기초 금융수학-3. 복리(2)

기초 금융수학-3. 복리(2)

 

 

2.2 시간도표와 현금흐름

 

 시간도표(time diagram)를 이용하면 현금흐름(cash flow: 투자에 돈이 들어오고 나가는 흐름)을 시각적으로 표현할 수 있다.

1. 수평선을 그리는 데, 이 수평선은 현재(0)에서 오른쪽으로 갈 수록 시간이 증가하는 것을 나타낸다.

2. 수평선에서 시작하는 짧은 수직선을 그린다. 위로 가는 수직선은 들어오는 현금(양의 현금흐름, 수입)을 나타내고, 아래로 가는 수직선은 나가는 현금(음의 현금흐름, 지출)을 나타낸다(수직선은 현금 흐름).

 

예: 2년동안 연 복리 6%로 1,000달러를 투자하면 2년 말의 미래가는 $1000(1.06)^{2}=1,123.60\$$이다.

 연도 0에 투자하여(그래서 현금이 나가고 따라서 음의 부호가 붙는다), 연도 2에 1,123.60달러를 받는다. 이것을 다음과 같이 시간도표로 나타낸다.

 

일반적으로 복리에 대한 현금흐름은

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있고,

할인에 대한 현금흐름은

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음의 순현금흐름은 일반적인 상황으로

 여기서 $C_{k}$는 양수, 음수, 0 중 하나이고, $C_{k}$의 부호를 모르기 때문에 일반적으로 다음과 같이 나타낸다.

 투자의 순현재가(net present value, NPV)는 유입 현금흐름의 현재가와 유출 현금흐름의 현재가치의 차, 즉 $$\text{NPV}=C_{0}+C_{1}(1+i)^{-1}+C_{2}(1+i)^{-2}+\cdots+C_{n}(1+i)^{-n}$$ 이며 여기서 $i$는 유력한 이자율(prevailing)이다(보통 초기 현금흐름 $C_{0}$는 음수이다). 이 이자율은 투자 위험의 함수이다.

 같은 위험의 두 투자 사이에서 선택해야 할 때, 투자자는 일반적으로 더 높은 순현재가를 가진 투자를 선택한다. 만약 두 투자가 같은 시간 간격이고 같은 순현재가를 가지면 투자자는 투자에 대해 중립적(indifferent)이라고 한다.

 

예: 존은 연간 현금흐름이 다음과 같은 두 투자를 고려하고 있다.

유력한 이자율이 (a) 4.5%, (b) 9%일 때 어느 것이 더 나은 투자인가?

 

답: 

(a) 유력한 이자율이 4.5%일 때 투자 1과 2의 NPV를 각각 NPV1, NPV2라 하면 $$\begin{align*}\text{NPV}1&=-13000+\frac{5000}{1+0.045}+\frac{6000}{(1+0.045)^{2}}+\frac{7000}{(1+0.045)^{3}}=3,413.14\$\\ \text{NPV}2&=-13000+\frac{7000}{1+0.045}+\frac{4800}{(1+0.045)^{2}}+\frac{6000}{(1+0.045)^{3}}=3,351.85\$\end{align*}$$ 이므로 투자 1을 선택한다.

(b)  유력한 이자율이 9%일 때 투자 1과 2의 NPV를 각각 NPV1, NPV2라 하면 $$\begin{align*}\text{NPV}1&=-13000+\frac{5000}{1+0.09}+\frac{6000}{(1+0.09)^{2}}+\frac{7000}{(1+0.09^{3}}=2,042.52\$\\ \text{NPV}2&=-13000+\frac{7000}{1+0.09}+\frac{4800}{(1+0.09)^{2}}+\frac{6000}{(1+0.09)^{3}}=2,095.18\$\end{align*}$$ 이므로 투자 2를 선택한다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer