기초 금융수학 9-채권(1)

기초 금융수학 9-채권(1)

 

 

채권(bond):

 투자자가 정부기관 또는 지방정부나 기업에 제공하는 대출

 

 차용자는 대여자에게 이자 지급일(coupon payment date)에 이자(coupon)를 지급하고 만기일(redemption date)에 채권의 액면가(face value)를 지급할 것을 약속한다.

미국 재무성 채권과 증권
통상적인 만기	2년, 3년, 5년, 10년, 30년
이자 지급주기	6개월
위약금	없음
발행자	연방정부
시장화가능성	가능
제약	최소 투자
위험	인플레이션, 이자율, 재투자, 만기

 

회사채
통상적인 만기	10년~30년
이자 지급주기	6개월
위약금	없음
발행자	기업
시장화가능성	가능
제약	최소투자
위험	인플레이션, 시장, 이자율, 유동성, 채무불이행, 영업, 재투자, 만기가능

 

 채권에는 여러 형태가 있고, 그 중 만기상환채(noncallable bond)는 정해진 상환일 이전에는 상환되지 않는 채권이다.

 

*여기서 다루는 채권은 만기상환채이다.

 

 만기상환채의 가치는 시간에 따라 변한다. 처음 채권을 발행할 때 이자율은 그 시기에 통용되는 다른 채권의 이자율과 비교하여 결정한다. 그렇게 한 다음 채권의 초기 가치인 발행시장 가격(primary market value)을 결정한다. 후에 이 채권이 재판매 매물로 나올 수 있다.

 그때 채권의 재판매 가격인 유통시장 가격(secondary market value)은 그 시기에 통용되는 시장이자율, 그리고 기준일(record date)에서 경과한 이표주기의 정도에 의해 결정된다(*기준일은 채권 구매자가 법적 소유자가 되는 날이다).

 

다음과 같이 두자

$F$: 채권의 액면가(face value, per value, redemption value)

$P$: 채권의 가격(price)(*액면가의 백분율로 표기)

$n$: 전체 이자 지급주기 수

$m$: 1년당 이자지급 횟수

$r^{(m)}$: 소수로 표기한 연 이자율(annual coupon rate)(명목 수익률)

$r$: 소수로 표기한 이자 지급주기당 액면이자율(이표율), $\displaystyle r=\frac{r^{(m)}}{m}$

$y^{(m)}$: 연 만기 수익률(investor's rate of return)

$y$: 소수로 표기한 이자 지급주기당 만기수익률, $\displaystyle y=\frac{y^{(m)}}{m}$

 

 채권의 값(cost)은 $\displaystyle \frac{P}{100}F$이고, 이자 지급액은 $rF$이다.

 

 채권 발행 직후로 차기 이자 지급이 정확하게 앞으로 한 번의 지급주기 후에 예정되어 있고 $n$번의 이자 지급주기가 남아있다고 하고 가격 $P$를 결정하자.

 

*이자 지급주기 사이에서 채권이 매매될 때 가격이 어떻게 되는지는 나중에 살필 것이다.

 

 첫 이자지급 $rF$의 만기일 시점 미래가치는 $rF(1+y)^{n-1}$, 두 번째 이자 지급 $rF$의 만기일 시점 미래가치는 $rF(1+y)^{n-2}$, 마지막 이자 지급 $rF$의 만기일 시점 미래가치는 $rF$이다.

 

 액면가 $F$의 미래가치는 $F$, 채권값 $\displaystyle\frac{P}{100}F$의 만기일 시점 미래가치는 $\displaystyle\frac{P}{100}F(1+y)^{n}$이다.

 그러므로 $$\frac{P}{100}F(1+y)^{n}=rF\{(1+y)^{n-1}+(1+y)^{n-2}+\cdots+(1+y)+1\}+F$$ 또는 $$\frac{P}{100}(1+y)^{n}=r\{(1+y)^{n-1}+(1+y)^{n-2}+\cdots+(1+y)+1\}+1$$ 이다. 이것을 $P$에 대해 나타내면 $$\begin{align*}P&=100r\left\{\frac{1}{1+y}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(1+y)^{n}}\right\}+\frac{100}{(1+y)^{n}}\\&=100\sum_{k=1}^{n}{(1+y)^{-k}}+100(1+y)^{-n}\end{align*}$$ 이고 이것을 '가격은 기대 미래 현금흐름의 현재가치이다'라는 말로 표현할 수 있다.

 위 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}P&=\frac{100r}{1+y}\left\{1+\frac{1}{1+y}+\cdots+\frac{1}{(1+y)^{n-1}}\right\}+\frac{100}{(1+y)^{n}}\\&=100\left\{r\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}+(1+y)^{-n}\right\}\\&=100\left\{(r-y)\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}+1\right\}\end{align*}$$ 정리 7.1(채권 정리) 만기상환채의 이자지급 직후 가격 $P$는 다음의 방정식으로 결정된다. $$P=100\left\{(r-y)\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}+1\right\}$$ 이때 $r=0$, 즉 이표가 없어 중도에 이자를 지급하지 않는 채권을 무이표 채권(zero coupon bond)이라고 한다.

 

정리 7.2(무이표채권 정리) 무이표채권의 가격 $P$는 다음과 같다. $$P=100(1+y)^{-n}$$ ●채권과 관련해 사용하는 수익률에는 3가지가 있다.

-명목수익률(nominal yield) $r^{(m)}=rm$ (거의 실용적인 의미가 없다)

-단순수익률(current yield, 경상수익률) $\displaystyle\frac{100rm}{P}$ (만기수익률에서 이자 지급에 기인하는 부분 추정)

-(만기)수익률(yield to matyrity) $y^{(m)}=ym$, 채권을 만기까지 보유하는 경우 투자자가 얻을 수익의 연이율

 

●채권가격을 다음과 같이 나타내고 $$P-100=100(r-y)\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}$$ $(1+y)^{n}>1$임을 이용하면 $1-(1+y)^{-n}>0$이므로 $P-100$의 부호는 $r-y$의 부호와 같다.

-$P>100$일 때$(r>y)$ 채권을 프리미엄(premium)에 구입한다고 하고, $P=100$일 때$(r=y)$ 채권을 파(par)에 구입한다고 하고, 이 경우 $\displaystyle y=r=\frac{100r}{P}$이고 명목, 단순, 만기 수익률이 같다

-$P<100$일 때$(r<y)$ 채권을 디스카운트(discount)에 구입한다고 한다.

 

●채권가격의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$y-\frac{100r}{P}=(y-r)\frac{100}{P}(1+y)^{-n}$$ $y-r$의 부호가 $\displaystyle y-\frac{100r}{P}$의 부호와 같음을 알 수 있다. 그러므로 채권을 프리미엄$(r>y)$에 구입하면 $\displaystyle y-\frac{100r}{P}<0$이므로 $\displaystyle ym<\frac{100rm}{P}<rm$, 즉 만기수익률이 단순수익률보다 작고, 또 단순수익률은 명목수익률보다 작다.

(반대로 $r<y$이면 $\displaystyle y-\frac{100r}{P}>0$이므로 $\displaystyle ym>\frac{100rm}{P}>rm$) 

 

 비슷한 디폴트(채무불이행) 위험을 지닌 채권의 만기수익률 $ym$과 만기 $\displaystyle\frac{n}{m}$ 사이의 관계를 수익률 곡선을 그려 나타낼 수 있다. 경제성장기에는 일반적으로 장기 채권 수익률이 단기 채권 수익률보다 높은 우상향이다. 그러나 경제 정점에서는 수익률 곡선은 때로 반전된다. 즉, 장기 채권 수익률이 단기 채권 수익률보다 낮아진다.

 

예: 만기 수익률이 12%이면, 액면 1,000달러, 만기 20년인 9% 만기 상환채의 가격과 반년치 이자 지급액은?

답: 이자 지급액이 1년에 2회($m=2$)이므로 40회 지급된다($n=40$). $F=1000$, $r^{(2)}=0.09$이므로 $\displaystyle r=\frac{r^{(2)}}{2}=0.045$, 반년치 이자 지급액은 $rF=0.045\times1000=45\$$이다.

 만기수익률은 $y^{(2)}=0.12$이므로 $\displaystyle y=\frac{y^{(2)}}{2}=0.06$이다. 채권가격이 $$P=100\left\{(0.045-0.06)\frac{1-(1+0.06)^{-40}}{0.06}+1\right\}=77.43\$$$ 이므로 채권은 액면가의 77.43%, 즉 $\displaystyle\frac{77.43}{100}\times1000=774.30\$$에 매매된다.

 이때 명목수익률은 $rm=0.045\times2=0.09$, 단순수익률은 $\displaystyle\frac{100rm}{P}=\frac{1000\times0.045\times2}{77.43}\approx0.116$이다. $P<100$이므로 채권은 디스카운트에 팔린다.

 

참고자료:  
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer