기초 금융수학-5. 인플레이션 세금

기초 금융수학-5. 인플레이션 세금

 

 

 인플레이션과 세금은 투자의 실효이자율(EFF)을 감소시키는 요인이다.

 

인플레이션(물가상승):

 한 국가의 재화와 용역 가격 등의 전반적인 물가가 지속적으로 상승하는 경제상태. 이자처럼 작용하나 반대방향으로 움직인다.

 

예: 어느 해에 인플레이션이 10%이면 연초에 100달러 가치인 상품이 연말에는 110달러의 가치가 되어 그 상품을 연초에 비해 $\displaystyle\frac{100}{110}$개의 상품만 구매할 수 있다.

 따라서 연간 인플레이션율이 $i_{\text{inf}}$이면, 연초의 $P_{0}$는 연말에 $\displaystyle\frac{P_{0}}{1+i_{\text{inf}}}$의 구매력이 된다. 

 

정리 3.1(구매력 정리) 연간 인플레이션율이 $i_{\text{inf}}$로 일정하면, $n$년 후 구매력은 다음과 같이 감소한다. $$P_{n}=\frac{P_{0}}{(1+i_{\text{inf}})^{n}}$$ -$i_{\text{inf}}>0$이면, $\{P_{n}\}$은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow,\,\infty}{P_{n}}=0$인 감소수열이다. 이것은 인플레이션 기간 동안 시간이 지남에 따라 화폐가 구매할 수 있는 물건은 점점 더 적어짐을 뜻한다.

-디플레이션(물가하락)은 인플레이션과 반대이고 $i_{\text{inf}}<0$이다. 이때 $\{P_{n}\}$은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow,\,\infty}{P_{n}}=0$인 증가수열이다. 이것은 디플레이션 기간 동안 시간이 지남에 따라 화폐가 구매할 수 있는 물건은 점점 더 많아짐을 뜻한다.

 

예: 케이트는 영화 표를 7달러에 구입했다. 인플레이션율이 5%로 지속된다면 20년 후에 오늘의 금액으로 얼마나 지불해야 하는가?

답: $P_{20}=7$일 때 $P_{0}$가 오늘의 금액으로 지불해야 하는 금액이다. $P_{n}=P_{0}(1+i_{\text{inf}})^{-n}$에서 $P_{0}=7(1+0.05)^{20}=18.57$이 된다. 그러므로 인플레이션으로 인한 20년 후 영화 표의 가격은 18.57달러이다.

 

 $P_{0}$를 실효 이자율 $i_{\text{ieff}}$인 계좌에 입금했다고 하자. 인플레이션율 $i_{\text{inf}}$가 일정하다면 $n$년 후에 계좌에 있는 금액의 구매력은 다음과 같다. $$P_{n}=P_{0}(1+i_{\text{eff}})^{n}\left(\frac{1}{1+i_{\text{inf}}}\right)^{n}=P_{0}\left(\frac{1+i_{\text{eff}}}{1+i_{\text{inf}}}\right)^{n}$$ 실 이자율(real rate of interest):

 인플레이션을 따라 조정한 이율 $i_{\text{eff}}$로 $P_{0}$가 이에 따라 연 단위 복리로 이자계산될 때 $P_{n}$으로 증가하게 되는 연이율 실 이자율 $i_{\text{real}}$을 도입하면 $P_{n}=P_{0}(1+i_{\text{real}})^{n}$이고 앞의 식으로부터 $$1+i_{\text{real}}=\frac{1+i_{\text{eff}}}{1+i_{\text{inf}}}$$ 이므로 $$i_{\text{real}}=\frac{1+i_{\text{eff}}}{1+i_{\text{inf}}}-1=\frac{i_{\text{eff}}-i_{\text{inf}}}{1+i_{\text{inf}}}$$ 이고, 이것을 $i_{\text{eff}}$에 대해 풀면 다음과 같이 된다. $$i_{\text{eff}}=i_{\text{inf}}+i_{\text{real}}+i_{\text{inf}}i_{\text{real}}$$ 소비자 물가지수(consumer price index, CPI):

 일상생활을 위해 소비자가 구입하는 재화와 용역의 시간에 대한 평균가격을 나타내는 지표.

 

*미국의 소비자 물가지수는 가장 일반적이고 포괄적인 지수이며 '인플레이션율'의 근원으로 인용된다.

평균 연간 CPI

예: 2004년의 지수가 188.9, 2005년의 지수가 195.3이면 2005년의 인플레이션율은 다음과 같다. $$\frac{2005년 지수-2004년 지수}{2004년 지수}=\frac{195.3-188.9}{188.9}=0.0339\approx0.034(3.4\text{%})$$ 예: 1970년 지수는 38.8, 2005년 지수는 195.3이다. 이것은 1970년에 가격이 38.80달러인 상품이 2005년에는 195.30달러가 되었음을 뜻한다. 그러므로 35년 후 금액 $P_{0}$의 구매력은 $\displaystyle P_{35}=\frac{38.8}{195.3}P_{0}$로 감소하고 따라서 인플레이션율 $i_{\text{inf}}$는 $\displaystyle\frac{38.8}{195.3}P_{0}=P_{0}\left(\frac{1}{1+i_{\text{inf}}}\right)^{35}$, 즉 다음과 같다. $$i_{\text{inf}}=\left(\frac{38.8}{195.3}\right)^{\frac{1}{35}}-1=0.047\approx0.05(5%)$$ 금액 $P_{0}$를 이자가 붙는 계좌에 실효이자율 $i_{\text{eff}}$로 예치하면, 1년 후 $P_{0}(1+i_{\text{eff}})$가 될 것이다. 그러므로 그 해의 세전 이자는 $i_{\text{eff}}P_{0}$이다. 이 이자에는 세금이 포함되어서 세율이 $t$일 때 $i_{\text{eff}}P_{0}t$를 세금으로 납부해야 하고, 둘째 해에 재투자 가능한 실제 세후 금액은 다음과 같다. $$P_{1}=P_{0}(1+i_{\text{eff}})-i_{\text{eff}}P_{0}t=P_{0}\{1+(1-t)i_{\text{eff}}\}$$ 1년 후 이 금액은 세전 $P_{1}(1+i_{\text{eff}})$이므로 세후에는 다음과 같다. $$P_{2}=P_{1}(1+i_{\text{eff}})-i_{\text{eff}}P_{1}t=P_{1}\{1+(1-t)i_{\text{eff}}\}$$ 정리 3.3(세금 정리) 연간 실효이자율이 $i_{\text{eff}}$, 연간 세율이 $t$이면, $n$년 후 $P_{0}$의 세후 미래가는 다음과 같다. $$P_{n}=P_{0}\{1+(1-t)i_{\text{eff}}\}^{n}$$ 세후이자율(after-tax rate of interest) $i_{\text{tax}}$를 도입해 이 이율로 복리로 이자계산될 때 $P_{0}$가 세후에 $P_{n}$이 되게 하자. 그러면 $P_{n}=P_{0}(1+i_{\text{tax}})^{n}$이고 세금정리에 의해 $i_{\text{tax}}=(1-t)i_{\text{eff}}$이다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer