[르베그적분] 4-3. 절대연속함수, 미분과 적분

[르베그적분] 4-3. 절대연속함수, 미분과 적분

실함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 절대연속(absolutely continuous)이라는 것은 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 유한개의 서로소인 \(\{(a_{k},\,b_{k})\}_{k=1}^{n}\subset(a,\,b)\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(b_{k}-a_{k})}<\delta\)일 때 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{|f(b_{k})-f(a_{k})|}<\epsilon\)이 성립하는 것이다.

절대연속이면 연속이나 그 역은 성립하지 않는다(증가함수일지라도). 칸토어-르베그 함수 \(\varphi\)는 구간 \([0,\,1]\)에서 증가하는 연속함수이다. 칸토어 집합을 건설하는 과정 중 \(n\)번째에서 길이가 \(\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\)인 \(2^{n}\)개의 구간 \(\{[c_{k},\,d_{k}]\}_{k=1}^{2^{n}}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2^{n}}{(d_{k}-c_{k})}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\) 이나 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{2^{n}}{[\varphi(d_{k})-\varphi(c_{k})]}=1\)이다.

4.11 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 립쉬츠 조건을 만족하면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 절대연속이다. 증명: 가정에 의해 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대하여$$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$$이다. 절대연속의 정의에서 \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{M}\)라 하면 된다. (QED)

4.11의 역은 성립하지 않는다. 구간 \([0,\,1]\)에서 함수 \(f(x)=\sqrt{x}\)는 절대연속이나 립쉬츠조건을 만족하지 않는다.

4.12 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 절대연속이라 하자. 그러면 \(f\)는 유계변동이고 절대연속인 두 증가함수의 차로 나타낼 수 있다. 증명: 먼저 \(f\)가 유계변동임을 보이자. \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 절대연속이므로 절대연속의 정의에서 \(\epsilon=1\)이라 하자. \(P\)를 구간 \([a,\,b]\)를 길이가 \(\delta\)보다 작은 \(N\)개의 구간 \(\{[c_{k},\,d_{k}]\}_{k=1}^{n}\)으로 나눈 분할이라 하자. 절대연속의 정의로부터 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(TV(f|_{[c_{k},\,d_{k}]})\leq1\)이다. 따라서$$TV(f)=\sum_{k=1}^{N}{TV(f|_{[c_{k},\,d_{k}]})}\leq N$$이다. 그러므로 \(f\)는 유계변동이다. \(f\)가 두 절대연속인 증가함수의 차로 나타낼 수 있음을 보이기 위해서 \(f\)의 전변동함수가 절대연속임을 보이면 충분하다. \(\epsilon>0\)이라 하고 열린구간 \((a,\,b)\)의 유한개의 서로소인 부분구간 \(\{(c_{k},\,d_{k})\}_{k=1}^{n}\subset(a,\,b)\)에 대해 \(\delta>0\)을 선택해서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(d_{k}-c_{k})}<\delta\)이면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{|f(d_{k})-f(c_{k})|}<\frac{\epsilon}{2}\)이라 하자. \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(P_{k}\)를 구간 \([c_{k},\,d_{k}]\)의 한 분할이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{|f(d_{k})-f(c_{k})|}<\frac{\epsilon}{2}\)이므로$$\sum_{k=1}^{n}{TV(f|_{[c_{k},\,d_{k}]},\,P_{k})}<\frac{\epsilon}{2}\,(*)$$이다. 식$$\sum_{k=1}^{n}{TV(f|_{[c_{k},\,d_{k}]})}\leq\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$을 얻기 위해 식 \((*)\)에 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(P_{k}\)를 변화시켜 최소상계를 갖게 하자. \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(TV(f|_{[c_{k},\,d_{k}]})=TV(f|_{[a,\,d_{k}]})-TV(f|_{[a,\,c_{k}]})\)이므로 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(d_{k}-c_{k})}<\delta\)이면 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left|TV(f|_{[a,\,d_{k}]}-f|_{[a,\,c_{k}]})\right|}<\epsilon\)이다. (QED)

4.13 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라 하자. \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 절대연속일 필요충분조건은 \(\{\text{Diff}_{h}f\}_{0<h\leq1}\)가 \([a,\,b]\)에서 균등적분가능한 것이다. 증명: 생략

비퇴와 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에 대하여 \(\mathcal{F}_{\text{Lip}},\,\mathcal{F}_{\text{AC}},\,\mathcal{F}_{\text{BV}}\)를 각각 구간 \([a,\,b]\)에서 립쉬츠 조건을 만족하는 함수, 절대연속함수, 유계변동함수들의 집합이라 하자. 그러면 다음의 관계가 성립하고 역은 성립하지 않는다.

$$\mathcal{F}_{\text{Lip}}\subset\mathcal{F}_{\text{AC}}\subset\mathcal{F}_{\text{BV}}$$

함수 \(f\)를 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라 하자. 이때 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{h}f(x)dx}=\text{Av}_{h}f(b)-\text{Av}_{h}f(a)$$\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{(\text{Av}_{h}f(b)-\text{Av}_{h}f(a))}=f(b)-f(a)\)이다. 여기서 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 절대연속이면$$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a)$$가 성립함을 보여서 르베그 적분에 대해서 미적분학의 기본정리가 성립함을 보일 것이다.

4.14 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 절대연속이라 하자. 그러면 \(f\)는 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하고 \(f'\)은 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다. 또한 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a)$$ 증명: 4.12에 의해 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 증가하는 두 함수의 차(difference)로 나타낼 수 있고 르베그의 정리(4.5)에 의해 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하다. 그러므로 \(\{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f\}\)는 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 \(f'\)로 점별수렴한다. 4.13에 의해 \(\{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f\}\)는 \([a,\,b]\)에서 균등적분가능하고 \(m([b-a])=b-a<\infty\)이므로 비탈리 수렴정리에 의해$$f(b)-f(a)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}\right)}=\int_{a}^{b}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)}\right)dx}=\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$$이다. (QED)

유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 함수 \(g\)의 부정적분(indefinite integral)이라는 것은 \(g\)가 \([a,\,b]\)에서 르베그 적분가능\(\displaystyle\left(\int_{a}^{b}{|g(x)|dx}<\infty\right)\)하고 다음이 성립하는 것이다.$$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}{g(x)dx}$$

4.15 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 절대연속일 필요충분조건은 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 하나의 부정적분인 것이다. 증명 (\(\Rightarrow\)): \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 절대연속이라 하자. \(x\in(a,\,b]\)에 대하여 \(f\)는 \([a,\,x]\)에서 절대연속이고, 4.14에 의해$$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$$이다. 따라서 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 \(f'\)의 부정적분이다. (\(\Leftarrow\)): \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 \(g\)의 부정적분이라 하자. 유한개의 서로소인 \(\{(a_{k},\,b_{k})_{k=1}^{n}\}\subset(a,\,b)\)에 대하여 \(\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{n}{(a_{k},\,b_{k})}\)이면,$$\sum_{k=1}^{n}{|f(b_{k})-f(a_{k})|}=\sum_{k=1}^{n}{\left|\int_{a_{k}}^{b_{k}}{g(x)dx}\right|}\leq\sum_{k=1}^{n}{\int_{a_{k}}^{b_{k}}{|g(x)|dx}}=\int_{E}{|g|dm}$$이다. \(\epsilon>0\)이라 하자. \(|g|\)는 \([a,\,b]\)에서 적분가능하므로 3.29에 의해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(E\subset[a,\,b]\)가 가측이고 \(m(E)<\delta\)일 때, \(\displaystyle\int_{E}{|g|dm}<\epsilon\)이다. 그러면 절대연속의 정의에 의해 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 절대연속이다. (QED)

4.16 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 단조라 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 절대연속일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a)$$ 증명 (\(\Rightarrow\)):4.14 (\(\Leftarrow\)): \(f\)가 증가함수이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f'(x)dx}=f(b)-f(a)\)가 성립한다고 하자. \(x\in[a,\,b]\)라 하면$$0=\int_{a}^{b}{f'(x)dx}-[f(b)-f(a)]=\left\{\int_{a}^{x}{f'(t)dt}-[f(x)-f(a)]\right\}+\left\{\int_{x}^{b}{f'(x)dx}-[f(b)-f(x)]\right\}$$이고 4.7에 의해$$\int_{a}^{x}{f'(t)dt}-[f(x)-f(a)]\leq0,\,\int_{x}^{b}{f'(t)dt}-[f(b)-f(a)]\leq0$$이다. 그러면$$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$$이고 \(f\)는 \(f'\)의 부정적분이다. 따라서 4.15에 의해 \(f\)는 절대연속이다. (QED)

4.17 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다고 하자. 거의 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x)=0\)일 필요충분조건은 모든 \([x_{1},\,x_{2}]\subset[a,\,b]\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=0\)인 것이다. 증명 (\(\Rightarrow\)): 자명하다. (\(\Leftarrow\)): 모든 \([x_{1},\,x_{2}]\subset[a,\,b]\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=0\)라 하자. 모든 가측집합 \(E\subset[a,\,b]\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=0\)이 성립함을 보인다. 위 식은 \(E\)가 \((a,\,b)\)에 포함되는 열린집합일 때 성립하는데, 모든 열린집합은 가산무한개의 서로소인 열린구간들의 합집합으로 나타낼 수 있기 때문이다. \(G_{\delta}\)집합은 가산무한개의 열린집합들의 교집합이므로 3.27로부터 위 식은 \((a,\,b)\)에 포함되는 \(G_{\delta}\)집합에 대해서 성립한다.  \([a,\,b]\)의 모든 가측부분집합들은 \(G-E_{0}\)형태로 나타낼 수 있는데 여기서 \(G\)는 \((a,\,b)\)의 \(G_{\delta}\)부분집합, \(m(E_{0})=0\)이다.$$E^{+}=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)\geq0\},\,E^{-}=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)\leq0\}$$라 하자. \(E^{+}\)와 \(E^{-}\)는 \([a,\,b]\)의 가측부분집합이고$$\int_{a}^{b}{f^{+}(x)dx}=\int_{E^{+}}{fdm}=0,\,\int_{a}^{b}{(-f^{-}(x))dx}=-\int_{E^{-}}{fdm}=0$$이 성립한다, 그러면 \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)는 \([a,\,b]\)의 거의 어디서나 사라지고 따라서 \(f\)도 그렇다. (QED)

4.18 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 거의 모든 \(x\in(a,\,b)\)에 대하여$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}{f(t)dt}=f(x)$$이다. 증명: \([a,\,b]\)에서 함수 \(F\)를 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)라 하자. 4.15에 의해 \(F\)는 부정적분이므로, \(F\)는 절대연속이다. 그러므로 4.14에 의해 \(F\)는 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하고, 그 도함수인 \(F'\)은 적분가능하다. 4.17을 이용하여 \(F'-f\)가 \([a,\,b]\)의 거의 어디서나 사라지게 하기 위해서 \([a,\,b]\)의 모든 부분구간에서의 적분이 0이 됨을 보이면 된다. \([x_{1},\,x_{2}]\subset[a,\,b]\)라 하자. 4.14에 의해$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{(F'(t)-f(t))dt}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{F'(t)dt}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(t)dt}=F(x_{2})-F(x_{1})-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(t)dt}=\int_{a}^{x_{2}}{f(t)dt}-\int_{a}^{x_{1}}{f(t)dt}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(t)dt}=0$$이 성립한다. (QED)

유계변동함수가 특이(singular)라는 것은 그 함수의 도함수가 거의 어디서나 사라지는 것을 뜻한다. 칸토어-르베그 함수는 도함수가 거의 어디서나 사라지는 상수함수가 아닌 함수이다. 4.14로부터 절대연속함수가 특이일 필요충분조건은 상수함수인 것이다.

\(f\)를 \([a,\,b]\)에서 유계변동함수라 하자. 4.7에 의해 \(f'\)은 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다.

모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여$$g(x)=\int_{a}^{x}{f'(t)dt},\,h(x)=f(x)-\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$$라 하자. 그러면 \([a,\,b]\)에서 \(f=g+h\)이고 \(g\)는 절대연속, \(h\)는 특이함수이다. 이를 함수 \(f\)의 르베그분해(Lebesgue decomposition)라고 한다. 

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson