[르베그적분] 3-3. 일반 르베그적분

[르베그적분] 3-3. 일반 르베그적분

$E$에서 확장실함수 $f$에 대하여 모든 $x\in E$에 대하여 $f^{+},\,f^{-}$는 다음과 같이 정의했었다.

$$f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-1}=\max\{-f(x),\,0\}$$

그러면 $f^{+}$와 $f^{-1}$는 $E$에서 음이 아닌 함수이고

$$f=f^{+}-f^{-},\,|f|=f^{+}+f^{-}$$ 이다.

$f$가 가측일 필요충분조건은 $f^{+}$와 $f^{-}$가 가측인 것이다.

3.19 함수 $f$가 $E$에서 가측이라 하자. 그러면 $f^{+}$와 $f^{-}$가 $E$에서 적분가능하기 위한 필요충분조건은 $|f|$가 $E$에서 적분가능한 것이다. 증명: ($\Rightarrow$): $f^{+}$와 $f^{-}$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. $|f|=f^{+}+f^{-}$이므로 $|f|$는 $E$에서 적분가능하다. ($\Leftarrow$): $|f|$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. 그러면 $E$에서 $0\leq f^{+}\leq|f|,\,0\leq f^{-}\leq|f|$이므로 $f^{+}$와 $f^{-}$는 $E$에서 적분가능하다. (QED)

$E$에서의 가측함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다는 것은 $|f|$가 $E$에서 적분가능하다는 것이다. 이때 $f$의 $E$에서의 적분을

$$\int_{E}{fdm}=\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}$$ 으로 정의한다.

3.20 함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. 그러면 $f$는 $E$의 거의 어디서나 유한하고 $E_{0}\subset E,\,m(E_{0})=0$이면, $\displaystyle\int_{E}{fdm}=\int_{E-E_{0}}{fdm}$이다. 증명: 3.17에 의해 $|f|$는 $E$의 거의 어디서나 유한하고 따라서 $f$는 $E$의 거의 어디서나 유한하다. $f^{+}$와 $f^{-}$를 3.15에 적용한다. (QED)

3.21 (적분판정법, integral comparison test) $f$를 $E$에서 가측함수라 하고 $E$에서 적분가능한 함수 $g$가 존재해서 $E$에서 $|f|\leq g$라 하자. 그러면 $f$는 $E$에서 적분가능하고 $$\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}$$ 이 성립한다. 증명: $E$에서 $f^{+}\leq|f|\leq g,\,f^{-}\leq|f|\leq g$이므로 $f$는 $E$에서 적분가능하다. 또한 다음이 성립한다. $$\left|\int_{E}{fdm}\right|=\left|\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}\right|\leq\int_{E}{f^{+}dm}+\int_{E}{f^{-}dm}=\int_{E}{|f|dm}$$ (QED)

집합 $E$에서 정의된 가측함수 $f$와 $g$가 어떤 점 $x$에서 $f(x)=\infty,\,g(x)=-\infty$ 또는 $f(x)=-\infty,\,g(x)=\infty$이면 $x$에서 $f+g$를 정의할 수 없다. 만약 함수 $f$와 $g$가 적분가능하면 이러한 점들을 모은 집합의 측도는 0이 되어야 한다. 즉, 함수 $f$와 $g$가 $A$에서 적분가능하면 다음이 성립한다.

$$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{A}{(f+g)dm}$$

3.22 $f$와 $g$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. 그러면 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $\alpha f+\beta g$는 $E$에서 적분가능하고 $\displaystyle\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}$이 성립한다. 게다가 $E$에서 $f\leq g$이면, $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$이다. 증명: $\alpha>0$이면 $(\alpha f^{+})=\alpha f^{+},\,(\alpha f^{-})=\alpha f^{-}$이고, $\alpha<0$이면, $(\alpha f^{+})=\alpha f^{-},\,(\alpha f^{-})=\alpha f^{+}$이다. 그러므로 $\alpha f$는 $E$에서 적분가능하고 $\displaystyle\int_{E}{\alpha fdm}=\alpha\int_{E}{fdm}$이 성립한다. $\alpha=\beta=1$인 경우에 대해 성립함을 보이자. $f$와 $g$가 $E$에서 적분가능하므로 $|f|$와 $|g|$는 $E$에서 적분가능하다. 삼각부등식에 의해 $E$에서 $|f+g|\leq|f|+|g|$이므로 적분판정법(3.21)에 의해 $f+g$는 $E$에서 적분가능하다. 또한 측도가 0인 집합에서의 적분은 0이므로 $f$와 $g$는 $E$에서 유한하다고 가정할 수 있다. $E$에서 $(f+g)^{+}-(f+g)^{-}=f+g=(f^{+}-f^{-})+(g^{+}-g^{-})$이므로 $(f+g)^{+}+f^{-}+g^{-}=(f+g)^{-}+f^{+}+g^{+}$이고 $$\int_{E}{(f+g)^{+}dm}+\int_{E}{f^{-}dm}+\int_{E}{g^{-}dm}=\int_{E}{(f+g)^{-}dm}+\int_{E}{f^{+}dm}+\int_{E}{g^{+}dm}$$ 이 성립한다. 이 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{(f+g)^{+}dm}-\int_{E}{(f+g)^{-}dm}=\left(\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}\right)+\left(\int_{E}{g^{+}dm}-\int_{E}{g^{-}dm}\right)$$ $E$에서 $f\leq g$일 때 $h=g-f$라 하자. 그러면 $h=g-f\geq0$이므로 $h$는 음이 아닌 가측함수이고 따라서 $$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}=\int_{E}{hdm}\geq0$$ 이다. (QED)

$E$에서 적분가능한 함수 $f$에 대하여 $A\subset E$일 때, $f\chi_{A}$의 적분은 다음과 같다.

$$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$

3.23 $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하고, 집합 $A$와 $B$를 서로소인 $E$의 가측 부분집합이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$ 증명: $E$에서 $f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}$이고 $|f\chi_{A}|\leq|f|,\,|f\chi_{B}|\leq|f|$이므로 $f\chi_{A}$와 $f\chi_{B}$는 $E$에서 적분가능하다. 식 $f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}$를 적분하면 된다. (QED)

다음은 유계수렴정리를 일반화한 르베그 지배수렴정리이다.

3.24 (르베그 지배수렴정리, Lebesgue dominated convergence theorem) $\{f_{n}\}$을 $E$에서 가측함수열이라 하고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E$에서 적분가능한 함수 $g$가 존재해서 $|f_{n}|\leq g$라 하자. $\{f_{n}\}$이 $E$에서 $f$로 $E$의 거의 어디서나 점별수렴하면, $f$는 $E$에서 적분가능하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이 성립한다. 증명: $E$에서 $|f_{n}|\leq g$이고 $|f|\leq g$이므로 적분판정법에 의해 $f$와 모든 $f_{n}$들은 $E$에서 적분가능하다. 또한 측도가 0인 집합에서의 적분은 $0$이므로 $f$와 $f_{n}$들이 $E$에서 유한하다고 할 수 있다. $g-f$와 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $g-f_{n}$은 잘 정의되고 $\{g-f_{n}\}$은 $E$의 거의 어디서나 $g-f$로 점별수렴하는 음이 아닌 가측함수열이므로 파투의 보조정리에 의해 $$\int_{E}{(g-f)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{(g-f_{n})dm}}}$$ 이 성립하므로 $$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{(g-f_{n})dm}}}=\int_{E}{gdm}-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}\leq\int_{E}{fdm}$이 성립한다. 위와 같은 방법을 $\{g+f_{n}\}$에 적용하면 $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$을 얻는다. $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}\leq\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$이므로 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이 성립한다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson