기초 금융수학 18-옵션(2)

기초 금융수학 18-옵션(2)

 

 

옵션 전략

 

 여기서 강조해서 볼 것은 수익, 손실영역, 손익분기점, 최대수익과 손실이다. 또한 여기서는 거래비용이 없고 지정된 가격이 실현될 수 있는 것으로 가정한다.

 

콜옵션 구매

 

 시간 \(t(0\leq t\leq T)\)일 때 주식가격을 \(S(t)\), 콜옵션가격을 \(C(t)\), 행사가격을 \(X\)라 하자. \(X>S(t)\)이면 옵션은 외가격(수익X)이고, 행사될 수 없으므로 \(X\leq S(t)\)인 경우를 보자. \(C(t)\geq S(t)-X\)이므로 콜옵션 보유자는 옵션을 매각해 결과적으로 포지션을 청산함으로써 \(C(t)\)를 얻는다. 

 옵션 보유자가 옵션을 행사하고 곧바로 주식을 매각하면 보유자는 \(S(t)-X\)를 얻는다. 그런데 \(S(t)-X\leq C(t)\)이므로 만기일 이전에 콜옵션을 행사하는 것은 보유자에게 이득이 되지 않는다. 다음은 만기일(\(t=T\))의 주당 계약가격과 주당 수익이다(왼쪽: 주당 계약가격, 오른쪽: 주당 수익).$$C(T)=\begin{cases}0&\,(S(T)\leq X)\\S(T)-X&\,(S(T)>X)\end{cases},\,C(T)-C=\begin{cases}-C&\,(S(T)\leq X)\\S(T)-X-C&\,(S(T)>X)\end{cases}$$

여기서 \(C\)는 주당 콜옵션에 지불한 가격이다. 

 

풋옵션 구매

 

 시간 \(t(0\leq t\leq T)\)일 때 주식가격을 \(S(t)\), 풋옵션 가격을 \(P(t)\), 행사가격을 \(X\)라 하자. \(X\leq S(t)\)이면 옵션은 외가격이고, 옵션은 행사될 수 없으므로 \(X>S(t)\)인 경우를 보자. \(P(t)\geq X-S(t)\)이므로 풋옵션 보유자는 옵션을 매입해서 \(X-S(t)\)의 이득을 얻는다(만기일에 행사).

 다음은 만기일(\(t=T\))의 주당 풋옵션의 가격과 주당 수익이다(왼쪽: 주당 계약가격, 오른쪽: 주당 수익).$$P(T)=\begin{cases}0&\,(S(T)\geq X)\\X-S(T)&\,(S(T)<X)\end{cases},\,P(T)-P=\begin{cases}-P&\,(S(T)\geq X)\\X-P-S(T)&\,(S(T)<X)\end{cases}$$

주당 수익 그래프

콜옵션 발행하기

 

 어느 회사의 주식에 비관적인 사람은 그 주식에 대한 콜옵션을 발행할 수 있다. 

 콜옵션 발행자는 콜옵션이 행사되면 행사가격에 주식을 팔아야 하는 의무가 있다. 콜옵션 발행자가 주식을 보유했는지의 여부에 따라 서로 다른 두 상황이 발생한다.

 

-무차입 콜옵션 발행

무차입 콜옵션(uncovered call option):

 콜옵션 발행자가 기초 주식을 보유하지 않고 발행하는 콜옵션. 발행자가 무한한 손실을 볼 수 있는 위험한 옵션 전략이고 바랳ㅇ자는 선물거래 증거금(margin requirement)을 예치해야 한다.

 

예: D회사 주식이 주당 63달러에 거래되고 있다. 9월 60달러의 콜옵션(3달러 내가격)이 6달러에 판매되고 있다. 존은 D회사에 대한 9월 60 콜옵션 10계약을 발행했다. 이 거래에 대한 존의 프리미엄은 \(10\times6\$\times100=6000\)달러이다. 그는 주식을 보유하지 않으므로 콜옵션은 무차입니다.

 만기일에 D회사의 주가가 행사가격 60달러 이하로 종료되면 존은 전체 프리미엄을 갖게 된다. 주가가 만기일에 60달러보다 높아지면 존은 프리미엄을 갖게되나 \(1\$\times10\times100\times(S(T)-60)\)을 잃게 된다. 따라서 그의 손익분기점은 66달러이다. \(S(T)>66\)이면 그는 순손실 \(1000(S(T)-66)\)을 입게 된다. 그러므로 그가 지닌 잠재적 손실 위험은 한계가 없다. 

 D주식 가격이 사승하면 존은 증거금 유지요청을 받을 것이다. 그는 언제라도 D주식에 대한 9월 60일 콜옵션을 구입해 그의 포지션을 청산할 수 있다.

무차입 콜옵션 발행에 대한 존의 만기일 포지션

일반적으로 주당수익은 다음과 같고$$\begin{cases}C&\,(S(T)\leq X)\\X-S(T)-C&\,(S(T)>X)\end{cases}$$ 여기서 \(C\)는 주당 가격, \(X\)는 주당 행사가격이다.

 

-차입 콜옵션 발행하기

 

차입 콜옵션(covered call option):

 발행자가 적정한 수의 기초 주식을 보유한다는 점에서 무차입 콜옵션과 다르다. 

 앞의 예에서 존이 콜옵션 발행 전 D회사 주식 1,000주를 62달러에 구매했더라면 옵션이 행사되도 주식을 제공할 수 있었을 것이다. 

 존이 차입 콜옵션을 발행했고 그 이전에 D회사 주식 1,000주를 주당 62달러에 구매했다고 하자. 그의 초기 포지션을 생각하자. 그는 주식에 62,000달러를 지불하고 콜옵션에 대한 대가로 6,000달러를 받았다. 그러므로 포지션 설정에도 순 비용은 56,000달러이다. 이 상황은 무차입 콜옵션의 경우보다 더 복잡하다. 만기일에 D회사 주가가 60달러 이하로 종료되면 존은 프리미엄 6,000달러를 갖게 된다. 그러나 만기일에 56달러로 종료되면 구입한 주식의 가치가 하락하기 때문에 그는 \(1000(62-56)=6,000\)달러의 손실을 입게 된다. 주가가 56달러 이하로 종료되면 그는 순손실을 본다. 

 그의 최대 수익은 D회사 주가각 만기일에 60달러 이상이 되는 경우에 발생한다. 그때 그의 수익은 콜옵션에 대한 6,000달러와 주식 구매비용 -2000달러를 합한 순수익 4,000달러가 된다.

 일반적으로 차입 콜옵션 발행자에 대해 주당 수익은 다음과 같다.$$\begin{cases}S(T)-S(0)+C&\,(S(T)\leq X)\\X+C-S(0)&\,(S(T)>X)\end{cases}$$ 여기서 \(S(0)\)는 주식 가격으로 지불한 금액, \(C\)는 주당 콜옵션으로 받은 금액, \(X\)는 주당 가격이다. 

 

풋옵션 발행하기

 

 어떤 주식에 낙관적인 사람이라면 그 주식에 대한 풋옵션을 발행할 수 있다. 풋옵션 발행자는 옵션이 행사되면 주식을 행사가격에 구매해야 한다. 콜옵션을 발행하는 경우와 마찬가지로 풋옵션을 발행할 때도 서로 다른 두 가지 경우가 발생한다.

 

무차입 풋옵션 발행하기

 

 이 경우 풋옵션 발행자는 행사가격에 발행한 주식 수를 곱한 것에 상응하는 현금을 적립하지도 않고 주식을 공매도(short the stock)하지도 않는 경우이다.

 

*"주식을 공매도 한다"는 표현과 "주식에 대해 공매도 포지션을 취한다"는 표현은 같은 것이다.

 

 주식을 공매도 한다는 것은 주식을 투자자로부터 빌려 현재 시장가격에 빌린 주식을 매각하는 것을 의미한다. 무차익 풋옵션 발행자는 증거금 요구를 받는다. 

 

 톰은 R회사 주식에 낙관적이다. 톰은 9월 50달러 풋옵션을 주당 2달러에 10계약을 발행했다. 거래에 대한 그의 프리미엄은 \(10\times2\$\times100=50,000\$\)에 상응하는 현금을 적립하지도, 주식을 공매도하지도 않았으므로 이는 무차입 풋옵션에 해당하고, 톰은 증거금 요구를 받게 된다.

 R회사 주식이 만기일에 50달러보다 더 높은 가격에 종료되면 풋옵션은 행사되지 않고 톰은 프리미엄 2,000달러를 갖게 된다. 주식이 주당 50달러 밑으로 종료되면 풋옵션이 행사될 것이고, 이 경우 그는 50달러 이하 1달러당 \(10\times1\$\times100=1000\$\)의 손실을 보게 된다. 그러므로 톰의 손익분기점은 48달러이고, 그의 최대 손실은 R회사가 파산할 때이고, 그때 톰은 주식을 구매해야 하므로 \(10\times50\$\times100=50,000\$\)를 잃고 프리미엄 2,000달러를 가지므로 순손실 48,000달러를 보게 된다.

  일반적으로 무차입 풋옵션에 대해 주당 수익은 다음과 같다.$$\begin{cases}P-X+S(T)&\,(S(T)\leq X)\\ P&\,(S(T)>X)\end{cases}$$

 여기서 \(P\)는 풋옵션으로 받은 주당 가격, \(X\)는 주당 행사가격이다.

 

차입 풋옵션 발행하기

 

 풋옵션 발행자가 주식을 공매도하거나 전체 행사가격에 상응하는 현금을 적립하면 풋옵션은 차입 옵션으로 간주된다. 이 경우 무차입 풋옵션의 경우보다 더 복잡하며, 발행자가 주식을 공매도하면 잠재적 손실에 한계가 없다.

 앞의 예에서 톰이 R회사 주식을 투자회사에서 1000주 빌려서 주당 52달러에 매도해 공매도했다고 하자. 이 경우 톰은 52,000달러(중개인에게 지급한 증거금 미포함)을 적립하고 그래서 차입 포지션을 취했다. 행사가격이 50달러이고 톰이 주당 2달러에 R회사에 대한 9월 50달러 풋옵션 10계약을 발행했다.

 이 경우 톰은 주식을 공매도했기 때문에 52달러를 넘는 1달러마다 \(10\times1\$\times100=1,000\)달러를 잃게 된다. 톰의 손익분기점은 54달러 이고, 이 점에서 톰은 \(10\times54\$\times100=54,000\)달러를 공매도 포지션을 감당하기 위해 지불하므로 공매도 해서 받은 금액과 풋옵션 발행으로 받은 금액의 합 \(52,000\$+2,000\$=54,000\$\)와 상쇄된다.

 주식이 주당 54달러를 넘어 종료되면 톰은 손해를 보게 되고, 그 잠재적 손실에는 한계가 없다. 만기일에 주식이 주당 50달러보다 높으면 풋옵션은 행사되지 않는다.

 톰의 최대 수익은 만기일에 주식이 50달러 이하가 될 때이다. 만기일에 주식이 50달러 이하가 되면 풋옵션이 행사되고 톰은 주식을 구매해야 하므로 \(10\times50\$\times100=50,000\$\)를 지불한다. 이 주식들로 그는 공매도 포지션을 감

당한다. 그는 주식을 팔고 사서 \(10(52,000-50,000)=2,000\)달러의 수익을 보고, 풋옵션 판매로 2,000달러를 남겨 수익으로 4,000달러를 남긴다.

 일반적으로 주당 수익은 다음과 같다.$$\begin{cases}S(0)+P-X&\,(S(T)\leq X)\\S(0)+P-S(T)&\,(S(T)>X)\end{cases}$$ 여기서 \(S(0)\)는 공매도로 받은 주당 가격, \(P\)는 풋옵션 발행으로 받은 주당 가격, \(X\)는 주당 행사가격, \(S(0)+P>X\)라 가정한다. 

 

 최대수익은 만기일 주가가 \(X\)보다 작거나 같은 때이고, 손익분기점은 주가가 \(S(0)+P\), 잠재적 손실에는 한계가 없다.

 

참고자료:       
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer