[르베그적분] 4-1. 단조함수의 연속성과 르베그 정리 (1)

[르베그적분] 4-1. 단조함수의 연속성과 르베그 정리 (1)

어떤 함수가 단조(monotone)라는 것은 증가하거나 감소하는 함수를 뜻한다. 단조함수는 미분이론에서 중요한 역할을 한다.

1. 르베그 정리로부터 한 열린구간 위의 단조함수는 거의 어디서나 미분가능하다.

2. 조르단 정리로부터 유계닫힌구간 위의 유계변동(립쉬츠 함수 포함)함수는 두 단조함수의 차로 나타낼 수 있으며 그 유계닫힌구간의 내부(interior)의 거의 어디서나 미분가능하다.

4.1 함수 \(f\)가 열린구간 \((a,\,b)\)에서 단조함수라 하자. 그러면 \(f\)의 \((a,\,b)\)에서의 불연속점의 개수는 최대 가산무한개이다. 증명: 여기에서 3.10을 참고

4.2 \(C\)를 열린구간 \((a,\,b)\)의 가산부분집합이라 하자. 그러면 \((a,\,b)\)에서 증가함수 \(f\)가 존재해서 \((a,\,b)-C\)에서 연속이다. 증명: \(C\)가 유한집합이면 자명하다. \(C\)를 가산무한집합, 즉 \(\{q_{n}\}\) 이라 하자. 함수 \(f\)를 구간 \((a,\,b)\)에서 다음과 같이 정의하자.$$f(x)=\sum_{\{n\,|\,q_{n}\leq x\}}{\frac{1}{2^{n}}}\,(a<x<b)$$공비의 절댓값이 1보다 작은 등비급수는 수렴하므로 함수 \(f\)는 잘 정의된다. 게다가 \(a<u<v<b\)이면, \(\displaystyle f(u)-f(v)=\sum_{\{n\,|\,u<q_{n}\leq v\}}{\frac{1}{2^{n}}}\)이므로 따라서 \(f\)는 증가함수이다. \(x_{0}=q_{k}\in C\)라 하자. 그러면 모든 \(x<x_{0}\)에 대하여 \(\displaystyle f(x_{0})-f(x)\geq\frac{1}{2^{k}}\)이다. 그러므로 \(f\)는 \(x_{0}\)에서 불연속이다. \(x_{0}\in(a,\,b)-C\)라 하고 \(n\in\mathbb{N}\)이라 하자. 그러면 \(x_{0}\)를 포함하는 열린구간 \(I\)가 존재하여 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(q_{n}\notin I\)이다. 그러면 모든 \(x\in I\)에 대하여 \(\displaystyle|f(x)-f(x_{0})|<\frac{1}{2^{n}}\)이고 따라서 \(f\)는 \(x_{0}\)에서 연속이다. (QED)

\(E\)를 덮는 비퇴화(원소가 1개 뿐인 구간이 아니다, nondegenerate) 유계닫힌구간들을 모은 집합 \(\mathcal{F}\)가 비탈리덮개(Vitali covering)라는 것은 임의의 \(x\in E\)과 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(I\in\mathcal{F}\)가 존재해서 \(x\in I\in\mathcal{F}\)이고 \(\ell(I)<\epsilon\)인 것이다.

4.3 (비탈리 덮개 보조정리, Vitali covering lemma) \(E\)를 유한측도집합, \(\mathcal{F}\)를 \(E\)의 비탈리덮개들을 모은 집합이라 하자. 그러면 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 유한개의 서로소인 부분집합 \(\{I_{k}\}_{k=1}^{n}\)이 존재해서 다음이 성립한다.$$m^{*}\left(E-\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\right)<\epsilon$$ 증명: 생략

실함수 \(f\)와 \(f\)의 정의역의 내점(interior point) \(x\)에 대하여 \(x\)에서 \(f\)의 상도함수(upper derivative) \(\overline{D}f(x)\), \(x\)에서 \(f\)의 하도함수(lower derivatives) \(\underline{D}f(x)\)를 다음과 같이 정의한다.

$$\overline{D}f(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\left[\sup_{0<|t|\leq h}{\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}\right]},\,\underline{D}f(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\left[\inf_{0<|t|<h}{\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}\right]}$$

이때 \(\overline{D}f(x)\geq\underline{D}f(x)\)가 성립한다. \(\overline{D}f(x)=\underline{D}f(x)\)이고 이 값이 유한하면 함수 \(f\)가 \(x\)에서 미분가능하다고 하고 그 공통값을 \(f'(x)\)로 나타낸다.

미분에 관한 평균값정리로부터 \(f\)가 \([c,\,d]\)에서 연속이고 \((c,\,d)\)에서 미분가능하고 \(f'\geq\alpha\)이면 다음이 성립한다.$$\alpha(d-c)\leq[f(d)-f(c)]$$

4.4 함수 \(f\)가 닫힌유계구간 \([a,\,b]\)에서 증가함수라고 하자. 모든 \(\alpha>0\)에 대하여 $$m^{*}\left(\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)\geq\alpha\}\right)\leq\frac{1}{\alpha}[f(b)-f(a)]$$ 이고 $$m^{*}\left(\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)=\infty\}\right)=0$$ 이다. 증명: \(\alpha>0\), \(E_{\alpha}=\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)\geq\alpha\}\)이라 하자. \(0<\alpha'<\alpha\)인 \(\alpha'\)를 선택하고 \(\mathcal{F}\)를 \(f(d)-f(c)\geq\alpha'(d-c)\)인 유계닫힌구간 \([c,\,d]\subset(a,\,b)\)들을 모은 집합이라 하자. \(E_{\alpha}\)에서 \(\overline{D}f\geq\alpha\)이므로 \(\mathcal{F}\)는 \(E_{\alpha}\)의 비탈리덮개이다. 비탈리덮개 보조정리(4.3)에 의해 \(\mathcal{F}\)의 유한개의 서로소인 \(\{[c_{k},\,d_{k}]_{k=1}^{n}\subset\mathcal{F}\}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$m^{*}\left(E_{\alpha}-\bigcup_{k=1}^{n}{[c_{k},\,d_{k}]}\right)<\epsilon$$ \(\displaystyle E_{\alpha}\subset\bigcup_{k=1}^{n}{[c_{k},\,d_{k}]}\cup\left\{E_{\alpha}-\bigcup_{k=1}^{n}{[c_{k},\,d_{k}]}\right\}\)이므로,$$m^{*}(E_{\alpha})<\sum_{k=1}^{n}{(d_{k}-c_{k})}+\epsilon\leq\frac{1}{\alpha'}\sum_{k=1}^{n}{[f(d_{k})-f(c_{k})]}+\epsilon$$이다. 함수 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 증가하고 \(\{[c_{k},\,d_{k}]\}_{k=1}^{n}\)는 \([a,\,b]\)의 서로소인 부분구간이므로 $$\sum_{k=1}^{n}{[f(d_{k})-f(c_{k})]}\leq f(b)-f(a)$$이고 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(\alpha'\in(0,\,\alpha)\)에 대하여 $$m^{*}(E_{\alpha})\leq\frac{1}{\alpha'}[f(b)-f(a)]+\epsilon$$이다. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)=\infty\}\subset E_{n}\)이고$$m^{*}(\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)=\infty\})\leq m^{*}(E_{n})\leq\frac{1}{n}[f(b)-f(a)]$$이므로 따라서 \(m^{*}(\{x\in(a,\,b)\,|\,\overline{D}f(x)=\infty\})=0\)이다. (QED)

4.5 (르베그의 정리, Lebesgue's theorem) 함수 \(f\)가 열린구간 \((a,\,b)\)에서 단조함수이면, \(f\)는 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하다. 증명: 함수 \(f\)가 유계구간 \((a,\,b)\)에서 단조함수라 하자. \((a,\,b)\)가 유계가 아니면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(I_{n}\subset I_{n+1}\)인 유계열린구간에 대하여 \(\displaystyle(a,\,b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}},\,m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(I_{n})}\)이 성립함을 이용한다. \(\overline{D}f(x)>\underline{D}f(x)\)인 \(x\in(a,\,b)\)들의 집합은 다음 집합의 합집합이다. $$E_{\alpha,\,\beta}=\{x\in(a,\,b)\,|\,\underline{D}f(x)<\beta<\alpha<\overline{D}f(x)\}$$ 여기서 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{Q}\)이다. \(m^{*}(E_{\alpha,\,\beta})=0\)이 성립함을 보이면 된다. \(\alpha>\beta\)라 하고 \(E=E_{\alpha,\,\beta}\), \(\epsilon>0\)이라 하자. 외측도의 정의로부터 열린집합 \(\mathcal{O}\)가 존재해서$$E\subset\mathcal{O}\subset(a,\,b),\,m(\mathcal{O})<m^{*}(E)+\epsilon$$이다. $$\mathcal{F}=\{[c,\,d]\subset\mathcal{O}\,|\,f(d)-f(c)<\beta(d-c)\}$$라 하자. \(\underline{D}f<\beta\)이므로 \(\mathcal{F}\)는 \(E\)의 비탈리 덮개이다. 비탈리 덮개 보조정리로부터 서로소인 \(\{[c_{k},\,d_{k}]_{k=1}^{n}\}\subset\mathcal{F}\)가 존재해서$$m^{*}\left(E-\bigcup_{k=1}^{n}{[c_{k},\,d_{k}]}\right)$$이다. \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{[c_{k},\,d_{k}]}\subset\mathcal{O}\)이므로$$\sum_{k=1}^{n}{[f(d_{k})-f(c_{k})]}<\beta\sum_{k=1}^{n}{(d_{k}-c_{k})}\leq\beta m(\mathcal{O})\leq\beta[m^{*}(E)+\epsilon]$$이고 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 함수 \(f\)를 \([c_{k},\,d_{k}]\)로 제한한 다음 4.4를 적용하면$$m^{*}(E\cap(c_{k},\,d_{k}))\leq\frac{1}{\alpha}[f(d_{k})-f(c_{k})]$$이므로$$m^{*}(E)\leq\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(E\cap(c_{k},\,d_{k}))}+\epsilon\leq\frac{1}{\alpha}\left[\sum_{k=1}^{n}{[f(d_{k})-f(c_{k})]}\right]+\epsilon$$이다. 그러면 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle m^{*}(E)\leq\frac{\beta}{\alpha}m^{*}(E)+\frac{1}{\alpha}\epsilon+\epsilon\)이고 \(\displaystyle0\leq m^{*}(E)<\infty,\,\frac{\beta}{\alpha}<1\)이므로 \(m^{*}(E)=0\)이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson