[르베그적분] 3-5. 일반적인 비탈리 수렴정리와 측도수렴

[르베그적분] 3-5. 일반적인 비탈리 수렴정리와 측도수렴

비탈리 수렴정리는 유한측도집합 \(E\) 상에서 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 균등적분가능하고 \(f\)로 점별수렴할 때,

$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$$

이 성립하는 것이었다.

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}=\chi_{[n,\,n+1]},\,f=0\)이라 하자. 그러면 \(\{f_{n}\}\)은 \(\mathbb{R}\)에서 균등적분 가능하고 \(f\)로 점별수렴하나$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=1\neq0=\int_{E}{fdm}$$이다. 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)의 측도는 무한대이기 때문에 비탈리 수렴정리를 적용할 수 없다.

사실 비탈리 수렴정리는 무한측도집합에서도 성립하는데 그렇게 하려면 조건을 추가해야 한다.

3.34 \(f\)를 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 유한측도를 갖는 집합 \(E_{0}\subset E\)가 존재해서$$\int_{E-E_{0}}{fdm}<\epsilon$$이다. 증명: \(\epsilon>0\)이라 하자. 그러면 \(|f|\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 적분의 정의에 의해 \(E\)에서 유계가측함수 \(h\)가 존재해서 \(0\leq h\leq|f|\)이고 유한측도집합 \(E_{0}\subset E\)의 바깥에서 사라지며 \(\displaystyle\int_{E}{|f|dm}-\int_{E}{gdm}<\epsilon\)이다. 따라서$$\int_{E-E_{0}}{|f|dm}=\int_{E-E_{0}}{(|f|-g)dm}\leq\int_{E}{(|f|-g)dm}<\epsilon$$이다. (QED)

집합 \(E\)상에서의 가측집합들을 모은 \(\mathcal{F}\)가 \(E\)에서 조여있다(tight)는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 유한측도를 갖는 집합 \(E_{0}\subset E\)가 존재하서 모든 \(f\in\mathcal{F}\)에 대해$$\int_{E-E_{0}}{|f|dm}<\epsilon$$인 것이다.

이 조건을 비탈리 수렴정리에 추가하면 무한측도집합에서도 비탈리 수렴정리가 성립한다.

3.29로부터 \(\mathcal{F}\)가 \(E\)에서 균등적분가능하고 조여있는 함수들을 모은 집합이면, \(\mathcal{F}\)는 \(E\)에서 적분가능하다.

3.35 (일반적인 비탈리 수렴정리, General Vitali convergence theorem) \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 균등적분가능하고 조여있는 함수열이라 하고 \(f\)로 점별수렴한다고 하자. 그러면 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$$이다. 증명: \(\epsilon>0\)이라 하자. \(\{f_{n}\}\)은 \(E\)에서 조여있으므로 유한측도집합 \(E_{0}\subset E\)가 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$\int_{E-E_{0}}{|f_{n}|dm}<\frac{\epsilon}{4}$$이고 파투의 보조정리로부터 \(\displaystyle\int_{E-E_{0}}{fdm}<\frac{\epsilon}{4}\)이다. 그러므로 \(f\)는 \(E-E_{0}\)에서 적분가능하고 다음이 성립한다. $$\left|\int_{E-E_{0}}{|f_{n}-f|dm}\right|\leq\int_{E-E_{0}}{|f_{n}|dm}+\int_{E-E_{0}}{|f|dm}<\frac{\epsilon}{4}+\frac{\epsilon}{4}=\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(m(E_{0})<\infty\)이고 \(\{f_{n}\}\)이 \(E_{0}\)에서 균등적분가능하므로 비탈리 수렴정리에 의해 \(f\)는 \(E_{0}\)에서 적분가능하고 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(n\geq N\)일 때$$\left|\int_{E_{0}}{(f_{n}-f)dm}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$이다. 따라서 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고 \(n\geq N\)일 때$$\left|\int_{E}{(f_{n}-f)dm}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. (QED)

함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 가측이라 하고 \(f\)를 \(E\)에서 가측, \(E\)의 거의 어디서나 \(f_{n}\)은 유한하다고 하자. 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 측도수렴(converge in measure) 한다는 것은 임의의 \(\eta>0\)에 대하여 다음이 성립하는 것이다.$$\lim_{n,\,\rightarrow\,\infty}{m\left(\{x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\}\right)}=0$$

\(E\)에서 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 균등수렴하면 측도수렴한다. 이유는 임의의 \(\eta>0\)에 대하여 \(n\)이 커질수록 집합 \(\{x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\}\)는 공집합에 가까워지기 때문이다.

3.36 \(E\)를 유한측도집합이라 하자. \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 \(f\)로 거의 어디서나 수렴하는 가측함수열이라 하고 \(f\)는 \(E\)의  거의 어디서나 유한하다고 하자. 그러면 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 측도수렴한다. 증명: \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 가측함수열이고 \(E\)의 거의 어디서나 \(f\)로 점별수렴하므로 \(f\)는 \(E\)에서 가측이다. 에고로프의 정리로부터 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 가측집합 \(F\subset E\)가 존재해서 \(m(E-F)<\epsilon\)이고 \(F\)에서 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 균등수렴한다. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(F\)에서 \(|f_{n}-f|<\eta\)이다. 따라서 모든 \(n\geq N\)에 대하여 \(\{x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\}\subset E-F\)이고$$m\left(x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\right)<\epsilon$$이다. (QED)

집합 \(E\)가 무한측도집합이면 3.36은 성립하지 않는다. 또한 3.36의 역은 성립하지 않는다.

구간 \([0,\,1]\)의 무한부분구간열 \(\{I_{n}\}\)을 다음과 같이 정의하자.

$$[0,\,1],\,\left[0,\,\frac{1}{2}\right],\,\left[\frac{1}{2},\,1\right],\,\left[0,\,\frac{1}{3}\right],\,\left[\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right],\,\left[\frac{2}{3},\,1\right],...$$

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}=\chi_{I_{n}}|_{[0,\,1]}\), \([0,\,1]\)에서 \(f=0\)이라 하자. 모든 \(m\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle n>1+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}\)이면, \(\displaystyle\ell(I_{n})<\frac{1}{m}\)이므로 \(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\ell(I_{n})}=0\)이다. 따라서 \(0<\eta<1\)에 대하여 \(\{x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\}\subset I_{n}\)이므로 \(\displaystyle 0\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{x\in E\,|\,|f_{n}(x)-f(x)|>\eta\}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\ell(I_{n})}=0\)이다. 그러나 모든 \(x\in[0,\,1]\)에 대하여 \(\{f_{n}(x)\}\)는 \(f(x)\)로 수렴하지 않는다.

3.37 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 측도수렴하면, 부분함수열 \(\{f_{n_{k}}\}\)가 존재해서 \(E\)의 거의 어디서나 \(f\)로 점별수렴한다. 증명: 측도수렴의 정의로부터 증가하는 자연수열 \(\{n_{k}\}\)가 존재해서 모든 \(j\geq n_{k}\)에 대하여$$m\left(\left\{x\in E\,|\,|f_{j}(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\right\}\right)<\frac{1}{2^{k}}$$이다. \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여$$E_{k}=\left\{x\in E\,|\,|f_{n_{k}}(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\right\}$$라 하자. 그러면 \(\displaystyle m(E_{k})<\frac{1}{2^{k}}\)이고 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{m(E_{k})}<1<\infty\)이다. 보렐-칸텔리 보조정리에 의해 거의 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(K(x)\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(k\geq K(x)\)일 때, \(x\notin E_{k}\)이다. 즉, 모든 \(k\geq K(x)\)에 대하여 $$|f_{n_{k}}(x)-f(x)|\geq\frac{1}{k}$$이다. 그러므로$$\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f_{n_{k}}(x)}=f(x)$$이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson