,\,M},\,E(R_{i,\,w}))\)는 는 결코 이 직선을 지날 수 없다. 그래서 곡선$$(\sigma_{i,\,w},\,E(R_{i,\,w})),\,-\infty<w<\infty$$는 \((\sigma_{M},\,E(R_{M}))\)에서 자본시장선에 접한다. 그러므로 \((\sigma_{M},\,E(R_{M}))\)에서 이 곡선의 기울기는 \((\sigma_{M},\,E(R_{M}))\)에서 자본시장선의 기울기와 같게 된다. 

 자본시장선의 기울기는 \(\displaystyle\frac{E(R_{M})-R_{rf}}{\sigma_{M}}\)이고, \(w\)에서 곡선의 기울기는$$\frac{dE(R_{i,\,w})}{d\sigma_{i,\,w}}=\frac{\frac{dE(R_{i,\,w})}{dw}}{\frac{d\sigma_{i,\,w}}{dw}}=\frac{\{E(R_{i})-E(R_{M})\}\sigma_{i,\,w}}{\{w\sigma_{i}^{2}+(1-2w)\sigma_{iM}-(1-w)\sigma_{M}^{2}\}}$$이다. 그러므로 \(w=0\)일 때$$\frac{E(R_{M})-R_{rf}}{\sigma_{M}}=\frac{\{E(R_{i})-E(R_{M})\}\sigma_{M}}{\sigma_{iM}-\sigma_{M}^{2}}$$가 되어야 하고 따라서 다음의 식을 얻는다.$$E(R_{i})=R_{rf}+\beta_{i}\{E(R_{M})-R_{rf}\}\,\left(\beta_{i}=\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{M}}\rho_{iM}\right)$$위의 \(E(R_{i})\) 의 식을 평행일 때의 요구수익률과 같은 기대수익률은 무위험수익률에 위험 프리미엄을 더한 것과 같다. 위험 프리미엄은 \(\beta_{i}\)와 시장 위험 프리미엄에 비례한다. 시장 위험 프리미엄은 시장에 대한 기대수익률과 무위험수익률 사이의 차이다.

 

예: 무위험수익률이 \(R_{rf}=0.06\), 시장에 대한 기대수익이 \(E(R_{M})=0.15\), \(\beta_{i}=1.2\)이다. 기대수익률은 다음과 같다.$$\begin{align*}E(R_{i})&=R_{rf}+\beta_{i}\{E(R_{M})-R_{rf}\}\\&=0.06+12(0.15-0.06)\\&=0.168\end{align*}$$ 채권에서와 마찬가지로 신중한 투자자는 개별 주식보다 주식 포트폴리오에 투자한다. 이 전략의 이점은 이미 채권에서 다뤘듯이 위험을 줄이는 것이다. 주식 포트폴리오는 기초를 이루는 다수의 주식들로 되어있고, 가치는 단순히 기초 주식 가치의 합이다.

 포트폴리오를 구성하는 주식의 종류가 \(n\)개, 주식 \(i\)의 현재가치가 \(S_{i}\), 주식 수가 \(N_{i}\)이면 포트폴리오의 가치는 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{N_{i}S_{i}}\)

 

예: 어느 투자자가 주식 \(X\) 150주와 주식 \(Y\) 200주를 보유하고 있다. 주식 \(X\)와 \(Y\)의 현재가가 각각 50, 35달러이면, 포트폴리오의 가치는 다음과 같다.$$150(50\$)+200(35\$)=14,500\$ $$ 개별 주식과 마찬가지로 주식 포트폴리오의 수익에 대한 변동성의 측도로 표준편차를 많이 사용한다. 마찬가지로 주식 포트폴리오의 위험 측도로 많이 사용하는 것은 \(\beta\)이다. 

 포트폴리오에서 주식 \(i\)에 투자한 부분은 \(\displaystyle w_{i}=\frac{N_{i}S_{i}}{\sum_{j=1}^{n}{N_{j}S_{j}}}\)로 주어진다.

 \(P\)가 포트폴리오의 수익을 나타내는 확률변수, \(\sigma_{i},\,\sigma_{j}\)가 각각 주식 \(i,\,j\)의 수익의 표준편차 \(\rho_{ij}\)는 주식 \(i,\,j\)의 수익 사이의 상관계수라 하면, 포트폴리오 수익의 표준편차는 다음과 같다.$$\sigma_{P}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{w_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{\sum_{j=i+1}^{n}{w_{i}w_{j}\sigma_{i}\sigma_{j}\rho_{ij}}}}$$예: 어떤 포트폴리오가 3개의 주식, 주식1, 주식2, 주식3으로 구성되어 있다.

 주식1-주식2의 상관계수는 \(-0.80\), 주식1-주식3의 상관계수는 \(-0.40\), 주식2-주식3의 상관계수는 \(0.10\)이다. 이 포트폴리오 수익의 표준편차는 다음과 같다.

 주식 포트폴리오의 \(\beta\)를 계산하는 방법에는 동치인 것이 두 가지 있다.

1. 포트폴리오의 수익의 표준편차가 \(\sigma_{P}\), 시장 수익의 표준편차가 \(\sigma_{M}\), 포트폴리오 수익, 시장수잉ㄱ 사이의 상관계수가 \(\rho_{PM}\)이면, 포트폴리오의 \(\beta\)는 \(\displaystyle\beta=\frac{\sigma_{P}}{\sigma_{M}}\rho_{PM}\)이다.

2. 주식 포트폴리오의 \(\beta\)는 포트폴리오를 구성하는 주식들의 \(\beta\)의 가중평균이다. 

 포트폴리오를 구성하는 주식의 수가 \(n\), 주식 \(i\)의 \(\beta\)를 \(\beta_{i}\), 주식 \(i\)의 비율(비중)이 \(w_{i}\)이면 포트폴리오의 \(\beta\)는 \(\displaystyle\beta_{P}=\sum_{i=1}^{n}{w_{i}\beta_{i}}\)

 이들이 동치라는 사실은 다음과 같이 이 두 값이 모두 \(\displaystyle\frac{\sigma_{PM}}{\sigma_{M}^{2}}\)와 같다는 사실에서 나온다.$$\beta_{P}=\frac{\sigma_{P}}{\sigma_{M}}\rho_{PM}=\frac{\sigma_{P}}{\sigma_{M}}\frac{\sigma_{PM}}{\sigma_{P}\sigma_{M}}=\frac{\sigma_{PM}}{\sigma_{M}^{2}}$$이며 또한$$\beta_{P}=\sum_{i=1}^{n}{w_{i}\beta_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{w_{i}\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{M}}\rho_{iM}}=\sum_{i=1}^{n}{w_{i}\frac{\sigma_{iM}}{\sigma_{M}^{2}}}=\frac{\sigma_{PM}}{\sigma_{M}^{2}}$$예: \(\beta\)가 1.10인 주식이 25%, \(\beta\)가 0.95인 주식이 30%, \(\beta\)가 1.30인 주식이 45%인 포트폴리오의 \(\beta\)는 다음과 같다.$$\beta_{P}=0.25\cdot1.10+0.30\cdot0.95+0.45\cdot1.30=1.145$$참고자료:     
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer