[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)

[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)

함수 $f$를 유한측도집합 $E$에서 유계실함수라 하자. $E$에서 $f$의 $E$에서의 상 르베그적분(upper Lebesgue integral)과 하 르베그적분(lower Lebesgue integral)을 다음과 같이 정의한다: $E$에서 $\varphi\leq f\leq\psi$를 만족하는 임의의 단순함수 $\varphi$와 $\psi$에 대하여 $$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi dm}},\,\inf_{f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}$$

상 르베그적분과 하 르베그적분이 일치할 때, 함수 $f$는 $E$에서 르베그적분가능(Lebesgue integrable)하다고 하고 그 공통값을 $f$의 $E$에서의 르베그적분(Lebesgue integral)이라고 하며 $\displaystyle\int_{E}{fdm}$으로 나타낸다.

다음 정리는 리만적분가능한 함수는 르베그적분가능하며 이 두 값이 서로 같음을 보인 것이다. 구간 $[a,\,b]$에서 계단함수(step function) $\psi$는 구간 $[a,\,b]$의 분할 $P=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,...,\,x_{n}(=b)\}$와 $c_{1},\,c_{2},\,...,\,c_{n}$이 존재해서 모든 $1\leq k\leq n$에 대해 $x_{k-1}<x<x_{k}$일 때, $\psi(x)=c_{k}$이다.

3.3 함수 $f$를 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 유계함수라 하자. $f$가 $[a,\,b]$에서 리만적분가능하면, 르베그적분가능하며 이 두 값은 서로 같다. 증명: $I=[a,\,b]$라 하자. $f$가 $I$에서 리만적분 가능하므로 $I$에서 $\varphi\leq f\leq\psi$인 계단함수 $\varphi$와 $\psi$에 대하여 다음이 성립한다. $$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{a}^{b}{\varphi(x)dx}}=\inf_{f\leq\psi}{\int_{a}^{b}{\psi(x)dx}}$$ 그런데 계단함수는 단순함수이므로 $$\sup_{\varphi\leq f}{\int_{I}{\varphi dm}}=\inf_{f\leq\psi}{\int_{I}{\psi dm}}$$ 이고 이는 앞의 리만적분과 일치한다. 따라서 리만적분과 르베그적분은 일치한다. (QED)

르베그적분에서 적분영역이 구간 $E=[a,\,b]$일 때, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$로 나타내기로 한다. 즉, $$\int_{[a,\,b]}{fdm}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

다음 정리는 유계함수가 적분가능할 조건에 대한 정리인데 증명이 복잡해서 일부러 접어두었다. 보고 싶으면 볼 수 있다.

3.4 함수 $f$가 유한측도집합 $E$에서 유계함수라 하자. $f$가 $E$에서 적분가능할 필요충분조건은 $f$가 가측함수인 것이다. ($\Leftarrow$): 함수 $f$가 $E$에서 가측이고 $M>0$에 대하여 $|f|\leq M$이라 하자. $n\in\mathbb{N}$이라 하고 모든 $-n\leq k\leq n$에 대하여 $$E_{k}=\left\{x\in E\,|\,\frac{(k-1)M}{n}<f(x)\leq\frac{kM}{n}\right\}$$ 라 하면 $f$가 가측함수이므로 $E_{k}$는 가측집합이고 $\displaystyle E=\bigcup_{k=-n}^{n}{E_{k}}$이다. 이때 $$m\left(\bigcup_{k=-n}^{n}{E_{k}}\right)=m(E)=\sum_{k=-n}^{n}{m(E_{k})}$$ 이므로 $$\psi_{n}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{k\chi_{E_{k}}},\,\varphi_{n}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{(k-1)\chi_{E_{k}}}$$ 라 하면 $\varphi_{n}\leq f\leq\psi_{n}$이고 $$\inf_{f\leq\psi_{n}}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}\leq\int_{E}{\psi_{n}dm}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{km(E_{k})},\,\sup_{\varphi_{n}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{n}dm}}\geq\int_{E}{\varphi_{n}dm}=\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{(k-1)m(E_{k})}$$ 이다. 그러면 $$0\leq\inf_{f\leq\psi_{n}}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}-\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi_{n}dm}}\leq\frac{M}{n}\sum_{k=-n}^{n}{m(E_{k})}=\frac{M}{n}m(E)$$ 이고 $n$은 임의의 자연수이므로 따라서 $f$는 $E$에서 적분가능하다. ($\Rightarrow$): $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. 즉 $\displaystyle\inf_{f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}=\sup_{\varphi\leq f}{\int_{E}{\varphi dm}}$ 그러면 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 단순함수 $\varphi_{n}$과 $\psi_{n}$이 존재해서 $\varphi_{n}\leq f\leq\psi_{n}$이고 $$0\leq\int_{E}{\psi_{n}dm}-\int_{E}{\varphi_{n}dm}<\frac{1}{n}$$ 이다. $\displaystyle\psi^{*}=\inf_{n}{\psi_{n}},\,\varphi^{*}=\sup_{n}{\varphi_{n}}$이라 하면 $\psi^{*}$와 $\varphi^{*}$는 가측이고 $\varphi^{*}\leq f\leq\psi^{*}$이다. $$D=\{x\,|\,\varphi^{*}(x)<\psi^{*}(x)\}$$ 라 하고 $m(D)=0$임을 보이자. 임의의 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $$D_{k}=\left\{x\in E\,|\,\varphi^{*}(x)<\psi^{*}(x)-\frac{1}{k}\right\}$$ 라 하면 $\displaystyle D=\bigcup_{k=1}^{\infty}{D_{k}}$이다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\varphi_{n}\leq\varphi^{*},\,\psi^{*}\leq\psi_{n}$이므로 $$D_{k}\subset\left\{x\in E\,|\,\varphi_{n}(x)<\psi_{n}(x)-\frac{1}{k}\right\}$$ 이다. $\displaystyle A=\left\{x\in E\,|\,\varphi_{n}(x)<\psi_{n}(x)-\frac{1}{k}\right\}$로 놓고 적분하면 $$\int_{A}{\varphi_{n}dm}\leq\int_{A}{\left(\psi_{n}-\frac{1}{k}\right)dm}=\int_{A}{\psi_{n}dm}-\frac{1}{k}m(A)$$ 이다. 이 부등식을 정리하면 $$\frac{1}{k}m(A)\leq\int_{A}{\varphi_{n}dm}-\int_{A}{\psi_{n}dm}\leq\frac{1}{n}$$ 이고 $D_{k}\subset A$이므로 $\displaystyle m(D_{k})\leq m(A)<\frac{k}{n}$이다. 이 부등식은 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대해 성립하므로 $m(D_{k})=0$이다. 그러면 $\displaystyle m(D)\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(D_{k})}=0$이므로 $m(D)=0$이다. $m(D)=0$이므로 $\varphi^{*}=\psi^{*}\,a.e.$이고 $\varphi^{*}=f=\psi^{*}\,a.e.$이므로 $f$는 가측이다. (QED)

