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기초 금융수학-4. 복리(3)

 

 

2.3 내부 수익률

 

정의 2.2 어떤 투자에 대한 내부수익률(internal rate of return, IRR) iirr은 같은 현금흐름을 버는 저축계좌에 적용된 연이율과 동일한 이자율을 말한다. 

 

예: 톰은 10,000달러를 1년에 연이율 5%로 365번 이자계산되는 CD에 투자했고, 1년 말에 1년에 4번 연이율 6%로 이자계산되는 CD에 투자했다.

 첫 해 말에 10000(1+0.05365)365를 얻고, 이것은 두 번째 CD의 원금이다. 그러면 다음의 금액을 얻게 된다.10000(1+0.05365)365(1+0.064)4=11,157.77$

이 결과를 가지고 내부수익률 iirr을 구하자.10000(1+iirr)2=10000(1+0.05365)365(1+0.064)4
이고 이것을 계산하면 iirr=0.0563이므로 IRR은 약 5.6%이다.

 

지수펀드(index fund):

 자산의 모임이 주식시장의 특정 지수의 성과를 반영하도록 설계된 펀드. 결정을 자동화하고 송금이 드물게 발생하도록 운영한다.

 

예: 12개우러 동안 매월 초에 케네스는 어떤 지수펀드의 100달러에 해당하는 지분을 구입했다. 12개월째 말에 그의 지분의 가치는 1,500달러였다. 이 때의 내부수익률 iirr은?

 

답: 시간도표는 다음과 같다.

 연이율이 iirr일 때 그의 투자자의 현재가는100+100(1+iirr)112+100(1+iirr)212++100(1+iirr)1112=1500(1+iirr)1212

(현재가로 할인) 또는100(1+iirr)1212+100(1+iirr)1112+100(1+iirr)1012++100(1+iirr)112=1500
이다(12개월 말의 미래가로 복리계산, iirr>0)

 두 번째 방정식에서 1+i=(1+iirr)112라 하면 1+i>0이고100(1+i)12+100(1+i)11++100(1+i)=1500

이 되는데(1+i)11+(1+i)10++(1+i)=15
로 나타낼 수 있고, 등비급수 공식에 의해(1+i)121i15=0
이다.

 

 일반적으로 이 방정식은 해석적으로 풀 수 없고(인수분해가 안 된다) 수치해석적 방법으로 풀면 i=0.0339를 얻는다. 그러면 iirr=(1+I)121=0.492이므로 내부수익률은 49.2%이다.

 

 앞의 예에서 간과한 것은 근의 유일성인데 다른 해들도 존재하지만 조건 1+i>0에 의해 기각된다.   

 

 다음과 같은 일반적인 경우를 고려하자.

 여기서 Ck(k=0,1,...,n)는 양수, 음수, 0 중 하나이다. m을 연간 기간 수, n을 전체 기간 수라 하자. 이 상항을 다음과 같이 시간도표로 나타낼 수 있다

 이 현금흐름에 대한 IRR은 방정식C0+C1(1+iirr)1m+C2(1+iirr)2m++Cn(1+iirr)nm=0

의 해이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.C0(1+iirr)nm+C1(1+iirr)n1m++Cn=0
1+i=(1+iirr)1m(>0)이라 하면 이 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.C0(1+i)n+C1(1+i)n1++Cn=0
이 것은 1+i에 대한 n차 다항방정식이므로 복소근을 포함하면 정확히 n개의 해를 갖는다.

 1+i=(1+iirr)1m이므로 iirr=(1+i)m1이고, 이항근사(1+i)m=1+mi+

를 이용해 iirrmi로 대체할 수 있다. 

 n=1일 때(그래서 두 개의 현금흐름이 있다) 이 방정식은 C0(1+i)+C1=0이 되고 i=C1+C0C0이다. 

 P0=C0<0, P1=C1>0이라 하면, P0의 예금계좌를 개설하여 한 기간 후에 P1이 누적된 것에 해당하는데 이때 i=P1P0P0이고, 이것은 수익률과 같다.

 그러므로 유입 현금흐름 1회와 유출 현금흐름 1회가 있다면 기간당 내부 수익률과 투자 수익률은 같다. 

 n=2일 때 방정식은 C0i2+(2C0+C1)i+(C0+C1+C2)=0이고 서로 다른 두 실근, 이중근, 허근(복소근) 이 세 가지 중 하나가 성립한다.

 IRR이 존재하지 않거나 유일하지 않더라도 완전하게 정상적인 현금흐름을 설계할 수 있다.

 

예: 다음 현금흐름에 대해

 누군가에게 지금 1,000달러와 2년 후에 1,500달러를 주고 대신 1년 후 2,000달러를 받는 것이다.1000(1+iarr)2+2000(1+iarr)1500=0

이고 정리하면 2i2arr+1=0이므로 따라서 이 거래에는 IRR이 없다.

 

예: 다음 현금흐름에 대해

 누군가에게 지금 1,000달러와 2년 후에 1,155달러를 주고 대신 1년 후 2,150달러를 받는 것이다.1000(1+iarr)2+2150(1+iarr)1155=0

이고 1+iirr=1.05 또는 1+iirr=1.1이다. 따라서 iarr=0.05 또는 iarr=0.10이 되어 iarr은 유일하지 않다.

 

정리 2.3 (IRR 유일성 정리 I) 어떤 정수 p에 대해 C0,C1,...,Cp가 같은 부호이거나 0(모두 0은 아니다)이고 Cp+1,Cp+2,...,Cn이 모두 반대 부호이거나 0(모두 0은 아니다)이면 방정식C0+C1(1+i)1+C2(1+i)2++Cn(1+i)n=0

은 많아야 하나의 해 1+i를 갖는다.

증명: 데카르트의 부호법칙

 

데카르트 부호 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

위키백과, 우리 모두의 백과사전. 수학에서, 데카르트 부호 법칙(Descartes符號法則, 영어: Descartes’ rule of signs)은 실수 계수 다항식의 양의 실수 근의 수가 내림차순 (또는 오름차순)으로 나열된 0

ko.wikipedia.org

 이 정리는 많아야 하나의 양의 해 1+i가 있음을 보장하나 i가 양수라는 것은 보장하지 않는다.

 

정리 2.4 (IRR 유일성 정리 II) 다음 조건들을 만족하는 i가 존재하면, 그 i는 유일하다.

(a) 1+i0

(b) 0pn1인 모든 정수 p에 대하여 pk=0Ck(1+i)pk>0(기간 p까지의 모든 현금흐름의 미래가가 양수)

(c) nk=0Ck(1+i)nk=0

증명: 또 다른 해 j가 존재하면 (c)에 의해 다음이 성립한다.pk=0Ck(1+i)pk=0

일반성을 잃지 않고 j>i라 가정한다. p에 대하여pk=0Ck(1+j)pk>pk=0Ck(1+i)pk=0
(수학적귀납법)인데 조건 (c)에 의해 모순이다.

 

-조건 (b)에 의해 C0>0, 조건 (a), (b)에 의해 Cn<0이다. 나머지 C1,...,Cn1에 대해서는 (b)를 만족한다는 것 외에는 부호에 대한 제약이 없다.

-이 정리는 다음 의미에서 전형적인 저축계정은 유일한 IRR을 가진다는 것을 보장한다.

 

 저축이 양의 수지 C0>0로 개설되고, 인출, 예금을 여러번 해도 i(이자율)가 변하지 않고 계정에서 초과인출되는 일이 없다면, 즉 0pn1에 대해 pk=0Ck(1+i)pk>0이면 IRR, 즉 i가 존재하고 유일하다

 

-조건 (b)의 부등식을  pk=0Ck(1+i)pk<0으로 바꾸어도 이 정리는 성립한다.

 

72법칙:

 투자자들이 가끔 사용하는 근사방법으로 투 자가 두 배가 되는데 걸리는 시간은 72연이율(%)이다.

 이자가 명목이율 i()로 연속복리일 때, 시간 n일 때의 미래가는 P(n)=P0ei()n이다.

P(n+T)=2P(n)T를 구하면 P0ei()(n+T)=2P0ei()n이므로 ei()T=2이고 T=ln2i()이다.

 그러나 투자는 종종 연속복리가 아닌 월 단위 복리로 이자계산된다. 이 경우 Pn=P0(1+i)n이므로 PN=2P0, (1+i)N=2N을 구하면 N=ln2ln(1+i)이다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer

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Posted by skywalker222