[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)

[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)

함수 \(f\)를 유한측도집합 \(E\)에서 유계실함수라 하자. \(E\)에서 \(f\)의 \(E\)에서의 상 르베그적분(upper Lebesgue integral)과 하 르베그적분(lower Lebesgue integral)을 다음과 같이 정의한다: \(E\)에서 \(\varphi\leq f\leq\psi\)를 만족하는 임의의 단순함수 \(\varphi\)와 \(\psi\)에 대하여$$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi dm}},\,\inf_{f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}$$

상 르베그적분과 하 르베그적분이 일치할 때, 함수 \(f\)는 \(E\)에서 르베그적분가능(Lebesgue integrable)하다고 하고 그 공통값을 \(f\)의 \(E\)에서의 르베그적분(Lebesgue integral)이라고 하며 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\)으로 나타낸다.

다음 정리는 리만적분가능한 함수는 르베그적분가능하며 이 두 값이 서로 같음을 보인 것이다. 구간 \([a,\,b]\)에서 계단함수(step function) \(\psi\)는 구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(P=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,...,\,x_{n}(=b)\}\)와 \(c_{1},\,c_{2},\,...,\,c_{n}\)이 존재해서 모든 \(1\leq k\leq n\)에 대해 \(x_{k-1}<x<x_{k}\)일 때, \(\psi(x)=c_{k}\)이다.

3.3 함수 \(f\)를 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 유계함수라 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만적분가능하면, 르베그적분가능하며 이 두 값은 서로 같다. 증명: \(I=[a,\,b]\)라 하자. \(f\)가 \(I\)에서 리만적분 가능하므로 \(I\)에서 \(\varphi\leq f\leq\psi\)인 계단함수 \(\varphi\)와 \(\psi\)에 대하여 다음이 성립한다. $$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{a}^{b}{\varphi(x)dx}}=\inf_{f\leq\psi}{\int_{a}^{b}{\psi(x)dx}}$$ 그런데 계단함수는 단순함수이므로 $$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{I}{\varphi dm}}=\inf_{f\leq\psi}{\int_{I}{\psi dm}}$$이고 이는 앞의 리만적분과 일치한다. 따라서 리만적분과 르베그적분은 일치한다. (QED)

르베그적분에서 적분영역이 구간 \(E=[a,\,b]\)일 때, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 나타내기로 한다. 즉,$$\int_{[a,\,b]}{fdm}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

다음 정리는 유계함수가 적분가능할 조건에 대한 정리인데 증명이 복잡해서 일부러 접어두었다. 보고 싶으면 볼 수 있다.

3.4 함수 \(f\)가 유한측도집합 \(E\)에서 유계함수라 하자. \(f\)가 \(E\)에서 적분가능할 필요충분조건은 \(f\)가 가측함수인 것이다. (\(\Leftarrow\)): 함수 \(f\)가 \(E\)에서 가측이고 \(M>0\)에 대하여 \(|f|\leq M\)이라 하자. \(n\in\mathbb{N}\)이라 하고 모든 \(-n\leq k\leq n\)에 대하여$$E_{k}=\left\{x\in E\,|\,\frac{(k-1)M}{n}<f(x)\leq\frac{kM}{n}\right\}$$라 하면 \(f\)가 가측함수이므로 \(E_{k}\)는 가측집합이고 \(\displaystyle E=\bigcup_{k=-n}^{n}{E_{k}}\)이다. 이때$$m\left(\bigcup_{k=-n}^{n}{E_{k}}\right)=m(E)=\sum_{k=-n}^{n}{m(E_{k})}$$이므로$$\psi_{n}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{k\chi_{E_{k}}},\,\varphi_{n}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{(k-1)\chi_{E_{k}}}$$라 하면 \(\varphi_{n}\leq f\leq\psi_{n}\)이고$$\inf_{f\leq\psi_{n}}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}\leq\int_{E}{\psi_{n}dm}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{km(E_{k})},\,\sup_{\varphi_{n}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{n}dm}}\geq\int_{E}{\varphi_{n}dm}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{(k-1)m(E_{k})}$$이다. 그러면$$0\leq\inf_{f\leq\psi_{n}}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}-\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi_{n}dm}}\leq\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{m(E_{k})}=\frac{M}{n}m(E)$$이고 \(n\)은 임의의 자연수이므로 따라서 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하다. (\(\Rightarrow\)): \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 즉 \(\displaystyle\inf_{f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}=\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi dm}}\) 그러면 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 단순함수 \(\varphi_{n}\)과 \(\psi_{n}\)이 존재해서 \(\varphi_{n}\leq f\leq\psi_{n}\)이고$$0\leq\int_{E}{\psi_{n}dm}-\int_{E}{\varphi_{n}dm}<\frac{1}{n}$$이다. \(\displaystyle\psi^{*}=\inf_{n}{\psi_{n}},\,\varphi^{*}=\sup_{n}{\varphi_{n}}\)이라 하면 \(\psi^{*}\)와 \(\varphi^{*}\)는 가측이고 \(\varphi^{*}\leq f\leq\psi^{*}\)이다.$$D=\{x\,|\,\varphi^{*}(x)<\psi^{*}(x)\}$$라 하고 \(m(D)=0\)임을 보이자. 임의의 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여$$D_{k}=\left\{x\in E\,|\,\varphi^{*}(x)<\psi^{*}(x)-\frac{1}{k}\right\}$$라 하면 \(\displaystyle D=\bigcup_{k=1}^{\infty}{D_{k}}\)이다. 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\varphi_{n}\leq\varphi^{*},\,\psi^{*}\leq\psi_{n}\)이므로$$D_{k}\subset\left\{x\in E\,|\,\varphi_{n}(x)<\psi_{n}(x)-\frac{1}{k}\right\}$$이다. \(\displaystyle A=\left\{x\in E\,|\,\varphi_{n}(x)<\psi_{n}(x)-\frac{1}{k}\right\}\)로 놓고 적분하면$$\int_{A}{\varphi_{n}dm}\leq\int_{A}{\left(\psi_{n}-\frac{1}{k}\right)dm}=\int_{A}{\psi_{n}dm}-\frac{1}{k}m(A)$$이다. 이 부등식을 정리하면$$\frac{1}{k}m(A)\leq\int_{A}{\varphi_{n}dm}-\int_{A}{\psi_{n}dm}\leq\frac{1}{n}$$이고 \(D_{k}\subset A\)이므로 \(\displaystyle m(D_{k})\leq m(A)<\frac{k}{n}\)이다. 이 부등식은 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 성립하므로 \(m(D_{k})=0\)이다. 그러면 \(\displaystyle m(D)\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(D_{k})}=0\)이므로 \(m(D)=0\)이다. \(m(D)=0\)이므로 \(\varphi^{*}=\psi^{*}\,a.e.\)이고 \(\varphi^{*}=f=\psi^{*}\,a.e.\)이므로 \(f\)는 가측이다. (QED)

3.5 \(f\)와 \(g\)를 유한측도집합 \(E\)에서 정의된 유계가측함수라 하자. 그러면 임의의 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다. (선형성) \(\displaystyle\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}\) (단조성) \(E\)에서 \(f\leq g\)이면, \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}\) 증명: (선형성): \(\alpha f+\beta g\)는 유계가측함수이므로 \(E\)에서 적분가능하다. 먼저 \(\beta=0\)이라 하자. \(\alpha>0\)일 때$$\int_{E}{\alpha fdm}=\inf_{\alpha f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}=\alpha\inf_{f\leq\frac{\psi}{\alpha}}{\int_{E}{\frac{\psi}{\alpha}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$이고 \(\alpha<0\)일 때$$\int_{E}{\alpha fdm}=\inf_{\alpha f\leq\varphi}{\int_{E}{\varphi dm}}=\alpha\sup_{\frac{\varphi}{\alpha}\leq f}{\int_{E}{\frac{\varphi}{\alpha}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$이다. 이제 \(\alpha=\beta=1\)인 경우에 대해서 증명하면 된다. \(\psi_{1}\)과 \(\psi_{2}\)를 \(E\)에서 \(f\leq\psi_{1},\,g\leq\psi_{2}\)인 단순함수라 하자. 그러면 \(\psi_{1}+\psi_{2}\)는 단순함수이고 \(E\)에서 \(f+g\leq\psi_{1}+\psi_{2}\)이다. \(\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm\leq\int_{E}{(\psi_{1}+\psi_{2})dm}}=\int_{E}{\psi_{1}dm}+\int_{E}{\psi_{2}dm}\)이고 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=\inf_{f\leq\psi_{1}}{\int_{E}{\psi_{1}dm}},\,\int_{E}{gdm}=\inf_{g\leq\psi_{2}}{\int_{E}{\psi_{2}dm}}\)이므로 $$\int_{E}{(f+g)dm}\leq\inf_{f+g\leq\psi_{1}+\psi_{2}}\int_{E}{(\psi_{1}+\psi_{2})dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$이다. \(\varphi_{1}\)과 \(\varphi_{2}\)를 \(E\)에서 \(\varphi_{1}\leq f,\,\varphi_{2}\leq g\)인 단순함수라 하자. 그러면 \(\varphi_{1}+\varphi_{2}\)는 단순함수이고 \(E\)에서 \(\varphi_{1}+\varphi_{2}\leq f+g\)이다. \(\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm}\geq\int_{E}{(\varphi_{1}+\varphi_{2})dm}=\int_{E}{\varphi_{1}dm}+\int_{E}{\varphi_{2}dm}\)이고 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=\sup_{\varphi_{1}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{1}dm}},\,\int_{E}{gdm}=\sup_{\varphi_{2}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{2}dm}}\)이므로$$\int_{E}{(f+g)dm}\geq\sup_{\varphi_{1}+\varphi_{2}\leq f+g}{\int_{E}{(\varphi_{1}+\varphi_{2})dm}}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$이다. 따라서$$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$이다. (단조성): \(E\)에서 \(f\leq g\)라 하고 \(h=g-f\)라 하자. 그러면 선형성에 의해$$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}=\int_{E}{hdm}$$이고 \(h\geq0\)이므로 \(E\)에서 \(\psi\leq h\,(\psi=0)\)이다. 그러면 \(\displaystyle\int_{E}{hdm}\geq\int_{E}{\psi dm}=0\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}\)이다. (QED)

특성함수 \(\chi_{E}\)는 \(x\in E\)일 때, \(\chi_{E}(x)=1\)이고 \(x\notin E\)일 때, \(\chi_{E}(x)=0\)이다. 그렇다면 \(E\)가 유한측도집합이고 \(A\subset E\)일 때 \(f\chi_{A}\)의 적분은 다음과 같다.$$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 디리클레 함수 \(\chi_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}\)는 리만적분 가능하지 않으나 르베그적분 가능하고$$\int_{E}{\chi_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}dm}=\int_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{1dm}=1\times m([0,\,1]\cap\mathbb{Q})=1\times0=0$$이다.

3.6 함수 \(f\)를 유한측도집합 \(E\)에서의 유계가측함수라 하자. 집합 \(A\)와 \(B\)를 서로소인 \(E\)의 부분집합이라 하면$$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$이다. 증명: \(A\)와 \(B\)는 서로소인 집합이므로 \(\chi_{A\cap B}=\chi_{\emptyset}=0\)이고 \(\chi_{A\cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}\)이다. 그러면 \(f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}\)이고 따라서$$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{E}{f\chi_{A\cup B}dm}=\int_{E}{f\chi_{A}dm}+\int_{E}{f\chi_{B}dm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{dm}$$이다. (QED)

3.7 함수 \(f\)를 유한측도집합 \(E\)에서의 유계가측함수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}$$ 증명: 함수 \(|f|\)는 유계가측함수이므로 \(E\)에서 \(-|f|\leq f\leq|f|\)이다. 그러면 3.5에 의해$$-\int_{E}{|f|dm}\leq\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{|f|dm}$$이므로 부등식 \(\displaystyle\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}\)이 성립한다. (QED)

3.8 함수열 \(\{f_{n}\}\)을 유한측도집합 \(E\)에서 유계가측함수열이라고 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 균등수렴하면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. 증명: \(f_{n}\)이 유계이고 균등수렴하므로 극한함수 \(f\)는 유계이다. 또한 \(\{f_{n}\}\)은 가측이므로 \(f\)도 가측이다. \(\epsilon>0\)이라 하고 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|f-f_{n}|<\frac{\epsilon}{m(E)+1}\)이라 하자. 3.5와 3.7로부터$$\left|\int_{E}{fdm}-\int_{E}{f_{n}dm}\right|=\left|\int_{E}{(f-f_{n})dm}\right|\leq\int_{E}{|f-f_{n}|dm}<\frac{\epsilon}{m(E)+1}m(E)<\epsilon$$이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. (QED)

식 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이 리만적분일 때 성립하는 경우는 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 균등수렴하는 경우뿐이다. 르베그적분의 경우 균등수렴하는 함수열에 대해서 위 식이 성립함은 당연하며 점별수렴일 때는 적당한 조건을 덧붙여서 위의 식이 성립하게 만들 수 있다.

3.9 (유계수렴정리, Bounded convergence theorem) 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 유한측도집합 \(E\)에서 가측이고 균등점별유계(uniformly pointwise bounded)라 하자. 즉, \(M>0\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E\)에서 \(|f_{n}|\leq M\). \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 점별수렴하면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. 증명: \(\{f_{n}\}\)이 가측이므로 극한함수 \(f\)도 가측이다. \(E\)에서 \(|f|\leq M\)이므로, \(A\)를 \(E\)의 가측부분집합, \(n\)을 자연수라고 하면, 3.5와 3.7에 의해$$\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(f_{n}-f)dm}=\int_{A}{(f_{n}-f)dm}+\int_{E-A}{f_{n}dm}+\int_{E-A}{fdm}$$이다. 그러므로 3.7에 의해$$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{A}{|f_{n}-f|dm}+2Mm(E-A)$$이다. \(\epsilon>0\)이라 하자. \(m(E)<\infty\)이고 \(f\)는 실함수이므로 에고로프의 정리로부터 \(E\)의 가측부분집합 \(A\)가 존재해서 \(A\)에서 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 균등수렴하고 \(\displaystyle m(E-A)<\frac{\epsilon}{4M}\)이다. 균등수렴의 정의로부터 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}-f|<\frac{\epsilon}{2m(E)+1}\)이다. 그러므로 \(n\geq N\)일 때$$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\frac{\epsilon}{2m(E)+1}m(A)+2Mm(E-A)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이므로 따라서 \(\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}\)은 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\)으로 수렴한다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

http://www.uwyo.edu/bessaih/courses/chap4.5200.pdf