기초 금융수학-8. 할부상환

기초 금융수학-8. 할부상환

 

 

할부상환(amortize):

 처음에 일정 금액(초기원금 또는 약정금액)을 명시된 연이율로 대출하고, 어느 기간 동안 원금과 이자를 일정한 주기로 지불해 채무 상환하는 행위

 

 대출회사는 할부상환 일정표(amortization table)라는 표로 다양한 지불액을 금리 및 기간에 따라 표시한다.

 

\(P_{0}\): 지불해야 하는 초기원금(약정 금액)

\(P_{n}\): \(n\)째 지불주기 말의 원금 잔액(상환되어야할 남은 원금)

\(M\): 주기별 지불액

\(N\): 전체 지불주기 수(total number of payment periods)

\(m\): 연간 지불 건수(number of periodic payments per year)

\(i^{(m)}\): 연간 이자율(annual interest rate)

\(i\): 이자주기당 이자율(interest rate per interest period) \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)

 

다음은 할부상환에 대한 시간도표이다.

다음은 분할상환표의 일부이다.

이자주기	액면이자	이자	상환금	장부원금
0				\(P_{0}\)
1	\(M\)	\(iP_{0}\)	\(M-iP_{0}\)	\(P_{0}-(M-iP_{0})=P_{1}\)
2	\(M\)	\(iP_{1}\)	\(M-iP_{1}\)	\(P_{1}-(M-iP_{1})=P_{2}\)

 위 분할상환표 대로라면 \(n\)째 지불주기 말의 원금 잔액은 다음과 같다.$$\begin{align*}P_{n}&=P_{0}(1+i)^{n}-M\{1+(1+i)+\cdots+(1+i)^{n-1}\}\\&=P_{0}(1+i)^{n}-M\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\\&=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}\end{align*}$$정리 6.1(분할상환 정리) \(P_{0}\)가 명목이율 \(i^{(m)}\)으로 빌린 초기원금이고 1년에 \(m\)번 정기적으로 상환한다면 \(n\)번째 상환기관 후에 남은 원금 잔액 \(P_{n}\)은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)라 할때 다음과 같다.$$P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}$$증명: 수학적귀납법 또는 재귀관계로 증명

 

 \(\displaystyle P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}\)이고 \(\{(1+i)^{n}\}\)이 증가수열, 즉 \((1+i)^{n}<(1+i)^{n+1}\)이므로 \(\displaystyle P_{0}-\frac{M}{i}>0\)이면 \(P^{n}<P^{n+1}\)이고, \(P_{0}-\frac{M}{i}<0\)이면 \(P_{n}>P_{n+1}\)이다.

 

이 사실로부터 다음 정리가 성립한다.

 

정리 6.2 \(\displaystyle P_{n}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{n}+\frac{M}{i}\)라 하자.

(a) \(M>iP_{0}\)이면, \(P_{n}>P_{n+1}\) 즉, 정기상환액>초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 감소한다.

(b) \(M=iP_{0}\)이면, \(P_{n}=P_{n+1}\) 즉, 정기상환액=초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 일정하다.

(a) \(M<iP_{0}\)이면, \(P_{n}<P_{n+1}\) 즉, 정기상환액<초기 대여금의 이자 이면, 원금잔액은 증가한다(상환할 수 없다).

 

 \(M>iP_{0}\)인 경우, \(M>iP_{n}\)이고 이때 \(\displaystyle P_{n}=\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{n}\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P_{n}}=-\infty\)이다. 이 사실과 \(P_{0}>0\)이면, \(\{P_{n}\}\)은 감소수열이므로 정수 \(N\)이 존재해서 \(P_{N-1}>0\), \(P_{N}\leq0\)이 성립하는데, 이 \(N\)은 대출을 모두 상환하기까지 필요한 지불횟수를 나타낸다.

 그러므로$$\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N-1}>0,\,\frac{M}{i}-\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N}\leq0$$이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N-1}<\frac{M}{i}<\left(\frac{M}{i}-P_{0}\right)(1+i)^{N}$$ 이 부등식을$$(1)\,\frac{M}{M-iP_{0}}\leq(1+i)^{N}<\frac{M}{M-iP_{0}}(1+i)$$로 나타낼 수 있으므로$$\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}\leq N<\frac{\displaystyle\ln\left\{\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)(1+i)\right\}}{\ln(1+i)}$$이고 따라서 다음의 부등식이 성립한다.$$\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}\leq N<\frac{\displaystyle\ln\left(\frac{M}{M-iP_{0}}\right)}{\ln(1+i)}+1$$ 대출상환을 정확히 \(N\)번째 상환기간 말에 마친다면 \(P_{N}=0\)이고 정기상환액 \(M\)을 계산할 수 있다. \(n=N\)일 때 \(P_{N}=0\)이라 하면$$P_{N}=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N}+\frac{M}{i}=0$$이고 이를 \(M\)에 대해 풀면$$M=\frac{iP_{0}(1+i)^{N}}{(1+i)^{N}-1}$$이므로 정기상환액은 다음과 같다.$$M=\frac{iP_{0}}{1-(1+i)^{-M}}$$정리 6.3(정기상환정리) \(P_{0}\)가 1년에 \(m\)번 상환한다 하고 \(N\)번의 상환기간 동안 명목이율 \(i^{(m)}\)으로 빌린 초기 원금이면, 상환액 \(M\)은 \(\displaystyle i=\frac{i^{(m)}}{m}\)이라 할 때 다음이 성립한다.$$M=\frac{iP_{0}}{1-(1+i)^{-N}}$$remark

 

 정기 사오한액은 반올림하지 않는 것이 관례이므로 \(P_{N}\)은 보통 0이 아니라 음수이다. 그러므로 마지막 상환액 \(F\)가 정확히 \(M\)이 되지 않을 수 있다.

정기상환에 대한 시간도표

 이제 \(F\)가 다음과 같이 주어진다.$$F=P_{N-1}(1+i)=\left\{\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N-1}+\frac{M}{i}\right\}(1+i)$$그러므로 마지막 상환액은$$(2)\,F=\left(P_{0}-\frac{M}{i}\right)(1+i)^{N}+M\frac{1+i}{i}$$이다. 직관적으로 \(0<F\leq M\)이라 기대하지만 (1), (2), \(M>iP_{0}\)라는 사실에서 \(0<F\leq M\)이 성립한다. 

 

예: 케네스는 학자금 대출로 10,000달러를 빌려 연이율 10%로 10년 동안 월별 상환한다. 

\(P_{0}=10000\), \(i=0.10(10%)\), \(m=12\), \(N=120\)(10년) 이므로$$M=\frac{\displaystyle\frac{0.10}{12}\times10000}{\displaystyle1-\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{-120}}=132.151$$이다. *지금부터 모든 할부 상환액을 반올림한다.

 마지막 상환액은 다음과 같다.$$F=\left(10000-\frac{132.16}{\displaystyle\frac{0.10}{12}}\right)\left(1+\frac{0.10}{12}\right)^{120}+132.16\left(\frac{\displaystyle1+\frac{0.10}{12}}{\displaystyle\frac{0.10}{12}}\right)=130.26\$ $$ 총 상환액은 \(110\times132.16+130.26=15,857.30\$\)이다. 그러므로 케네스는 10년 동안 10%로 10,000달러를 대출한 데 대한 이자로 5,857.30을 지불한다.

 

예: 디카프리오, 모로네 커플은 48,000달러의 30년 주택 융자에 대해 월 500달러를 지불한다 이때 부과되는 이자율은?

답: \(\displaystyle 500=\frac{48000i}{1-(1+i)^{-360}}\)이므로 \(500\{1-(1+i)^{-360}\}-48000i=0\)이고, 수치해석적 해는 \(i=0.0101\)이므로 \(i^{(12)}=12i=0.121(12.1\text{%})\)이다.

 

예: 케이트가 새 차를 보러 매장에 왔다. 현금 지불 시 1,500달러를 할인받고, 아니면 0.9%로 60개월 할부대출을 받을 수 있다고 한다. 현재 저축계좌의 연간 이자율은 5%라고 한다. 

 전자를 선택하려면 차를 즉시 구입할 수 있는 충분한 현금을 보유해야 하고, 후자를 선택하면 은행에 예금할 수 있다. 

 일반적인 상황에서 이 문제를 보자. \(P_{0}\)를 차량가격, \(i\)를 저축계좌의 월 이자율, \(j\)를 차량대출의 월 이자율이라 하자. \(P\)를 월 차량 할부금으로 \(N\)번 지불하면 \(\displaystyle P=\frac{jP_{0}}{1-(1+j)^{-N}}\)이다.

 첫 달 말 그녀는 이자 \(iP_{0}\)를 받고 \(P\)를 지불하므로 첫달 말 저축계좌에 남은 잔액 \(P_{1}\)은 다음과 같다.$$P_{1}=P_{0}+iP_{0}-P=(1+i)P_{0}-P$$ 둘째 달 말의 은행잔액은$$\begin{align*}P_{2}&=P_{1}+iP_{1}-P=(1+i)P_{1}-P\\&=(1+i)^{2}P_{0}-P\{(1+i)+1\}\end{align*}$$ \(n\)번째 달 말의 저축계좌에 있는 금액은 다음과 같다.$$\begin{align*}P_{n}=(1+i)^{n}P_{0}-P\{(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+1\}\\&=(1+i)^{n}P_{0}-\frac{(1+i)^{n}-1}{i}P\\&=(1+i)^{n}P_{0}-\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\times\frac{jP_{0}}{1-(1+j)^{-N}}\\&=(1+i)^{n}\left\{1-\frac{j}{i}\times\frac{1-(1+i)^{n}}{1-(1+j)^{-N}}\right\}P_{0}\end{align*}$$ 차량가격을 지불했을 때 저축계좌에 있는 금액 \(P_{N}\)이 할인가 \(C\)의 미래가 \(C(1+i)^{N}\)과 같으려면 \(P_{N}=C(1+i)^{N}\)이 되어야 하므로 \(P_{0}\)는 다음과 같다.$$P_{0}=\frac{C}{\displaystyle\left\{1-\frac{j}{i}\times\frac{1-(1+i)^{n}}{1-(1+j)^{-N}}\right\}}$$이 문제에서 \(\displaystyle i=\frac{005}{12}\), \(\displaystyle j=\frac{0.009}{12}\), \(N=60\), \(C=1500\)이므로 다음이 성립한다.$$P_{0}=\frac{1500}{\displaystyle\left\{1-\frac{0.009}{0.05}\times\frac{1-\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{-60}}{1-\left(1+\frac{0.009}{12}\right)^{-60}}\right\}}=15548.89$$가 성립한다. 그러므로 차량 가격이 15,548.89달러보다 적으면 현금으로 지불하고, 그렇지 않으면 대출을 선택한다.

 

참고자료: 
An Introduction to the Mathematics of Money Saving and Investing, Lovelock, Mendel, Wright, Springer