3.5 $f$와 $g$를 유한측도집합 $E$에서 정의된 유계가측함수라 하자. 그러면 임의의 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다. (선형성) $\displaystyle\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}$ (단조성) $E$에서 $f\leq g$이면, $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$ 증명: (선형성): $\alpha f+\beta g$는 유계가측함수이므로 $E$에서 적분가능하다. 먼저 $\beta=0$이라 하자. $\alpha>0$일 때 $$\int_{E}{\alpha fdm}=\inf_{\alpha f\leq\psi}{\int_{E}{\psi dm}}=\alpha\inf_{f\leq\frac{\psi}{\alpha}}{\int_{E}{\frac{\psi}{\alpha}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$ 이고 $\alpha<0$일 때 $$\int_{E}{\alpha fdm}=\inf_{\alpha f\leq\varphi}{\int_{E}{\varphi dm}}=\alpha\sup_{\frac{\varphi}{\alpha}\leq f}{\int_{E}{\frac{\varphi}{\alpha}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$ 이다. 이제 $\alpha=\beta=1$인 경우에 대해서 증명하면 된다. $\psi_{1}$과 $\psi_{2}$를 $E$에서 $f\leq\psi_{1},\,g\leq\psi_{2}$인 단순함수라 하자. 그러면 $\psi_{1}+\psi_{2}$는 단순함수이고 $E$에서 $f+g\leq\psi_{1}+\psi_{2}$이다. $\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm\leq\int_{E}{(\psi_{1}+\psi_{2})dm}}=\int_{E}{\psi_{1}dm}+\int_{E}{\psi_{2}dm}$이고 $\displaystyle\int_{E}{fdm}=\inf_{f\leq\psi_{1}}{\int_{E}{\psi_{1}dm}},\,\int_{E}{gdm}=\inf_{g\leq\psi_{2}}{\int_{E}{\psi_{2}dm}}$이므로 $$\int_{E}{(f+g)dm}\leq\inf_{f+g\leq\psi_{1}+\psi_{2}}\int_{E}{(\psi_{1}+\psi_{2})dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$ 이다. $\varphi_{1}$과 $\varphi_{2}$를 $E$에서 $\varphi_{1}\leq f,\,\varphi_{2}\leq g$인 단순함수라 하자. 그러면 $\varphi_{1}+\varphi_{2}$는 단순함수이고 $E$에서 $\varphi_{1}+\varphi_{2}\leq f+g$이다. $\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm}\geq\int_{E}{(\varphi_{1}+\varphi_{2})dm}=\int_{E}{\varphi_{1}dm}+\int_{E}{\varphi_{2}dm}$이고 $\displaystyle\int_{E}{fdm}=\sup_{\varphi_{1}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{1}dm}},\,\int_{E}{gdm}=\sup_{\varphi_{2}\leq f}{\int_{E}{\varphi_{2}dm}}$이므로 $$\int_{E}{(f+g)dm}\geq\sup_{\varphi_{1}+\varphi_{2}\leq f+g}{\int_{E}{(\varphi_{1}+\varphi_{2})dm}}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$ 이다. 따라서 $$\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$ 이다. (단조성): $E$에서 $f\leq g$라 하고 $h=g-f$라 하자. 그러면 선형성에 의해 $$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(g-f)dm}=\int_{E}{hdm}$$ 이고 $h\geq0$이므로 $E$에서 $\psi\leq h\,(\psi=0)$이다. 그러면 $\displaystyle\int_{E}{hdm}\geq\int_{E}{\psi dm}=0$이고 따라서 $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$이다. (QED)

특성함수 $\chi_{E}$는 $x\in E$일 때, $\chi_{E}(x)=1$이고 $x\notin E$일 때, $\chi_{E}(x)=0$이다. 그렇다면 $E$가 유한측도집합이고 $A\subset E$일 때 $f\chi_{A}$의 적분은 다음과 같다. $$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$

구간 $[0,\,1]$에서 정의된 디리클레 함수 $\chi_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}$는 리만적분 가능하지 않으나 르베그적분 가능하고 $$\int_{E}{\chi_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}dm}=\int_{[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{1dm}=1\times m([0,\,1]\cap\mathbb{Q})=1\times0=0$$ 이다.

3.6 함수 $f$를 유한측도집합 $E$에서의 유계가측함수라 하자. 집합 $A$와 $B$를 서로소인 $E$의 부분집합이라 하면 $$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$ 이다. 증명: $A$와 $B$는 서로소인 집합이므로 $\chi_{A\cap B}=\chi_{\emptyset}=0$이고 $\chi_{A\cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}$이다. 그러면 $f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}$이고 따라서 $$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{E}{f\chi_{A\cup B}dm}=\int_{E}{f\chi_{A}dm}+\int_{E}{f\chi_{B}dm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{dm}$$ 이다. (QED)

3.7 함수 $f$를 유한측도집합 $E$에서의 유계가측함수라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}$$ 증명: 함수 $|f|$는 유계가측함수이므로 $E$에서 $-|f|\leq f\leq|f|$이다. 그러면 3.5에 의해 $$-\int_{E}{|f|dm}\leq\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{|f|dm}$$ 이므로 부등식 $\displaystyle\left|\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E}{|f|dm}$이 성립한다. (QED)

3.8 함수열 $\{f_{n}\}$을 유한측도집합 $E$에서 유계가측함수열이라고 하자. $\{f_{n}\}$이 $f$로 균등수렴하면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. 증명: $f_{n}$이 유계이고 균등수렴하므로 극한함수 $f$는 유계이다. 또한 $\{f_{n}\}$은 가측이므로 $f$도 가측이다. $\epsilon>0$이라 하고 $N\in\mathbb{N}$을 선택해서 $n\geq N$일 때 $\displaystyle|f-f_{n}|<\frac{\epsilon}{m(E)+1}$이라 하자. 3.5와 3.7로부터 $$\left|\int_{E}{fdm}-\int_{E}{f_{n}dm}\right|=\left|\int_{E}{(f-f_{n})dm}\right|\leq\int_{E}{|f-f_{n}|dm}<\frac{\epsilon}{m(E)+1}m(E)<\epsilon$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. (QED)

식 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이 리만적분일 때 성립하는 경우는 $\{f_{n}\}$이 $f$로 균등수렴하는 경우뿐이다. 르베그적분의 경우 균등수렴하는 함수열에 대해서 위 식이 성립함은 당연하며 점별수렴일 때는 적당한 조건을 덧붙여서 위의 식이 성립하게 만들 수 있다.

3.9 (유계수렴정리, Bounded convergence theorem) 함수열 $\{f_{n}\}$이 유한측도집합 $E$에서 가측이고 균등점별유계(uniformly pointwise bounded)라 하자. 즉, $M>0$이 존재해서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E$에서 $|f_{n}|\leq M$. $\{f_{n}\}$이 $f$로 점별수렴하면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. 증명: $\{f_{n}\}$이 가측이므로 극한함수 $f$도 가측이다. $E$에서 $|f|\leq M$이므로, $A$를 $E$의 가측부분집합, $n$을 자연수라고 하면, 3.5와 3.7에 의해 $$\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(f_{n}-f)dm}=\int_{A}{(f_{n}-f)dm}+\int_{E-A}{f_{n}dm}+\int_{E-A}{fdm}$$ 이다. 그러므로 3.7에 의해 $$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{A}{|f_{n}-f|dm}+2Mm(E-A)$$ 이다. $\epsilon>0$이라 하자. $m(E)<\infty$이고 $f$는 실함수이므로 에고로프의 정리로부터 $E$의 가측부분집합 $A$가 존재해서 $A$에서 $\{f_{n}\}$이 $f$로 균등수렴하고 $\displaystyle m(E-A)<\frac{\epsilon}{4M}$이다. 균등수렴의 정의로부터 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $\displaystyle|f_{n}-f|<\frac{\epsilon}{2m(E)+1}$이다. 그러므로 $n\geq N$일 때 $$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\frac{\epsilon}{2m(E)+1}m(A)+2Mm(E-A)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}$은 $\displaystyle\int_{E}{fdm}$으로 수렴한다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

http://www.uwyo.edu/bessaih/courses/chap4.5200.pdf