[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)
함수 f를 유한측도집합 E에서 유계실함수라 하자. E에서 f의 E에서의 상 르베그적분(upper Lebesgue integral)과 하 르베그적분(lower Lebesgue integral)을 다음과 같이 정의한다: E에서 φ≤f≤ψ를 만족하는 임의의 단순함수 φ와 ψ에 대하여supφ≤f∫Eφdm,inff≤ψ∫Eψdm
상 르베그적분과 하 르베그적분이 일치할 때, 함수 f는 E에서 르베그적분가능(Lebesgue integrable)하다고 하고 그 공통값을 f의 E에서의 르베그적분(Lebesgue integral)이라고 하며 ∫Efdm으로 나타낸다.
다음 정리는 리만적분가능한 함수는 르베그적분가능하며 이 두 값이 서로 같음을 보인 것이다. 구간 [a,b]에서 계단함수(step function) ψ는 구간 [a,b]의 분할 P={x0(=a),x1,...,xn(=b)}와 c1,c2,...,cn이 존재해서 모든 1≤k≤n에 대해 xk−1<x<xk일 때, ψ(x)=ck이다.
3.3 함수 f를 유계닫힌구간 [a,b]에서 유계함수라 하자. f가 [a,b]에서 리만적분가능하면, 르베그적분가능하며 이 두 값은 서로 같다. 증명: I=[a,b]라 하자. f가 I에서 리만적분 가능하므로 I에서 φ≤f≤ψ인 계단함수 φ와 ψ에 대하여 다음이 성립한다. supφ≤f∫baφ(x)dx=inff≤ψ∫baψ(x)dx 그런데 계단함수는 단순함수이므로 supφ≤f∫Iφdm=inff≤ψ∫Iψdm이고 이는 앞의 리만적분과 일치한다. 따라서 리만적분과 르베그적분은 일치한다. (QED) |
르베그적분에서 적분영역이 구간 E=[a,b]일 때, ∫baf(x)dx로 나타내기로 한다. 즉,∫[a,b]fdm=∫baf(x)dx
다음 정리는 유계함수가 적분가능할 조건에 대한 정리인데 증명이 복잡해서 일부러 접어두었다. 보고 싶으면 볼 수 있다.
3.4 함수 f가 유한측도집합 E에서 유계함수라 하자. f가 E에서 적분가능할 필요충분조건은 f가 가측함수인 것이다. |
3.5 f와 g를 유한측도집합 E에서 정의된 유계가측함수라 하자. 그러면 임의의 α,β∈R에 대하여 다음이 성립한다. (선형성) ∫E(αf+βg)dm=α∫Efdm+β∫Egdm (단조성) E에서 f≤g이면, ∫Efdm≤∫Egdm 증명: (선형성): αf+βg는 유계가측함수이므로 E에서 적분가능하다. 먼저 β=0이라 하자. α>0일 때∫Eαfdm=infαf≤ψ∫Eψdm=αinff≤ψα∫Eψαdm=α∫Efdm이고 α<0일 때∫Eαfdm=infαf≤φ∫Eφdm=αsupφα≤f∫Eφαdm=α∫Efdm이다. 이제 α=β=1인 경우에 대해서 증명하면 된다. ψ1과 ψ2를 E에서 f≤ψ1,g≤ψ2인 단순함수라 하자. 그러면 ψ1+ψ2는 단순함수이고 E에서 f+g≤ψ1+ψ2이다. ∫E(f+g)dm≤∫E(ψ1+ψ2)dm=∫Eψ1dm+∫Eψ2dm이고 ∫Efdm=inff≤ψ1∫Eψ1dm,∫Egdm=infg≤ψ2∫Eψ2dm이므로 ∫E(f+g)dm≤inff+g≤ψ1+ψ2∫E(ψ1+ψ2)dm=∫Efdm+∫Egdm이다. φ1과 φ2를 E에서 φ1≤f,φ2≤g인 단순함수라 하자. 그러면 φ1+φ2는 단순함수이고 E에서 φ1+φ2≤f+g이다. ∫E(f+g)dm≥∫E(φ1+φ2)dm=∫Eφ1dm+∫Eφ2dm이고 ∫Efdm=supφ1≤f∫Eφ1dm,∫Egdm=supφ2≤f∫Eφ2dm이므로∫E(f+g)dm≥supφ1+φ2≤f+g∫E(φ1+φ2)dm=∫Efdm+∫Egdm이다. 따라서∫E(f+g)dm=∫Efdm+∫Egdm이다. (단조성): E에서 f≤g라 하고 h=g−f라 하자. 그러면 선형성에 의해∫Egdm−∫Efdm=∫E(g−f)dm=∫Ehdm이고 h≥0이므로 E에서 ψ≤h(ψ=0)이다. 그러면 ∫Ehdm≥∫Eψdm=0이고 따라서 ∫Efdm≤∫Egdm이다. (QED) |
특성함수 χE는 x∈E일 때, χE(x)=1이고 x∉E일 때, χE(x)=0이다. 그렇다면 E가 유한측도집합이고 A⊂E일 때 fχA의 적분은 다음과 같다.∫EfχAdm=∫Afdm
구간 [0,1]에서 정의된 디리클레 함수 χ[0,1]∩Q는 리만적분 가능하지 않으나 르베그적분 가능하고∫Eχ[0,1]∩Qdm=∫[0,1]∩Q1dm=1×m([0,1]∩Q)=1×0=0이다.
