기초 금융수학-8. 할부상환

기초 금융수학-8. 할부상환

 

 

할부상환(amortize):

 처음에 일정 금액(초기원금 또는 약정금액)을 명시된 연이율로 대출하고, 어느 기간 동안 원금과 이자를 일정한 주기로 지불해 채무 상환하는 행위

 

 대출회사는 할부상환 일정표(amortization table)라는 표로 다양한 지불액을 금리 및 기간에 따라 표시한다.

 

$P_{0}$: 지불해야 하는 초기원금(약정 금액)

$P_{n}$: $n$째 지불주기 말의 원금 잔액(상환되어야할 남은 원금)

$M$: 주기별 지불액

$N$: 전체 지불주기 수(total number of payment periods)

$m$: 연간 지불 건수(number of periodic payments per year)

$i^{(m)}$: 연간 이자율(annual interest rate)

$i$: 이자주기당 이자율(interest rate per interest period) $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$

 

다음은 할부상환에 대한 시간도표이다.

다음은 분할상환표의 일부이다.

이자주기	액면이자	이자	상환금	장부원금
0				$P_{0}$
1	$M$	$iP_{0}$	$M-iP_{0}$	$P_{0}-(M-iP_{0})=P_{1}$
2	$M$	$iP_{1}$	$M-iP_{1}$	$P_{1}-(M-iP_{1})=P_{2}$

 위 분할상환표 대로라면 $n$째 지불주기 말의 원금 잔액은 다음과 같다. $$\begin{align*}P_{n}&=P_{0}(1+i)^{n}-M\{1+(1+i)+\cdots+(1+i)^{n-1}\}\\&=P_{0}(1+i)^{n}-M\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\\&=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}\end{align*}$$ 정리 6.1(분할상환 정리) $P_{0}$가 명목이율 $i^{(m)}$으로 빌린 초기원금이고 1년에 $m$번 정기적으로 상환한다면 $n$번째 상환기관 후에 남은 원금 잔액 $P_{n}$은 $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$라 할때 다음과 같다. $$P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}$$ 증명: 수학적귀납법 또는 재귀관계로 증명

 

 $\displaystyle P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}$이고 $\{(1+i)^{n}\}$이 증가수열, 즉 $(1+i)^{n}<(1+i)^{n+1}$이므로 $\displaystyle P_{0}-\frac{M}{i}>0$이면 $P^{n}<P^{n+1}$이고, $P_{0}-\frac{M}{i}<0$이면 $P_{n}>P_{n+1}$이다.

 

이 사실로부터 다음 정리가 성립한다.

 

정리 6.2 $\displaystyle P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}$라 하자.

(a) $M>iP_{0}$이면, $P_{n}>P_{n+1}$ 즉, 정기상환액>초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 감소한다.

(b) $M=iP_{0}$이면, $P_{n}=P_{n+1}$ 즉, 정기상환액=초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 일정하다.

(a) $M<iP_{0}$이면, $P_{n}<P_{n+1}$ 즉, 정기상환액<초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 증가한다(상환할 수 없다).

 

 $M>iP_{0}$인 경우, $M>iP_{n}$이고 이때 $\displaystyle P_{n}=\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{n}$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P_{n}}=-\infty$이다. 이 사실과 $P_{0}>0$이면, $\{P_{n}\}$은 감소수열이므로 정수 $N$이 존재해서 $P_{N-1}>0$, $P_{N}\leq0$이 성립하는데, 이 $N$은 대출을 모두 상환하기까지 필요한 지불횟수를 나타낸다.

 그러므로 $$\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N-1}>0,\,\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N}\leq0$$ 이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N-1}<\frac{M}{i}<\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N}$$ 이 부등식을 $$(1)\,\frac{M}{M-iP_{0}}\leq(1+i)^{N}<\frac{M}{M-iP_{0}}(1+i)$$ 로 나타낼 수 있으므로 $$\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}\leq N<\frac{\displaystyle\ln\left\{\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)(1+i)\right\}}{\ln(1+i)}$$ 이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다. $$\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}\leq N<\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}+1$$ 대출상환을 정확히 $N$번째 상환기간 말에 마친다면 $P_{N}=0$이고 정기상환액 $M$을 계산할 수 있다. $n=N$일 때 $P_{N}=0$이라 하면 $$P_{N}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N}+\frac{M}{i}=0$$ 이고 이를 $M$에 대해 풀면 $$M=\frac{iP_{0}(1+i)^{N}}{(1+i)^{N}-1}$$ 이므로 정기상환액은 다음과 같다. $$M=\frac{iP_{0}}{1-(1+i)^{-M}}$$ 정리 6.3(정기상환정리) $P_{0}$가 1년에 $m$번 상환한다 하고 $N$번의 상환기간 동안 명목이율 $i^{(m)}$으로 빌린 초기 원금이면, 상환액 $M$은 $\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}$이라 할 때 다음이 성립한다. $$M=\frac{iP_{0}}{1-(1+i)^{-N}}$$ remark

 

 정기 사오한액은 반올림하지 않는 것이 관례이므로 $P_{N}$은 보통 0이 아니라 음수이다. 그러므로 마지막 상환액 $F$가 정확히 $M$이 되지 않을 수 있다.

정기상환에 대한 시간도표

 이제 $F$가 다음과 같이 주어진다. $$F=P_{N-1}(1+i)=\left\{\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N-1}+\frac{M}{i}\right\}(1+i)$$ 그러므로 마지막 상환액은 $$(2)\,F=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N}+M\frac{1+i}{i}$$ 이다. 직관적으로 $0<F\leq M$이라 기대하지만 (1), (2), $M>iP_{0}$라는 사실에서 $0<F\leq M$이 성립한다. 

 

예: 케네스는 학자금 대출로 10,000달러를 빌려 연이율 10%로 10년 동안 월별 상환한다. 

$P_{0}=10000$, $i=0.10(10%)$, $m=12$, $N=120$(10년) 이므로 $$M=\frac{\displaystyle\frac{0.10}{12}\times10000}{\displaystyle1-\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{-120}}=132.151$$ 이다. *지금부터 모든 할부 상환액을 반올림한다.

 마지막 상환액은 다음과 같다. $$F=\left(10000-\frac{132.16}{\displaystyle\frac{0.10}{12}}\right)\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{120}+132.16\left(\frac{\displaystyle1+\frac{0.10}{12}}{\displaystyle\frac{0.10}{12}}\right)=130.26\$$$ 총 상환액은 $110\times132.16+130.26=15,857.30\$$이다. 그러므로 케네스는 10년 동안 10%로 10,000달러를 대출한 데 대한 이자로 5,857.30을 지불한다.

 

예: 디카프리오, 모로네 커플은 48,000달러의 30년 주택 융자에 대해 월 500달러를 지불한다 이때 부과되는 이자율은?

답: $\displaystyle 500=\frac{48000i}{1-(1+i)^{-360}}$이므로 $500\{1-(1+i)^{-360}\}-48000i=0$이고, 수치해석적 해는 $i=0.0101$이므로 $i^{(12)}=12i=0.121(12.1\text{%})$이다.

 

예: 케이트가 새 차를 보러 매장에 왔다. 현금 지불 시 1,500달러를 할인받고, 아니면 0.9%로 60개월 할부대출을 받을 수 있다고 한다. 현재 저축계좌의 연간 이자율은 5%라고 한다. 

 전자를 선택하려면 차를 즉시 구입할 수 있는 충분한 현금을 보유해야 하고, 후자를 선택하면 은행에 예금할 수 있다. 

 일반적인 상황에서 이 문제를 보자. $P_{0}$를 차량가격, $i$를 저축계좌의 월 이자율, $j$를 차량대출의 월 이자율이라 하자. $P$를 월 차량 할부금으로 $N$번 지불하면 $\displaystyle P=\frac{jP_{0}}{1-(1+j)^{-N}}$이다.

 첫 달 말 그녀는 이자 $iP_{0}$를 받고 $P$를 지불하므로 첫달 말 저축계좌에 남은 잔액 $P_{1}$은 다음과 같다. $$P_{1}=P_{0}+iP_{0}-P=(1+i)P_{0}-P$$ 둘째 달 말의 은행잔액은 $$\begin{align*}P_{2}&=P_{1}+iP_{1}-P=(1+i)P_{1}-P\\&=(1+i)^{2}P_{0}-P\{(1+i)+1\}\end{align*}$$ $n$번째 달 말의 저축계좌에 있는 금액은 다음과 같다. $$\begin{align*}P_{n}=(1+i)^{n}P_{0}-P\{(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+1\}\\&=(1+i)^{n}P_{0}-\frac{(1+i)^{n}-1}{i}P\\&=(1+i)^{n}P_{0}-\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\times\frac{jP_{0}}{1-(1+j)^{-N}}\\&=(1+i)^{n}\left\{1-\frac{j}{i}\times\frac{1-(1+i)^{n}}{1-(1+j)^{-N}}\right\}P_{0}\end{align*}$$ 차량가격을 지불했을 때 저축계좌에 있는 금액 $P_{N}$이 할인가 $C$의 미래가 $C(1+i)^{N}$과 같으려면 $P_{N}=C(1+i)^{N}$이 되어야 하므로 $P_{0}$는 다음과 같다. $$P_{0}=\frac{C}{\displaystyle\left\{1-\frac{j}{i}\times\frac{1-(1+i)^{n}}{1-(1+j)^{-N}}\right\}}$$ 이 문제에서 $\displaystyle i=\frac{005}{12}$, $\displaystyle j=\frac{0.009}{12}$, $N=60$, $C=1500$이므로 다음이 성립한다. $$P_{0}=\frac{1500}{\displaystyle\left\{1-\frac{0.009}{0.05}\times\frac{1-\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{-60}}{1-\left(1+\frac{0.009}{12}\right)^{-60}}\right\}}=15548.89$$ 가 성립한다. 그러므로 차량 가격이 15,548.89달러보다 적으면 현금으로 지불하고, 그렇지 않으면 대출을 선택한다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer