기초 금융수학-2. 복리(1)

기초 금융수학-2. 복리(1)

 

 

복리는 이자를 낳으나 단리는 그렇지 않다.

 

2.1 복리 정리

 

 단리에서와 같이 전체 이자기간을 $n$이라 하고 1년에 이자기간이 $m$번 있다고 하자. $n$이자기간 말의 총액을 미래가(또는 누적원금(accumulated principal)), 연이율을 명목이율(nominal rate)이라고 한다. 그러므로 다음과 같이 둔다.

 

$P_{0}$: 투자하는 초기원금(initial principal)(또는 현재가(present value), 총액 일시불(lump sum))

$n$: 전체 이자기간 수(total number of interest periods)

$P_{n}$: $P_{0}$의 $n$째 이자기간 말의 미래가(future value)

$m$: 연간 이자기간 수(number of interest periods per year)

$i^{(m)}$: 소수로 표기한 명목이자율(annual interest rate)

$i$: 이자기간 당 이자율(interest rate per interest period), $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$

 

정리 2.1(복리 정리) 원금 $P_{0}$를 $n$이자기간 동안 복리로 1년에 $m$번 계산되는 명목이자율 $i^{(m)}$인 곳에 투자한다고 하자. 그러면 $n$이자기간 말에 $P_{0}$의 미래가 $P_{n}$은 $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$라 할 때 다음과 같다. $$P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}$$ 증명: 수학적귀납법 또는 재귀관계식을 이용한다.

 

remark

-복리정리의 미래가 $P_{n}$은 $n$이 정수(음의 정수 포함)일 때 성립한다.

-미래의 화폐 총액을 계산할 때, 즉 현재가로부터 미래가를 계산할 때, 복리(compounding)개념을 사용하고, 과거의 화폐 총액을 계산할 때, 즉 미래가로부터 현재가를 계산할 때 할인(discounting)개념을 사용한다.

 

예: 1,000달러를 연간 6% 복리로 2년 투자하면, 2년 후에 $1,000(1+0.06)^{2}=1,123.60\$$가 되므로 1,000달러의 미래가는 1,123.60달러이고 여기서 $(1+0.06)^{2}$를 복리인수(compounding factor)라고 한다. 반면에 "2년에 1,123.60달러가 들어있으려면 1년에 한 번 복리 6%인 곳에 투자할 때 얼마를 투자해야 하는가?"라는 질문에 대한 답은 $1,123.60(1+0.06)^{-2}=1000\$$이고 여기서 1,000달러를 1,123.60달러의 할인가(discounted value), $(1+0.06)^{-2}$를 할인인수(discount factor)라고 한다. 

 

ex) 케이트는 1,000달러를 CD에 연간 10%로 5년 투자했고, 이자의 인출은 없다. 

*이자가 인출되지 않고 이자에 이자가 붙으므로 복리이다.

$P_{0}=1000$, $m=1$, $i^{(1)}=0.1$, $n=5$, $\displaystyle i=\frac{i^{(1)}}{1}=0.1$이므로 최종 액수는 $P_{5}=1000(1+0.1)^{5}=1,610.51\$$이다.

*위 상황에서 다음과 같이 복리로 계산될 때의 미래가

(1) 회기별(1년에 2번):

 $i^{(2)}=0.10$, $m=2$이므로 회기 이자율은 $\displaystyle i=\frac{i^{(2)}}{2}=\frac{0.10}{2}=0.05$이고, 미래가는 다음과 같다. $$P_{10}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(2)}}{2}\right)^{2\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{2}\right)^{10}=1,628.89\$$$ (2) 분기별(1년에 4번):

 $i^{(4)}=0.10$, $m=4$이므로 분기 이자율은 $\displaystyle i=\frac{i^{(4)}}{4}=\frac{0.10}{4}=0.025$이고, 미래가는 다음과 같다. $$P_{20}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(4)}}{4}\right)^{4\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{4}\right)^{20}=1,638.62\$$$ (3) 월별(1년에 12번)

 $i^{(12)}=0.10$, $m=12$이므로 분기 이자율연 $\displaystyle i=\frac{i^{(12)}}{12}=\frac{0.10}{12}$이고, 미래가는 다음과 같다. $$P_{60}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(12)}}{12}\right)^{12\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{60}=1,645.31\$$$ (4) 일별(1년에 365번): $i^{(365)}=0.10$, $m=365$이므로 분기 이자율은 $\displaystyle i=\frac{i^{(365)}}{365}=\frac{0.10}{365}$이고 미래가는 다음과 같다. $$P_{1825}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(365)}}{365}\right)^{365\times5}=1000\left(1+\frac{0.10}{365}\right)^{1825}=1,648.61\$$$ ☞ $P_{0}$에 명목이율 $i^{(m)}$으로 1년에 $m$번 복리로 이자가 붙으면, $N$년 후 $P_{0}$의 미래 가치는 다음과 같다. $$P_{m,\,N}=P_{0}\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mN}$$ 이 상황에서 연속으로 복리가 붙는다면, 즉 $m\,\rightarrow\,\infty$이면 $i^{(m)}$은 일정하고 $$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}}=e^{x}$$ 이므로 명목이율 $i^{(\infty)}$에 대해 $N$년 후 $P_{0}$의 미래가는 다음과 같다. $$P_{\infty}=P_{0}e^{i^{(\infty)}N}$$ (위의 예에서 연속복리인 경우 $1000e^{0.1\times5}=1,648.72\$$가 된다) 

 

정리 2.2 $i^{(m)}>0$이고 $m(\geq1)$에 무관하면 수열 $\displaystyle\left\{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\right\}$은 증가수열이고 위로유계이며, 다음이 성립한다. $$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}}=e^{i^{(m)}}$$ 증명: $a_{1},\,...,\,a_{m}(\geq0)$에 대한 산술-기하 부등식 $$(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})^{\frac{1}{m}}\leq\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}}{m}$$ 에서 $a_{1}=1$, $\displaystyle a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{m}=1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}$이라 하면 $$\left\{\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}\right)^{m-1}\right\}^{\frac{1}{m}}<\frac{\displaystyle1+(m-1)\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m}\right)}{m}=1+\frac{m-1}{m^{2}}i^{(m-1)}<1+\frac{i^{(m-1)}}{m}$$ 이고 $$\left(1+\frac{i^{(m-1)}}{m-1}\right)^{m-1}<\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\,(\because i^{(m-1)=i^{(m)}})$$ 이므로 수열 $\displaystyle\left\{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\right\}$은 증가한다. $$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}}=e^{i^{(m)}}$$ 이므로 이 수열은 유계, 즉 모든 $m$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다. $$\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}\leq e^{i^{(m)}}$$ 정의 2.1 연간 실효 이자율(annual effective rate, EFF) $i_{\text{eff}}$는 연 $m$회 이자 계산되는 명목이율 $i^{(m)}$ 또는 연속으로 이자계산되는 명목이율 $i^{(\infty)}$와 동등한 연 수익률 $i^{(1)}$을 말한다.

 

 투자가 1년에 $m$번 이자계산되면 $$P_{0}(1+i_{\text{eff}})=P_{0}e^{i^{(\infty)}}$$ 이므로 $i_{\text{eff}}=e^{i^{(\infty)}}-1$이다.

 

예: 윌슨은 둘 다 만기가 1년인 CD 두 개 중 하나를 택하려 한다. 하나는 반년마다 이자계산되는 명목이율 8%, 다른 것은 1년에 365일 이자계산되는 명목이율 7.85%이다.

(i) $i^{(2)}=0.08$이면 $\displaystyle i=\frac{i^{(2)}}{2}=\frac{0.08}{2}$이므로 $\displaystyle i_{\text{eff}}=\left(1+\frac{0.08}{2}\right)^{2}-1=0.0816$이다.

(ii) $i^{(365)}=0.0785$이면 $\displaystyle i=\frac{i^{(365)}}{365}=\frac{0.0785}{365}$이므로 $\displaystyle i_{\text{eff}}=\left(1+\frac{0.0785}{365}\right)^{365}-1=0.0817$이다.

 따라서 두 번째 CD를 선택한다.

*첫 번째 CD: $\displaystyle P_{0}\left(1+\frac{0.08}{2}\right)^{2}=1.0816P_{0}$, 두 번째 CD: $\displaystyle P_{0}\left(1+\frac{0.0785}{365}\right)^{365}=1.0817P_{0}$

 

예: 사이먼스의 회사는 어떤 장비를 지금 200,000달러에 또는 지금 70,000달러, 1년 후 70,000달러, 2년 후 70,000달러에 구입할 수 있다. 자금을 명목이율 6%로 월 복리로 투자할 수 있다.

 

1. 세 현금흐름의 현재가는 $$70000+70000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{-12}+70000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{-24}=198,036.37\$$$ 이고 현재가가 200,000달러보다 적으므로 $200000-198036.37=1,963.63\$$를 절약할 수 있고, 이는 미래가 $\displaystyle 1963.63\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{24}=2,213.32\$$에 해당한다. 따라서 원금구입보다 할부구입이 낫다.

 

2. 두 선택을 평가하기 위해서는 사이먼스의 회사는 200,000달러를 보유해야 한다. 그래서 할부안에 따라 먼저 70,000달러를 지불하고 130,000달러를 남긴다. 남은 것으로 6%로 1년 투자해 138,018.12달러를 만든다. 그 다음에 70,000달러를 지불하고 68,018.12달러를 남긴다. 이것을 1년 동안 투자해 72,213.33달러를 만든다. 70,000달러를 지불하고 나면 2,213.33달러가 남는데 이것은 현재가로 1,963.63달러이다.

 

$P=200000$, $M=70000$, $\displaystyle i=\frac{0.06}{12}$라 하면 $$P-M-M(1+i)^{-12}-M(1+i)^{-24}=\{[(P-M)(1+i)^{-12}-M](1+i)^{12}-M\}(1+i)^{-24}$$ 이므로 이 두 방법은 서로 동치이다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer