[르베그적분] 4-1. 단조함수의 연속성과 르베그 정리 (2)

[르베그적분] 4-1. 단조함수의 연속성과 르베그 정리 (2)

함수 $f$가 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 적분가능하다고 하자. 함수 $f$를 확장해서 구간 $(b,\,b+1]$에서의 함수값을 $f(b)$라고 하자. $0<h\leq1$에 대하여 구간 $[a,\,b]$에서 차분함수(divided difference function) $\text{Diff}_{h}f$와 평균값함수(average value function) $\text{Av}_{h}f$를 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 다음과 같이 정의한다. $$\text{Diff}_{h}f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\,\text{Av}_{h}f(x)=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}$$

4.6 실수 $\alpha<\beta,\,\gamma>0$에 대하여 $g$가 $[\alpha+\gamma,\,\beta+\gamma]$에서 적분가능하면, 다음이 성립한다. $$\int_{\alpha}^{\beta}{g(x+\gamma)dx}=\int_{\alpha+\gamma}^{\beta+\gamma}{g(x)dx}$$ 증명: 먼저 $\displaystyle g(x)=\chi_{[\alpha+\gamma,\,\beta+\gamma]}(x)$라 하자. 그러면 $g(x+\gamma)=\chi_{[\alpha,\,\beta]}(x+\gamma)$이고 다음이 성립한다. $$\int_{\alpha+\gamma}^{\beta+\gamma}{g(x)dx}=\int_{\alpha+\gamma}^{\beta+\gamma}{\chi_{[\alpha+\gamma,\,\beta+\gamma]}(x)dx}=\beta-\alpha=\int_{\alpha}^{\beta}{\chi_{[\alpha,\,\beta]}(x+\gamma)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{g(x+\gamma)dx}$$ 이렇게 해서 $g$가 특성함수일 때 위 식이 성립함을 증명하였고 단순함수는 특성함수의 선형결합이므로 단순함수에 대해서 성립한다. 나머지는 유계가측함수의 적분의 정의, 음이 아닌 가측함수의 정의로부터 성립한다 (일반적인 경우는 $f=f^{+}-f^{-}$이고 $f^{+},\,f^{-}$는 음이 아닌 가측함수이다.). (QED)

4.6으로부터 모든 $a\leq\alpha<\beta\leq b$ 다음 식이 성립한다. $$\int_{\alpha}^{\beta}{\text{Diff}_{h}f(x)dx}=\text{Av}_{h}f(\beta)-\text{Av}_{h}f(\alpha)$$

4.7 함수 $f$가 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 증가함수라 하자. 그러면 $f'$은 $[a,\,b]$에서 적분가능하고 $$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}\leq f(b)-f(a)$$ 이다. 증명: 함수 $f$는 구간 $[a,\,b+1]$에서 증가하므로 $f[[a,\,b+1]]=[f(a),\,f(b+1)]$이고 구간 $[f(a),\,f(b+1)],\,[a,\,b+1]$은 가측집합이다. 따라서 $f$와 $f$의 차분함수는 가측함수이다. 르베그의 정리(4.5)로부터 $f$는 $(a,\,b)$의 거의 어디서나 미분가능하다. 그러므로 $\left\{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f\right\}$는 $[a,\,b]$의 거의 어디서나 $f'$로 수렴하는 음이 아닌 가측함수열이다. 파투의 보조정리로부터 $$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}}}$$ 이고 $f$는 증가함수이므로 4.6에 의해 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $$\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}=\frac{1}{\frac{1}{n}}\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}{f(x)dx}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}{f(x)dx}\leq f(b)-\frac{1}{\frac{1}{n}}\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}{f(x)dx}\leq f(b)-f(a)$$ 이고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}}}\leq f(b)-f(a)$$ 이다. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{a}^{b}{\text{Diff}_{\frac{1}{n}}f(x)dx}}}\leq f(b)-f(a)$$ (QED)

4.7의 부등식 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f'(x)dx}\leq f(b)-f(a)$에서 우변은 증가함수 $f$의 열린유계구간 $(a,\,b)$에서 닫힌유계구간 $[a,\,b]$로의 확장함수에 대해서 성립한다. 그러면 이 부등식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\int_{a}^{b}{f'(x)dx}\leq\sup_{x\in(a,\,b)}{f(x)}-\inf_{x\in(a,\,b)}{f(x)}$$

이 부등식의 우변이 $f(b)-f(a)$와 같을 필요충분조건은 $f$가 구간 $[a,\,b]$의 양 끝점에서 연속인 것이다.  

아무리 증가하는 연속함수일지라도 4.7의 부등식이 성립하지 않는 경우가 있다. 구간 $[0,\,1]$에서 정의된 칸토어-르베그 함수 $\varphi$는 증가하는 연속함수이나 $(0,\,1)$의 거의 어디서나 $\varphi'=0$이므로 $$\int_{0}^{1}{\varphi'(x)dx}=0<1=\varphi(1)-\varphi(0)$$ 이다.

유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수 $f$가 열린구간 $(a,\,b)$ 에서 미분가능해도 $f'$이 $[a,\,b]$에서 적분가능하지 않을 수 있다. 예를 들어 구간 $[0,\,1]$에서 다음과 같이 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\,&(0<x\leq1)\\0\,&(x=0)\end{cases}$$ 는 $(0,\,1)$에서 미분가능하나 $f'$은 $[0,\,1]$에서 적분가능하지 않다. $0<x<1$에 대하여 $\displaystyle f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{2}{x}\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{1}{|f'(x)|dx}=\infty$이기 때문이다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson