기초 금융수학-2. 복리(1)

기초 금융수학-2. 복리(1)

 

 

복리는 이자를 낳으나 단리는 그렇지 않다.

 

2.1 복리 정리

 

 단리에서와 같이 전체 이자기간을 \(n\)이라 하고 1년에 이자기간이 \(m\)번 있다고 하자. \(n\)이자기간 말의 총액을 미래가(또는 누적원금(accumulated principal)), 연이율을 명목이율(nominal rate)이라고 한다. 그러므로 다음과 같이 둔다.

 

\(P_{0}\): 투자하는 초기원금(initial principal)(또는 현재가(present value), 총액 일시불(lump sum))

\(n\): 전체 이자기간 수(total number of interest periods)

\(P_{n}\): \(P_{0}\)의 \(n\)째 이자기간 말의 미래가(future value)

\(m\): 연간 이자기간 수(number of interest periods per year)

\(i^{(m)}\): 소수로 표기한 명목이자율(annual interest rate)

\(i\): 이자기간 당 이자율(interest rate per interest period), \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)

 

정리 2.1(복리 정리) 원금 \(P_{0}\)를 \(n\)이자기간 동안 복리로 1년에 \(m\)번 계산되는 명목이자율 \(i^{(m)}\)인 곳에 투자한다고 하자. 그러면 \(n\)이자기간 말에 \(P_{0}\)의 미래가 \(P_{n}\)은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)라 할 때 다음과 같다.$$P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}$$증명: 수학적귀납법 또는 재귀관계식을 이용한다.

 

remark

-복리정리의 미래가 \(P_{n}\)은 \(n\)이 정수(음의 정수 포함)일 때 성립한다.

-미래의 화폐 총액을 계산할 때, 즉 현재가로부터 미래가를 계산할 때, 복리(compounding)개념을 사용하고, 과거의 화폐 총액을 계산할 때, 즉 미래가로부터 현재가를 계산할 때 할인(discounting)개념을 사용한다.

 

예: 1,000달러를 연간 6% 복리로 2년 투자하면, 2년 후에 \(1,000(1+0.06)^{2}=1,123.60\$\)가 되므로 1,000달러의 미래가는 1,123.60달러이고 여기서 \((1+0.06)^{2}\)를 복리인수(compounding factor)라고 한다. 반면에 "2년에 1,123.60달러가 들어있으려면 1년에 한 번 복리 6%인 곳에 투자할 때 얼마를 투자해야 하는가?"라는 질문에 대한 답은 \(1,123.60(1+0.06)^{-2}=1000\$\)이고 여기서 1,000달러를 1,123.60달러의 할인가(discounted value), \((1+0.06)^{-2}\)를 할인인수(discount factor)라고 한다. 

 

ex) 케이트는 1,000달러를 CD에 연간 10%로 5년 투자했고, 이자의 인출은 없다. 

*이자가 인출되지 않고 이자에 이자가 붙으므로 복리이다.

\(P_{0}=1000\), \(m=1\), \(i^{(1)}=0.1\), \(n=5\), \(\displaystyle i=\frac{i^{(1)}}{1}=0.1\)이므로 최종 액수는 \(P_{5}=1000(1+0.1)^{5}=1,610.51\$\)이다.

*위 상황에서 다음과 같이 복리로 계산될 때의 미래가

(1) 회기별(1년에 2번):

 \(i^{(2)}=0.10\), \(m=2\)이므로 회기 이자율은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(2)}}{2}=\frac{0.10}{2}=0.05\)이고, 미래가는 다음과 같다.$$P_{10}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(2)}}{2}\right)^{2\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{2}\right)^{10}=1,628.89\$ $$(2) 분기별(1년에 4번):

 \(i^{(4)}=0.10\), \(m=4\)이므로 분기 이자율은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(4)}}{4}=\frac{0.10}{4}=0.025\)이고, 미래가는 다음과 같다.$$P_{20}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(4)}}{4}\right)^{4\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{4}\right)^{20}=1,638.62\$ $$(3) 월별(1년에 12번)

 \(i^{(12)}=0.10\), \(m=12\)이므로 분기 이자율연 \(\displaystyle i=\frac{i^{(12)}}{12}=\frac{0.10}{12}\)이고, 미래가는 다음과 같다.$$P_{60}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(12)}}{12}\right)^{12\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{60}=1,645.31\$ $$(4) 일별(1년에 365번): \(i^{(365)}=0.10\), \(m=365\)이므로 분기 이자율은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(365)}}{365}=\frac{0.10}{365}\)이고 미래가는 다음과 같다.$$P_{1825}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(365)}}{365}\right)^{365\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{365}\right)^{1825}=1,648.61\$ $$☞ \(P_{0}\)에 명목이율 \(i^{(m)}\)으로 1년에 \(m\)번 복리로 이자가 붙으면, \(N\)년 후 \(P_{0}\)의 미래 가치는 다음과 같다.$$P_{m,\,N}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mN}$$이 상황에서 연속으로 복리가 붙는다면, 즉 \(m\,\rightarrow\,\infty\)이면 \(i^{(m)}\)은 일정하고$$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}}=e^{x}$$이므로 명목이율 \(i^{(\infty)}\)에 대해 \(N\)년 후 \(P_{0}\)의 미래가는 다음과 같다.$$P_{\infty}=P_{0}e^{i^{(\infty)}N}$$(위의 예에서 연속복리인 경우 \(1000e^{0.1\times5}=1,648.72\$ \)가 된다) 

 

정리 2.2 \(i^{(m)}>0\)이고 \(m(\geq1)\)에 무관하면 수열 \(\displaystyle\left\{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\right\}\)은 증가수열이고 위로유계이며, 다음이 성립한다.$$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}}=e^{i^{(m)}}$$증명: \(a_{1},\,...,\,a_{m}(\geq0)\)에 대한 산술-기하 부등식$$(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})^{\frac{1}{m}}\leq\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}}{m}$$에서 \(a_{1}=1\), \(\displaystyle a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{m}=1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}\)이라 하면$$\left\{\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}\right)^{m-1}\right\}^{\frac{1}{m}}<\frac{\displaystyle1+(m-1)\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m}\right)}{m}=1+\frac{m-1}{m^{2}}i^{(m-1)}<1+\frac{i^{(m-1)}}{m}$$이고$$\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}\right)^{m-1}<\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\,(\because i^{(m-1)=i^{(m)}})$$이므로 수열 \(\displaystyle\left\{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\right\}\)은 증가한다.$$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}}=e^{i^{(m)}}$$이므로 이 수열은 유계, 즉 모든 \(m\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\leq e^{i^{(m)}}$$정의 2.1 연간 실효 이자율(annual effective rate, EFF) \(i_{\text{eff}}\)는 연 \(m\)회 이자 계산되는 명목이율 \(i^{(m)}\) 또는 연속으로 이자계산되는 명목이율 \(i^{(\infty)}\)와 동등한 연 수익률 \(i^{(1)}\)을 말한다.

 

 투자가 1년에 \(m\)번 이자계산되면$$P_{0}(1+i_{\text{eff}})=P_{0}e^{i^{(\infty)}}$$이므로 \(i_{\text{eff}}=e^{i^{(\infty)}}-1\)이다.

 

예: 윌슨은 둘 다 만기가 1년인 CD 두 개 중 하나를 택하려 한다. 하나는 반년마다 이자계산되는 명목이율 8%, 다른 것은 1년에 365일 이자계산되는 명목이율 7.85%이다.

(i) \(i^{(2)}=0.08\)이면 \(\displaystyle i=\frac{i^{(2)}}{2}=\frac{0.08}{2}\)이므로 \(\displaystyle i_{\text{eff}}=\left(1+\frac{0.08}{2}\right)^{2}-1=0.0816\)이다.

(ii) \(i^{(365)}=0.0785\)이면 \(\displaystyle i=\frac{i^{(365)}}{365}=\frac{0.0785}{365}\)이므로 \(\displaystyle i_{\text{eff}}=\left(1+\frac{0.0785}{365}\right)^{365}-1=0.0817\)이다.

 따라서 두 번째 CD를 선택한다.

*첫 번째 CD: \(\displaystyle P_{0}\left(1+\frac{0.08}{2}\right)^{2}=1.0816P_{0}\), 두 번째 CD: \(\displaystyle P_{0}\left(1+\frac{0.0785}{365}\right)^{365}=1.0817P_{0}\)

 

예: 사이먼스의 회사는 어떤 장비를 지금 200,000달러에 또는 지금 70,000달러, 1년 후 70,000달러, 2년 후 70,000달러에 구입할 수 있다. 자금을 명목이율 6%로 월 복리로 투자할 수 있다.

 

1. 세 현금흐름의 현재가는$$70000+70000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{-12}+70000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{-24}=198,036.37\$ $$이고 현재가가 200,000달러보다 적으므로 \(200000-198036.37=1,963.63\$\)를 절약할 수 있고, 이는 미래가 \(\displaystyle 1963.63\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{24}=2,213.32\$\)에 해당한다. 따라서 원금구입보다 할부구입이 낫다.

 

2. 두 선택을 평가하기 위해서는 사이먼스의 회사는 200,000달러를 보유해야 한다. 그래서 할부안에 따라 먼저 70,000달러를 지불하고 130,000달러를 남긴다. 남은 것으로 6%로 1년 투자해 138,018.12달러를 만든다. 그 다음에 70,000달러를 지불하고 68,018.12달러를 남긴다. 이것을 1년 동안 투자해 72,213.33달러를 만든다. 70,000달러를 지불하고 나면 2,213.33달러가 남는데 이것은 현재가로 1,963.63달러이다.

 

\(P=200000\), \(M=70000\), \(\displaystyle i=\frac{0.06}{12}\)라 하면$$P-M-M(1+i)^{-12}-M(1+i)^{-24}=\{[(P-M)(1+i)^{-12}-M](1+i)^{12}-M\}(1+i)^{-24}$$이므로 이 두 방법은 서로 동치이다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer