기초 금융수학-5. 인플레이션 세금
인플레이션과 세금은 투자의 실효이자율(EFF)을 감소시키는 요인이다.
인플레이션(물가상승):
한 국가의 재화와 용역 가격 등의 전반적인 물가가 지속적으로 상승하는 경제상태. 이자처럼 작용하나 반대방향으로 움직인다.
예: 어느 해에 인플레이션이 10%이면 연초에 100달러 가치인 상품이 연말에는 110달러의 가치가 되어 그 상품을 연초에 비해 100110개의 상품만 구매할 수 있다.
따라서 연간 인플레이션율이 iinf이면, 연초의 P0는 연말에 P01+iinf의 구매력이 된다.
정리 3.1(구매력 정리) 연간 인플레이션율이 iinf로 일정하면, n년 후 구매력은 다음과 같이 감소한다.Pn=P0(1+iinf)n-iinf>0이면, {Pn}은 limn→,∞Pn=0인 감소수열이다. 이것은 인플레이션 기간 동안 시간이 지남에 따라 화폐가 구매할 수 있는 물건은 점점 더 적어짐을 뜻한다.
-디플레이션(물가하락)은 인플레이션과 반대이고 iinf<0이다. 이때 {Pn}은 limn→,∞Pn=0인 증가수열이다. 이것은 디플레이션 기간 동안 시간이 지남에 따라 화폐가 구매할 수 있는 물건은 점점 더 많아짐을 뜻한다.
예: 케이트는 영화 표를 7달러에 구입했다. 인플레이션율이 5%로 지속된다면 20년 후에 오늘의 금액으로 얼마나 지불해야 하는가?
답: P20=7일 때 P0가 오늘의 금액으로 지불해야 하는 금액이다. Pn=P0(1+iinf)−n에서 P0=7(1+0.05)20=18.57이 된다. 그러므로 인플레이션으로 인한 20년 후 영화 표의 가격은 18.57달러이다.
P0를 실효 이자율 iieff인 계좌에 입금했다고 하자. 인플레이션율 iinf가 일정하다면 n년 후에 계좌에 있는 금액의 구매력은 다음과 같다.Pn=P0(1+ieff)n(11+iinf)n=P0(1+ieff1+iinf)n실 이자율(real rate of interest):
인플레이션을 따라 조정한 이율 ieff로 P0가 이에 따라 연 단위 복리로 이자계산될 때 Pn으로 증가하게 되는 연이율 실 이자율 ireal을 도입하면 Pn=P0(1+ireal)n이고 앞의 식으로부터1+ireal=1+ieff1+iinf이므로ireal=1+ieff1+iinf−1=ieff−iinf1+iinf이고, 이것을 ieff에 대해 풀면 다음과 같이 된다.ieff=iinf+ireal+iinfireal소비자 물가지수(consumer price index, CPI):
일상생활을 위해 소비자가 구입하는 재화와 용역의 시간에 대한 평균가격을 나타내는 지표.
*미국의 소비자 물가지수는 가장 일반적이고 포괄적인 지수이며 '인플레이션율'의 근원으로 인용된다.

예: 2004년의 지수가 188.9, 2005년의 지수가 195.3이면 2005년의 인플레이션율은 다음과 같다.2005년지수−2004년지수2004년지수=195.3−188.9188.9=0.0339≈0.034(3.4%)예: 1970년 지수는 38.8, 2005년 지수는 195.3이다. 이것은 1970년에 가격이 38.80달러인 상품이 2005년에는 195.30달러가 되었음을 뜻한다. 그러므로 35년 후 금액 P0의 구매력은 P35=38.8195.3P0로 감소하고 따라서 인플레이션율 iinf는 38.8195.3P0=P0(11+iinf)35, 즉 다음과 같다.iinf=(38.8195.3)135−1=0.047≈0.05(5 금액 P0를 이자가 붙는 계좌에 실효이자율 ieff로 예치하면, 1년 후 P0(1+ieff)가 될 것이다. 그러므로 그 해의 세전 이자는 ieffP0이다. 이 이자에는 세금이 포함되어서 세율이 t일 때 ieffP0t를 세금으로 납부해야 하고, 둘째 해에 재투자 가능한 실제 세후 금액은 다음과 같다.P1=P0(1+ieff)−ieffP0t=P0{1+(1−t)ieff} 1년 후 이 금액은 세전 P1(1+ieff)이므로 세후에는 다음과 같다.P2=P1(1+ieff)−ieffP1t=P1{1+(1−t)ieff}정리 3.3(세금 정리) 연간 실효이자율이 ieff, 연간 세율이 t이면, n년 후 P0의 세후 미래가는 다음과 같다.Pn=P0{1+(1−t)ieff}n 세후이자율(after-tax rate of interest) itax를 도입해 이 이율로 복리로 이자계산될 때 P0가 세후에 Pn이 되게 하자. 그러면 Pn=P0(1+itax)n이고 세금정리에 의해 itax=(1−t)ieff이다.
참고자료:
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer
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