3.6 함수 f를 유한측도집합 E에서의 유계가측함수라 하자. 집합 A와 B를 서로소인 E의 부분집합이라 하면∫A∪Bfdm=∫Afdm+∫Bfdm이다. 증명: A와 B는 서로소인 집합이므로 χA∩B=χ∅=0이고 χA∪B=χA+χB이다. 그러면 fχA∪B=fχA+fχB이고 따라서∫A∪Bfdm=∫EfχA∪Bdm=∫EfχAdm+∫EfχBdm=∫Afdm+∫Bdm이다. (QED) |
3.7 함수 f를 유한측도집합 E에서의 유계가측함수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.|∫Efdm|≤∫E|f|dm 증명: 함수 |f|는 유계가측함수이므로 E에서 −|f|≤f≤|f|이다. 그러면 3.5에 의해−∫E|f|dm≤∫Efdm≤∫E|f|dm이므로 부등식 |∫Efdm|≤∫E|f|dm이 성립한다. (QED) |
3.8 함수열 {fn}을 유한측도집합 E에서 유계가측함수열이라고 하자. {fn}이 f로 균등수렴하면, limn→∞∫Efndm=∫Efdm이다. 증명: fn이 유계이고 균등수렴하므로 극한함수 f는 유계이다. 또한 {fn}은 가측이므로 f도 가측이다. ϵ>0이라 하고 N∈N을 선택해서 n≥N일 때 |f−fn|<ϵm(E)+1이라 하자. 3.5와 3.7로부터|∫Efdm−∫Efndm|=|∫E(f−fn)dm|≤∫E|f−fn|dm<ϵm(E)+1m(E)<ϵ이므로 따라서 limn→∞∫Efndm=∫Efdm이다. (QED) |
식 limn→∞∫Efndm=∫Efdm이 리만적분일 때 성립하는 경우는 {fn}이 f로 균등수렴하는 경우뿐이다. 르베그적분의 경우 균등수렴하는 함수열에 대해서 위 식이 성립함은 당연하며 점별수렴일 때는 적당한 조건을 덧붙여서 위의 식이 성립하게 만들 수 있다.
3.9 (유계수렴정리, Bounded convergence theorem) 함수열 {fn}이 유한측도집합 E에서 가측이고 균등점별유계(uniformly pointwise bounded)라 하자. 즉, M>0이 존재해서 모든 n∈N에 대하여 E에서 |fn|≤M. {fn}이 f로 점별수렴하면, limn→∞∫Efndm=∫Efdm이다. 증명: {fn}이 가측이므로 극한함수 f도 가측이다. E에서 |f|≤M이므로, A를 E의 가측부분집합, n을 자연수라고 하면, 3.5와 3.7에 의해∫Efndm−∫Efdm=∫E(fn−f)dm=∫A(fn−f)dm+∫E−Afndm+∫E−Afdm이다. 그러므로 3.7에 의해|∫Efndm−∫Efdm|≤∫A|fn−f|dm+2Mm(E−A)이다. ϵ>0이라 하자. m(E)<∞이고 f는 실함수이므로 에고로프의 정리로부터 E의 가측부분집합 A가 존재해서 A에서 {fn}이 f로 균등수렴하고 m(E−A)<ϵ4M이다. 균등수렴의 정의로부터 N∈N이 존재해서 n≥N일 때 |fn−f|<ϵ2m(E)+1이다. 그러므로 n≥N일 때|∫Efndm−∫Efdm|≤ϵ2m(E)+1m(A)+2Mm(E−A)<ϵ2+ϵ2=ϵ이므로 따라서 {∫Efndm}은 ∫Efdm으로 수렴한다. (QED) |
참고자료
Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson
실해석학의 이해, 이병무, 경문사
http://www.uwyo.edu/bessaih/courses/chap4.5200.pdf
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