기초 금융수학-1. 단리

기초 금융수학-1. 단리

 

 

0. 들어가기 전 예비지식 

 

 일반적으로 소득을 두 범주, 직업으로 얻는 소득인 근로소득(earned income)과 투자로부터 얻는 불로소득(unearned income)으로 나눌 수 있다.

 불로소득, 즉 투자소득(investment income)을 고려해야 하는 이유는 많다. 생활비, 비상금과 같은 단기목표와 차량구입, 주택구입, 자녀교육, 중증 의료비 지불, 은퇴 비용 마련과 같은 장기목표를 위한 돈이 필요하다.

 투자는 차입(borrowing)과 차출(lending) 매입(buying), 매도(selling)을 수반한다.

 

차입과 차출:

 우리가 은행 계좌에 돈을 예치하면, 우리는 우리의 돈을 차출하는 것이고 은행은 차입하는 것이다. 우리는 은행, 기업, 정부, 개인에 돈을 차출할 수 있다. 그 댓가로 차입자(은행)는 우리에게 이자를 지불하고 미래의 어느 시점에 우리의 초기 투자금을 반환하기로 한다. 

예: 저축 계좌, 양도성 예금증서(certificate of deposit,CD), 단기 금융시장 계좌(money-market accounts), 채권(bond) 등

 

매입과 매도:

 투자 목적으로 무언가를 매입하는 것은 매도자로부터 자산을 매입하는 것이다. 우리는 이 자산이 수익을 낳거나 가치가 높아져서 그 중 일정부분이 우리에게 돌아오기를 기대한다.

예: 부동산, 주식

 

주식을 매입해 돈을 버는(또는 잃는) 길은 두 가지이다. 주가상승(주가하락)과 배당금이 그것이다.

 투자할 때 세금, 인플레이션, 위험 이 세 가지가 수익에 영향을 미친다. 세금은 누구에게나 영향을 미치고, 인플레이션은 수익이 발생했을 때 영향을 미치고, 위험은 투자의 수익성에 영향을 끼친다.

 일반적으로 높은 수익을 기대한다면 높은 위험도 예상해야 한다. 마찬가지로 낮은 위험은 낮은 수익과 연결되어있다. 위험이 클 수록 돈을 잃을 확률이 크다. 

 

1. 단리

 

화폐의 시간가치(time value of money):

 오늘의 돈이 같은 액수의 미래의 돈 보다 더 가치 있다는 개념이다(이자가 붙기 때문). 현재가(present value)는 오늘의 가치이고, 미래가(future value)는 미래의 가치이다(이자가 안 붙었다).

 

*돈에 이자가 붙는 방식은 다양하다. 단리, 연 복리, 반기 복리, 분기 복리, 월 복리, 일 복리, 연속 복리로 붙고, 이자율에 대해 언급할 때는 위의 방법 중 어느 것을 쓰는지 명확히 하는 것이 중요하다.

 

1.1 단리정리

*어느 시기의 총액은 그 시점의 원금의 미래가 아니다.

*연 이자율(annual interest rate)을 명목 이자율(nominal rate), 인용 이자율(quoted rate)을 표시 이자율(stated rate)이라고 한다.

 

1년마다 계산하는 과정을 넘어 복잡한 경우도 다루기 위해 전체 이자기간이 \(n\), 이자기간은 1년에 \(m\)번 있다고 하자. 따라서 다음과 같이 둔다.

 

\(P_{0}\): 투자하는 초기 원금(initial principal, 현재가/총액 일시불(lump sum))

\(n\): 전체 이자기간 수(total number of interest periods)

\(P_{n}\): \(P_{0}\)의 \(n\)째 이자기간 말의 미래가

\(m\): 연간 이자기간 수(number of interest periods per year)

\(i^{(m)}\): (소수로 표기한) 명목 이자율

\(i\): 이자기간 당 이자율(interest rate per interest period), \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\) 

 

정리 1.1(단리 정리) 원금 \(P_{0}\)를 1년에 \(m\)번 이자가 계산되며 단리 명목 이자율이 \(i^{(m)}\)인 곳에 투자한다고 하자. 그러면 \(n\)이자기간 말에 \(P_{0}\)의 미래가는 \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)라 할 때 다음과 같다.$$P_{n}=P_{0}(1+ni)$$증명: 수학적 귀납법 또는 재귀관계식 이용

 

remark:

-\(P_{n}-P_{0}=P_{0}ni\)는 원금 가치절상(principal appreciation)을 나타낸다.

-\(\displaystyle\frac{P_{n}-P_{0}}{P_{0}}=ni\)를 수익률(rate of return), \(\displaystyle\frac{P_{n}-P_{0}}{nP_{0}}=i\)를 기간당 수익률이라고 한다.

-단리정리는 \(n\geq0\)일 때 성립하고, \(n<0\)(음의 정수)일 때, 지난 \(n\)년 동안 단리로 연이율 \(i\)로 예금해서 \(P_{0}\)가 되었다면, \(n\)년 전의 원금을 \(P_{-n}\)이라 할 때 정리 1.1(단리 정리)에 의해 \(P_{0}=P_{-n}(1+ni)\)이므로 다음이 성립한다.$$P_{-n}=\frac{P_{0}}{1+ni}$$예: 존은 명목이율 5%로 이자가 지급되는 예금계좌를 가지고 있다. 이자는 최소일일잔고에  연간 365번 계산되고 월말에 계좌에 지급된다. 존은 4월 초에 1,000달러의 계좌를 개설하여 4월 11일에 200달러를 예치하고 4월 21일에 300달러를 인출했다. 이때 얻은 이자는 얼마인가?

답: \(i^{(m)}=0.05\), \(m=365\)이므로 \(\displaystyle i=\frac{0.05}{365}\)이고, 4월 1일부터 4월 11일 마감까지 1,000달러가 은행에 있었으므로 이때 얻은 이자는 \(\displaystyle1000\times11\times\frac{0.05}{365}=1.51\$\)(월말에 지급된다)이다.

4월 12일부터 4월 20일까지 은행에 1,200달러가 있으므로 이자는 \(\displaystyle1200\times9\times\frac{0.05}{365}=1.23\$\)이다. 

 존은 월말에 이자 총액 \(1.51+1.48+1.23=4.22\$\)를 받는다.

 

1.2 이자기간일 계산의 불명확성

 

 수학적으로 이자기간 수 전체 \(n\)과 연간 이자기간 수 \(m\)을 계산할 때 불명확한 점이 없어보이나 실제로 이자기간이 일로 계산될 때는 이러한 값들이 불명확하다

 

●두 날짜 사이의 일수

-두 날짜 사이의 실제 일수(actual number of days) 또는 정확한 일수(exact number of days)는 주어진 날짜에서 처음 또는 마지막 날을 제외한 중간에 있는 날을 세어 계산한다. 예를 들어 1월 31과 2월 5일 사이의 실제 일수는 5이고, 5월 4일과 10월 3일 사이의 실제 일수는 152일이고, 날짜에 번호를 매기면 5월 4일은 124, 10월 3일은 276번이므로 276-124=152일이다.

*윤년인 경우 2월 29일을 고려한다.

-월 30일 방법(30-day month method)은 모든 달이 30일이라 가정하는 방법이다.

\(m_{i}\):월, \(d_{i}\):일, \(y_{i}\):연(\(i=1,\,2\))이라 할 때 \(m_{1}/d_{1}/y_{1}\)에서 \(m_{2}/d_{2}/y_{2}\)까지의 일 수는 다음과 같이 주어진다.$$360(y_{2}-y_{1})+30(m_{2}-m_{1})+(d_{2}-d_{1})$$ 2005년 5월 4일과 2005년 10월 3일 사이를 월 30일 방법으로 계산하면 149일이다. 

 

●날짜에 번호 붙이기

 일수를 계산할 때 가장 보편적인 두 방법은 1년이 365/366(윤년 포함)인 실제방법과 1년이 360인 월 30일 방법이다. 

-실제/실제(actual/actual):

 실제 방법을 사용하여 두 날짜 사이의 일수를 계산하고 1년의 실제 일 수를 계산하는 관행. 이 때의 이자를 정확한 이자라 한다.

-30/360:

 월 30일 방법을 사용하여 두 날짜 사이의 일수를 계산하고 1년의 일 수를 계산하는 관행. 이 때의 이자를 통상이자라 한다.

-실제/360(actual/360):

 실제 방법을 사용하여 두 날짜 사이의 일수를 계산하고 월 30일 방법을 사용하여 1년의 일수를 계산하는 관행. 이 때의 이자를 은행가 규칙으로 계산한 이자라고 한다.

 

일반적인 투자 형태로 양도성 예금증서(CD, certificate of deposit)를 통한 투자가 있고, 이것은 금융기관에서 발행한다.

양도성 예금증서
만기	6~60개월
지급 주기	단기는 만기일 지급, 장기는 월별지급
위약금	조기 인출
발행자	상업은행, 상호신용금고, 신용조합
위험	인플레이션, 이자율, 재투자, 위험성
시장화 가능성	가능함
제약	최소 투자

예: 로버트는 1,000달러를 CD(양도성 예금증서)에 10%로 5년 투자하고 매년 말에 이자를 인출하되 소비하거나 투자하지 않는다.

*매년 말에 이자가 인출되므로 단리이다.

답: 원금(\(P_{0}\))이 1,000달러, 연간 기간 수(\(m\))는 1, 이자율(\(i^{(1)}\))은 10%, 연수(\(n\))는 5이다. 따라서 최종금액은 \(P_{5}=1000(1+5\times0.1)=1,500\$\)이다. 

 

참고자료: 

An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer