[르베그적분] 3-3. 일반 르베그적분

[르베그적분] 3-3. 일반 르베그적분

\(E\)에서 확장실함수 \(f\)에 대하여 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(f^{+},\,f^{-}\)는 다음과 같이 정의했었다.

$$f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-1}=\max\{-f(x),\,0\}$$

그러면 \(f^{+}\)와 \(f^{-1}\)는 \(E\)에서 음이 아닌 함수이고$$f=f^{+}-f^{-},\,|f|=f^{+}+f^{-}$$이다.

\(f\)가 가측일 필요충분조건은 \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)가 가측인 것이다.

3.19 함수 \(f\)가 \(E\)에서 가측이라 하자. 그러면 \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)가 \(E\)에서 적분가능하기 위한 필요충분조건은 \(|f|\)가 \(E\)에서 적분가능한 것이다. 증명: (\(\Rightarrow\)): \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. \(|f|=f^{+}+f^{-}\)이므로 \(|f|\)는 \(E\)에서 적분가능하다. (\(\Leftarrow\)): \(|f|\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 \(E\)에서 \(0\leq f^{+}\leq|f|,\,0\leq f^{-}\leq|f|\)이므로 \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)는 \(E\)에서 적분가능하다. (QED)

\(E\)에서의 가측함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다는 것은 \(|f|\)가 \(E\)에서 적분가능하다는 것이다. 이때 \(f\)의 \(E\)에서의 적분을$$\int_{E}{fdm}=\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}$$으로 정의한다.

3.20 함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 \(f\)는 \(E\)의 거의 어디서나 유한하고 \(E_{0}\subset E,\,m(E_{0})=0\)이면, \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=\int_{E-E_{0}}{fdm}\)이다. 증명: 3.17에 의해 \(|f|\)는 \(E\)의 거의 어디서나 유한하고 따라서 \(f\)는 \(E\)의 거의 어디서나 유한하다. \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)를 3.15에 적용한다. (QED)

3.21 (적분판정법, integral comparison test) \(f\)를 \(E\)에서 가측함수라 하고 \(E\)에서 적분가능한 함수 \(g\)가 존재해서 \(E\)에서 \(|f|\leq g\)라 하자. 그러면 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고$$\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}$$이 성립한다. 증명: \(E\)에서 \(f^{+}\leq|f|\leq g,\,f^{-}\leq|f|\leq g\)이므로 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 또한 다음이 성립한다. $$\left|\int_{E}{fdm}\right|=\left|\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}\right|\leq\int_{E}{f^{+}dm}+\int_{E}{f^{-}dm}=\int_{E}{|f|dm}$$(QED)

집합 \(E\)에서 정의된 가측함수 \(f\)와 \(g\)가 어떤 점 \(x\)에서 \(f(x)=\infty,\,g(x)=-\infty\) 또는 \(f(x)=-\infty,\,g(x)=\infty\)이면 \(x\)에서 \(f+g\)를 정의할 수 없다. 만약 함수 \(f\)와 \(g\)가 적분가능하면 이러한 점들을 모은 집합의 측도는 0이 되어야 한다. 즉, 함수 \(f\)와 \(g\)가 \(A\)에서 적분가능하면 다음이 성립한다.$$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{A}{(f+g)dm}$$

3.22 \(f\)와 \(g\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\alpha f+\beta g\)는 \(E\)에서 적분가능하고 \(\displaystyle\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}\)이 성립한다. 게다가 \(E\)에서 \(f\leq g\)이면, \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}\)이다. 증명: \(\alpha>0\)이면 \((\alpha f^{+})=\alpha f^{+},\,(\alpha f^{-})=\alpha f^{-}\)이고, \(\alpha<0\)이면, \((\alpha f^{+})=\alpha f^{-},\,(\alpha f^{-})=\alpha f^{+}\)이다. 그러므로 \(\alpha f\)는 \(E\)에서 적분가능하고 \(\displaystyle\int_{E}{\alpha fdm}=\alpha\int_{E}{fdm}\)이 성립한다. \(\alpha=\beta=1\)인 경우에 대해 성립함을 보이자. \(f\)와 \(g\)가 \(E\)에서 적분가능하므로 \(|f|\)와 \(|g|\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 삼각부등식에 의해 \(E\)에서 \(|f+g|\leq|f|+|g|\)이므로 적분판정법(3.21)에 의해 \(f+g\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 또한 측도가 0인 집합에서의 적분은 0이므로 \(f\)와 \(g\)는 \(E\)에서 유한하다고 가정할 수 있다. \(E\)에서 \((f+g)^{+}-(f+g)^{-}=f+g=(f^{+}-f^{-})+(g^{+}-g^{-})\)이므로 \((f+g)^{+}+f^{-}+g^{-}=(f+g)^{-}+f^{+}+g^{+}\)이고 $$\int_{E}{(f+g)^{+}dm}+\int_{E}{f^{-}dm}+\int_{E}{g^{-}dm}=\int_{E}{(f+g)^{-}dm}+\int_{E}{f^{+}dm}+\int_{E}{g^{+}dm}$$이 성립한다. 이 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{(f+g)^{+}dm}-\int_{E}{(f+g)^{-}dm}=\left(\int_{E}{f^{+}dm}-\int_{E}{f^{-}dm}\right)+\left(\int_{E}{g^{+}dm}-\int_{E}{g^{-}dm}\right)$$ \(E\)에서 \(f\leq g\)일 때 \(h=g-f\)라 하자. 그러면 \(h=g-f\geq0\)이므로 \(h\)는 음이 아닌 가측함수이고 따라서 $$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}=\int_{E}{hdm}\geq0$$이다. (QED)

\(E\)에서 적분가능한 함수 \(f\)에 대하여 \(A\subset E\)일 때, \(f\chi_{A}\)의 적분은 다음과 같다.

$$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$

3.23 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하고, 집합 \(A\)와 \(B\)를 서로소인 \(E\)의 가측 부분집합이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$ 증명: \(E\)에서 \(f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}\)이고 \(|f\chi_{A}|\leq|f|,\,|f\chi_{B}|\leq|f|\)이므로 \(f\chi_{A}\)와 \(f\chi_{B}\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 식 \(f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}\)를 적분하면 된다. (QED)

다음은 유계수렴정리를 일반화한 르베그 지배수렴정리이다.

3.24 (르베그 지배수렴정리, Lebesgue dominated convergence theorem) \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 가측함수열이라 하고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E\)에서 적분가능한 함수 \(g\)가 존재해서 \(|f_{n}|\leq g\)라 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 \(E\)의 거의 어디서나 점별수렴하면, \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이 성립한다. 증명: \(E\)에서 \(|f_{n}|\leq g\)이고 \(|f|\leq g\)이므로 적분판정법에 의해 \(f\)와 모든 \(f_{n}\)들은 \(E\)에서 적분가능하다. 또한 측도가 0인 집합에서의 적분은 \(0\)이므로 \(f\)와 \(f_{n}\)들이 \(E\)에서 유한하다고 할 수 있다. \(g-f\)와 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(g-f_{n}\)은 잘 정의되고 \(\{g-f_{n}\}\)은 \(E\)의 거의 어디서나 \(g-f\)로 점별수렴하는 음이 아닌 가측함수열이므로 파투의 보조정리에 의해$$\int_{E}{(g-f)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{(g-f_{n})dm}}}$$이 성립하므로$$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{(g-f_{n})dm}}}=\int_{E}{gdm}-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}\leq\int_{E}{fdm}\)이 성립한다. 위와 같은 방법을 \(\{g+f_{n}\}\)에 적용하면 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}\)을 얻는다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{\int_{E}{f_{n}dm}}}\leq\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이 성립한다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson