기초 금융수학-6. 연금

기초 금융수학-6. 연금

 

 

연금:

 주기(정기적인 시간)마다 지급되는 일정 금액

기말급 연금(ordinary annuity): 

 지급이 주기의 말에 시행되는 연금

기시급 연금(annuity due):

 지급이 주기가 시작될 때 시행되는 연금

 

기말급 연금

$P$: 매 주기 말에 투자하는 금액

$n$: 전체 주기 수(total number of periods)

$P_{n}$: $n$째 주기 말의 연금의 미래가

$m$: 연간 이자 주기 수(number of interest periods per year)

$i^{(m)}$: 소수로 표기한 명목 이자율(연간 이자율, annual interest rate)

$i$: 이자주기당 이자율(interest rate per interest period) $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$

 

정리 4.1(기말급 연금의 미래가 정리) 매 주기 말에 $P$를 $n$주기 동안 투자하면, 1년에 $m$번 주기가 있고 명목이율이 $i^{(m)}$일 때, $n$번째 주기 후에 연금의 미래가 $P_{n}$은 다음과 같다. $$P_{n}=\sum_{k=1}^{n}{P(1+i)^{k-1}}=P\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$$ 증명: 수학적 귀납법 또는 재귀관계를 이용한다. $$*1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^{n}-1}{x-1}\,(x\neq1)$$ 이 상황을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

   첫 지급금 $P$의 $n$번 주기 후 미래가는 $P(1+i)^{n-1}$, 둘째 지급금 $P$의 미래가는 $P(1+i)^{n-2}$,...이므로 식 $$P_{n}=P(1+i)^{n-1}+P(1+i)^{n-2}+\cdots+P(1+i)+P$$ 는 위 그림과 일치한다.

 

예: 스미스 부부는 20세 딸에게 장기간에 거친 생일선물을 주기로 했다.

 이 부부는 딸의 명의로 명목이자율 8%로 2,000달러를 다음 5번의 생일에 저축하고, 그다음에는 해마다 적립하지 않기로 했다. 이 부부의 딸이 65세가 되었을 때의 금액은?

답: $n=5$이고, 5년 후 딸은 $$P_{5}=2000\frac{(1+0.08)^{5}-1}{0.08}=11,733.20\$$$ 을 갖게 된다. 이제 이 금액이 40년 동안 8%로 투자되어 $11733.20(1+0.08)^{40}=254,898.16\$$이 된다.  

 

 $P_{n}$의 현재가는 $P_{0}$이고 이때 $P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}$이므로 기말급 금의 현재가는 $$P_{0}=P_{n}(1+i)^{-n}=P\frac{(1+i)^{n}-1}{i}(1+i)^{-n}=P\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$ 이다. 그러므로 다음 정리가 성립한다.

 

정리 4.2(기말급 연금의 현재가 정리) (1년에 $m$번의 주기가 있을 때) $n$번의 주기 말에 금액 $P$를 명목이율 $i^{(m)}$으로 투자하면, 이 연금의 현재가 $P_{0}$는 $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$일 때 다음과 같다. $$P_{0}=\frac{P_{n}}{(1+i)^{n}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{P}{(1+i)^{n+1-k}}}=P\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$ 위 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 이 것을 처음에 대출 $P_{0}$를 받고 $P$를 $n$번의 지급주기에 걸쳐 상환하는 것(대출을 할부상환 한다고 한다)으로 해석할 수 있다. 다르게 말하자면 "$n$달 동안 $P$를 갚아갈 수 있다면, 월 이자율 $i$로 얼마나 많이 빌릴 수 있는가?"에 답할 수 있다. 그러나 일반적으로 "$P_{0}$를 월 이자율 $i$로 빌려서 한달에 $P$씩 갚는다면 대출을 상환하는데 얼마나 걸리는가?"에는 답할 수 없는데 식 $\displaystyle P_{0}=P\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$를 $n$에 대해 풀면 $$n=\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{P}{P-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}$$ 이 되는데 좌변은 정수이나 우변은 일반적으로 정수는 아니다.

 

예: 앤더슨 가족은 할부로 새 주택을 구입하는 것을 고려하고 있다. 그들은 30년 동안 한 달에 700달러 씩 지출할 수 있다. 현재 이자율이 8%라면 얼마를 대출할 수 있는가?

답: $P=700$, $m=12$, $\displaystyle i=\frac{0.08}{12}$, $n=30\times12=360$이므로 $$P_{0}=700\frac{\displaystyle1-\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{-360}}{\displaystyle\frac{0.08}{12}}=95,398.45\$$$ 이고, 약 95,000달러를 대출받을 수 있다.

 

감채기금(sinking fund):

 미래의 $n$번째 주기에 해당하는 특정 날짜에 목표액 $F$가 적립될 것을 목표로 이자율 $i^{(m)}$으로 일정한 금액 $P$를 1년에 $m$번 (보통 매월) 정기적으로 예치하는 계좌

 

마지막 주기를 포함하여 각 주기 말에 예치된다면 시간도표는 다음과 같다.

  이 것은 기말급 연금에 해당하므로 $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$이라 하면 $\displaystyle F=P\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$이다.

 보통 감채기금은 "특정한 시점에 최종 목표금액에 도달하려면 매 주기에 얼마나 많이 적립해야 하는가?"와 같은 질문이 발생한다. 이것은 $P$를 $F$, $n$, $i$의 항으로 표현하는 것과 같고 $\displaystyle P=F\frac{i}{(1+i)^{n}-1}$로 나타낼 수 있다.

 

예: 리처드는 5년 안에 승용차를 구입할 계획이 있다. 그는 20,000달러가 필요할 것으로 보고 있다. 차를 교체하려면 명목이율 6%인 월 복리 감채기금에 매월 얼마나 넣어야 하는가?

답: $F=20000$, $n=5\times12=60$, $\displaystyle i=\frac{0.06}{12}=0.005$이므로 $$P=20000\frac{0.005}{(1+0.005)^{60}-1}=286.656$$ 즉 월 286.66달러이다.

 

정리 4.3 감채기금에 대한 주기적인 지급액 $\displaystyle P=F\frac{i}{(1+i)^{n}-1}$는 $n(>1)$일에 대하여 다음의 부등식을 만족해야 한다. $$\frac{F}{n}(1+i)^{-n}<P<\frac{F}{n}$$ 기시급 연금

 

$P$: 매 기간 초에 투자하는 금액(amount)

$n$: 전체 기간 수(total number of periods)

$P_{n}$: 연금의 $n$째 이자기간 말의 미래가

$m$: 연간 기간 수(number of periods per year)

$i^{(m)}$: 소수로 표기한 명목이자율

$i$: 이자기간당 이자율(interest rate per interest period), $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$

 

다음은 기시급 연금의 일반적인 시간도표이다.

정리 4.4(기시급 연금의 미래가 정리) $n$번의 기간(1년에 $m$번의 기간이 있다고 가정)동안 매 기간 초에 $P$를 명목이율 $i^{(m)}$으로 투자하면 $n$번의 기간 후 연금의 미래가 $P_{n}$은 다음과 같다. $$P_{n}=\sum_{k=1}^{n}{P(1+i)(1+i)^{k-1}}=P(1+i)\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$$ *참고 $$1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^{n}-1}{x-1}\,(x\neq1)$$ $P_{n}$의 현재가는 $P_{0}$로 $P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}$이다. 여기서 다음 정리를 얻을 수 있다.

 

정리 4.5(기시급 연금의 현재가 정리) $n$번의 기간(1년에 $m$번의 기간이 있다고 가정) 동안 매 기간 초에 $P$를 명목이율 $i^{(m)}$으로 투자하면 연금의 현재가 $P_{0}$는 다음과 같다. $$P_{0}=\frac{P_{n}}{(1+i)^{n}}=P(1+i)\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$ 영구연금(perpetuity): 

 영원히 지속되는 연금(금융기관이 폐업하지 않는다는 가정 하에서)

 

정리 4.6 지급 주기 당 이자율 $i$로 지급주기당 금액 $P$를 지급하는 영구연금의 현재가 $P_{0}$는 다음과 같다. $$P_{0}=\frac{P}{i}$$ 증명: $$P_{0}=P(1+i)^{-1}+P(1+i)^{-2}+\cdots=P(1+i)^{-1}\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{1+i}}=\frac{P}{i}$$ 참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer