기초 금융수학-4. 복리(3)

기초 금융수학-4. 복리(3)

 

 

2.3 내부 수익률

 

정의 2.2 어떤 투자에 대한 내부수익률(internal rate of return, IRR) \(i_{\text{irr}}\)은 같은 현금흐름을 버는 저축계좌에 적용된 연이율과 동일한 이자율을 말한다. 

 

예: 톰은 10,000달러를 1년에 연이율 5%로 365번 이자계산되는 CD에 투자했고, 1년 말에 1년에 4번 연이율 6%로 이자계산되는 CD에 투자했다.

 첫 해 말에 \(\displaystyle10000\left(1+\frac{0.05}{365}\right)^{365}\)를 얻고, 이것은 두 번째 CD의 원금이다. 그러면 다음의 금액을 얻게 된다.$$10000\left(1+\frac{0.05}{365}\right)^{365}\left(1+\frac{0.06}{4}\right)^{4}=11,157.77\$ $$ 이 결과를 가지고 내부수익률 \(i_{\text{irr}}\)을 구하자.$$10000(1+i_{\text{irr}})^{2}=10000\left(1+\frac{0.05}{365}\right)^{365}\left(1+\frac{0.06}{4}\right)^{4}$$이고 이것을 계산하면 \(i_{\text{irr}}=0.0563\)이므로 IRR은 약 5.6%이다.

 

지수펀드(index fund):

 자산의 모임이 주식시장의 특정 지수의 성과를 반영하도록 설계된 펀드. 결정을 자동화하고 송금이 드물게 발생하도록 운영한다.

 

예: 12개우러 동안 매월 초에 케네스는 어떤 지수펀드의 100달러에 해당하는 지분을 구입했다. 12개월째 말에 그의 지분의 가치는 1,500달러였다. 이 때의 내부수익률 \(i_{\text{irr}}\)은?

 

답: 시간도표는 다음과 같다.

 연이율이 \(i_{\text{irr}}\)일 때 그의 투자자의 현재가는$$100+100(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{1}{12}}+100(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{2}{12}}+\cdots+100(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{11}{12}}=1500(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{12}{12}}$$(현재가로 할인) 또는$$100(1+i_{\text{irr}})^{\frac{12}{12}}+100(1+i_{\text{irr}})^{\frac{11}{12}}+100(1+i_{\text{irr}})^{\frac{10}{12}}+\cdots+100(1+i_{\text{irr}})^{\frac{1}{12}}=1500$$이다(12개월 말의 미래가로 복리계산, \(i_{\text{irr}}>0\))

 두 번째 방정식에서 \(1+i=(1+i_{\text{irr}})^{\frac{1}{12}}\)라 하면 \(1+i>0\)이고$$100(1+i)^{12}+100(1+i)^{11}+\cdots+100(1+i)=1500$$이 되는데$$(1+i)^{11}+(1+i)^{10}+\cdots+(1+i)=15$$로 나타낼 수 있고, 등비급수 공식에 의해$$\frac{(1+i)^{12}-1}{i}-15=0$$이다.

 

 일반적으로 이 방정식은 해석적으로 풀 수 없고(인수분해가 안 된다) 수치해석적 방법으로 풀면 \(i=0.0339\)를 얻는다. 그러면 \(i_{irr}=(1+I)^{12}-1=0.492\)이므로 내부수익률은 49.2%이다.

 

 앞의 예에서 간과한 것은 근의 유일성인데 다른 해들도 존재하지만 조건 \(1+i>0\)에 의해 기각된다.   

 

 다음과 같은 일반적인 경우를 고려하자.

 여기서 \(C_{k}(k=0,\,1,\,...,\,n)\)는 양수, 음수, 0 중 하나이다. \(m\)을 연간 기간 수, \(n\)을 전체 기간 수라 하자. 이 상항을 다음과 같이 시간도표로 나타낼 수 있다

 이 현금흐름에 대한 IRR은 방정식$$C_{0}+C_{1}(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{1}{m}}+C_{2}(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{2}{m}}+\cdots+C_{n}(1+i_{\text{irr}})^{-\frac{n}{m}}=0$$의 해이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C_{0}(1+i_{\text{irr}})^{\frac{n}{m}}+C_{1}(1+i_{\text{irr}})^{\frac{n-1}{m}}+\cdots+C_{n}=0$$ \(1+i=(1+i_{\text{irr}})^{\frac{1}{m}}(>0)\)이라 하면 이 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C_{0}(1+i)^{n}+C_{1}(1+i)^{n-1}+\cdots+C_{n}=0$$ 이 것은 \(1+i\)에 대한 \(n\)차 다항방정식이므로 복소근을 포함하면 정확히 \(n\)개의 해를 갖는다.

 \(1+i=(1+i_{\text{irr}})^{\frac{1}{m}}\)이므로 \(i_{\text{irr}}=(1+i)^{m}-1\)이고, 이항근사$$(1+i)^{m}=1+mi+\cdots$$를 이용해 \(i_{\text{irr}}\approx mi\)로 대체할 수 있다. 

 \(n=1\)일 때(그래서 두 개의 현금흐름이 있다) 이 방정식은 \(C_{0}(1+i)+C_{1}=0\)이 되고 \(\displaystyle i=-\frac{C_{1}+C_{0}}{C_{0}}\)이다. 

 \(P_{0}=-C_{0}<0\), \(P_{1}=C_{1}>0\)이라 하면, \(P_{0}\)의 예금계좌를 개설하여 한 기간 후에 \(P_{1}\)이 누적된 것에 해당하는데 이때 \(\displaystyle i=\frac{P_{1}-P_{0}}{P_{0}}\)이고, 이것은 수익률과 같다.

 그러므로 유입 현금흐름 1회와 유출 현금흐름 1회가 있다면 기간당 내부 수익률과 투자 수익률은 같다. 

 \(n=2\)일 때 방정식은 \(C_{0}i^{2}+(2C_{0}+C_{1})i+(C_{0}+C_{1}+C_{2})=0\)이고 서로 다른 두 실근, 이중근, 허근(복소근) 이 세 가지 중 하나가 성립한다.

 IRR이 존재하지 않거나 유일하지 않더라도 완전하게 정상적인 현금흐름을 설계할 수 있다.

 

예: 다음 현금흐름에 대해

 누군가에게 지금 1,000달러와 2년 후에 1,500달러를 주고 대신 1년 후 2,000달러를 받는 것이다.$$-1000(1+i_{\text{arr}})^{2}+2000(1+i_{\text{arr}})-1500=0$$이고 정리하면 \(2i_{\text{arr}}^{2}+1=0\)이므로 따라서 이 거래에는 IRR이 없다.

 

예: 다음 현금흐름에 대해

 누군가에게 지금 1,000달러와 2년 후에 1,155달러를 주고 대신 1년 후 2,150달러를 받는 것이다.$$-1000(1+i_{\text{arr}})^{2}+2150(1+i_{\text{arr}})-1155=0$$이고 \(1+i_{\text{irr}}=1.05\) 또는 \(1+i_{\text{irr}}=1.1\)이다. 따라서 \(i_{\text{arr}}=0.05\) 또는 \(i_{\text{arr}}=0.10\)이 되어 \(i_{\text{arr}}\)은 유일하지 않다.

 

정리 2.3 (IRR 유일성 정리 I) 어떤 정수 \(p\)에 대해 \(C_{0},\,C_{1},\,...,\,C_{p}\)가 같은 부호이거나 0(모두 0은 아니다)이고 \(C_{p+1},\,C_{p+2},\,...,\,C_{n}\)이 모두 반대 부호이거나 0(모두 0은 아니다)이면 방정식$$C_{0}+C_{1}(1+i)^{-1}+C_{2}(1+i)^{-2}+\cdots+C_{n}(1+i)^{-n}=0$$은 많아야 하나의 해 \(1+i\)를 갖는다.

증명: 데카르트의 부호법칙

데카르트 부호 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 이 정리는 많아야 하나의 양의 해 \(1+i\)가 있음을 보장하나 \(i\)가 양수라는 것은 보장하지 않는다.

 

정리 2.4 (IRR 유일성 정리 II) 다음 조건들을 만족하는 \(i\)가 존재하면, 그 \(i\)는 유일하다.

(a) \(1+i\geq0\)

(b) \(0\leq p\leq n-1\)인 모든 정수 \(p\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+i)^{p-k}}>0\)(기간 \(p\)까지의 모든 현금흐름의 미래가가 양수)

(c) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{C_{k}(1+i)^{n-k}}=0\)

증명: 또 다른 해 \(j\)가 존재하면 (c)에 의해 다음이 성립한다.$$\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+i)^{p-k}}=0$$ 일반성을 잃지 않고 \(j>i\)라 가정한다. \(p\)에 대하여$$\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+j)^{p-k}}>\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+i)^{p-k}}=0$$(수학적귀납법)인데 조건 (c)에 의해 모순이다.

 

-조건 (b)에 의해 \(C_{0}>0\), 조건 (a), (b)에 의해 \(C_{n}<0\)이다. 나머지 \(C_{1},\,...,\,C_{n-1}\)에 대해서는 (b)를 만족한다는 것 외에는 부호에 대한 제약이 없다.

-이 정리는 다음 의미에서 전형적인 저축계정은 유일한 IRR을 가진다는 것을 보장한다.

 

 저축이 양의 수지 \(C_{0}>0\)로 개설되고, 인출, 예금을 여러번 해도 \(i\)(이자율)가 변하지 않고 계정에서 초과인출되는 일이 없다면, 즉 \(0\leq p\leq n-1\)에 대해 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+i)^{p-k}}>0\)이면 IRR, 즉 \(i\)가 존재하고 유일하다

 

-조건 (b)의 부등식을  \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p}{C_{k}(1+i)^{p-k}}<0\)으로 바꾸어도 이 정리는 성립한다.

 

72법칙:

 투자자들이 가끔 사용하는 근사방법으로 투 자가 두 배가 되는데 걸리는 시간은 \(\displaystyle\frac{72}{\text{연이율(%)}}\)이다.

 이자가 명목이율 \(i^{(\infty)}\)로 연속복리일 때, 시간 \(n\)일 때의 미래가는 \(P(n)=P_{0}e^{i^{(\infty)}n}\)이다.

\(P(n+T)=2P(n)\)인 \(T\)를 구하면 \(P_{0}e^{i^{(\infty)}(n+T)}=2P_{0}e^{i^{(\infty)}n}\)이므로 \(e^{i^{(\infty)}T}=2\)이고 \(\displaystyle T=\frac{\ln2}{i^{(\infty)}}\)이다.

 그러나 투자는 종종 연속복리가 아닌 월 단위 복리로 이자계산된다. 이 경우 \(P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}\)이므로 \(P_{N}=2P_{0}\), \((1+i)^{N}=2\)인 \(N\)을 구하면 \(\displaystyle N=\frac{\ln2}{ln(1+i)}\)이다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer