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[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (2: 유계함수에 대한 르베그적분)


함수 f를 유한측도집합 E에서 유계실함수라 하자. E에서 fE에서의 상 르베그적분(upper Lebesgue integral)과 하 르베그적분(lower Lebesgue integral)을 다음과 같이 정의한다: E에서 φfψ를 만족하는 임의의 단순함수 φψ에 대하여supφfEφdm,inffψEψdm

상 르베그적분과 하 르베그적분이 일치할 때, 함수 fE에서 르베그적분가능(Lebesgue integrable)하다고 하고 그 공통값을 fE에서의 르베그적분(Lebesgue integral)이라고 하며 Efdm으로 나타낸다.


다음 정리는 리만적분가능한 함수는 르베그적분가능하며 이 두 값이 서로 같음을 보인 것이다. 구간 [a,b]에서 계단함수(step function) ψ는 구간 [a,b]의 분할 P={x0(=a),x1,...,xn(=b)}c1,c2,...,cn이 존재해서 모든 1kn에 대해 xk1<x<xk일 때, ψ(x)=ck이다.

3.3 함수 f를 유계닫힌구간 [a,b]에서 유계함수라 하자. f[a,b]에서 리만적분가능하면, 르베그적분가능하며 이 두 값은 서로 같다.


증명: I=[a,b]라 하자. fI에서 리만적분 가능하므로 I에서 φfψ인 계단함수 φψ에 대하여 다음이 성립한다.

supφfbaφ(x)dx=inffψbaψ(x)dx

그런데 계단함수는 단순함수이므로

supφfIφdm=inffψIψdm이고 이는 앞의 리만적분과 일치한다. 따라서 리만적분과 르베그적분은 일치한다. (QED)


르베그적분에서 적분영역이 구간 E=[a,b]일 때, baf(x)dx로 나타내기로 한다. 즉,[a,b]fdm=baf(x)dx

다음 정리는 유계함수가 적분가능할 조건에 대한 정리인데 증명이 복잡해서 일부러 접어두었다. 보고 싶으면 볼 수 있다.

3.4 함수 f가 유한측도집합 E에서 유계함수라 하자. fE에서 적분가능할 필요충분조건은 f가 가측함수인 것이다.



3.5 fg를 유한측도집합 E에서 정의된 유계가측함수라 하자. 그러면 임의의 α,βR에 대하여 다음이 성립한다.


(선형성) E(αf+βg)dm=αEfdm+βEgdm

(단조성) E에서 fg이면, EfdmEgdm


증명:

(선형성): αf+βg는 유계가측함수이므로 E에서 적분가능하다. 먼저 β=0이라 하자.

α>0일 때Eαfdm=infαfψEψdm=αinffψαEψαdm=αEfdm이고 α<0일 때Eαfdm=infαfφEφdm=αsupφαfEφαdm=αEfdm이다. 이제 α=β=1인 경우에 대해서 증명하면 된다.

ψ1ψ2E에서 fψ1,gψ2인 단순함수라 하자. 그러면 ψ1+ψ2는 단순함수이고 E에서 f+gψ1+ψ2이다. E(f+g)dmE(ψ1+ψ2)dm=Eψ1dm+Eψ2dm이고 Efdm=inffψ1Eψ1dm,Egdm=infgψ2Eψ2dm이므로 E(f+g)dminff+gψ1+ψ2E(ψ1+ψ2)dm=Efdm+Egdm이다.

φ1φ2E에서 φ1f,φ2g인 단순함수라 하자. 그러면 φ1+φ2는 단순함수이고 E에서 φ1+φ2f+g이다. E(f+g)dmE(φ1+φ2)dm=Eφ1dm+Eφ2dm이고 Efdm=supφ1fEφ1dm,Egdm=supφ2fEφ2dm이므로E(f+g)dmsupφ1+φ2f+gE(φ1+φ2)dm=Efdm+Egdm이다. 따라서E(f+g)dm=Efdm+Egdm이다.

(단조성): E에서 fg라 하고 h=gf라 하자. 그러면 선형성에 의해EgdmEfdm=E(gf)dm=Ehdm이고 h0이므로 E에서 ψh(ψ=0)이다. 그러면 EhdmEψdm=0이고 따라서 EfdmEgdm이다. (QED)


특성함수 χExE일 때, χE(x)=1이고 xE일 때, χE(x)=0이다. 그렇다면 E가 유한측도집합이고 AE일 때 fχA의 적분은 다음과 같다.EfχAdm=Afdm


구간 [0,1]에서 정의된 디리클레 함수 χ[0,1]Q는 리만적분 가능하지 않으나 르베그적분 가능하고Eχ[0,1]Qdm=[0,1]Q1dm=1×m([0,1]Q)=1×0=0이다.


3.6 함수 f를 유한측도집합 E에서의 유계가측함수라 하자. 집합 AB를 서로소인 E의 부분집합이라 하면ABfdm=Afdm+Bfdm이다.


증명: AB는 서로소인 집합이므로 χAB=χ=0이고 χAB=χA+χB이다. 그러면 fχAB=fχA+fχB이고 따라서ABfdm=EfχABdm=EfχAdm+EfχBdm=Afdm+Bdm이다. (QED)


3.7 함수 f를 유한측도집합 E에서의 유계가측함수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.|Efdm|E|f|dm

증명: 함수 |f|는 유계가측함수이므로 E에서 |f|f|f|이다. 그러면 3.5에 의해E|f|dmEfdmE|f|dm이므로 부등식 |Efdm|E|f|dm이 성립한다. (QED)


3.8 함수열 {fn}을 유한측도집합 E에서 유계가측함수열이라고 하자. {fn}f로 균등수렴하면, limnEfndm=Efdm이다.


증명: fn이 유계이고 균등수렴하므로 극한함수 f는 유계이다. 또한 {fn}은 가측이므로 f도 가측이다.

ϵ>0이라 하고 NN을 선택해서 nN일 때 |ffn|<ϵm(E)+1이라 하자. 3.5와 3.7로부터|EfdmEfndm|=|E(ffn)dm|E|ffn|dm<ϵm(E)+1m(E)<ϵ이므로 따라서 limnEfndm=Efdm이다. (QED)


limnEfndm=Efdm이 리만적분일 때 성립하는 경우는 {fn}f로 균등수렴하는 경우뿐이다. 르베그적분의 경우 균등수렴하는 함수열에 대해서 위 식이 성립함은 당연하며 점별수렴일 때는 적당한 조건을 덧붙여서 위의 식이 성립하게 만들 수 있다.


3.9 (유계수렴정리, Bounded convergence theorem)


함수열 {fn}이 유한측도집합 E에서 가측이고 균등점별유계(uniformly pointwise bounded)라 하자. 즉, M>0이 존재해서 모든 nN에 대하여 E에서 |fn|M. {fn}f로 점별수렴하면, limnEfndm=Efdm이다.


증명: {fn}이 가측이므로 극한함수 f도 가측이다. E에서 |f|M이므로, AE의 가측부분집합, n을 자연수라고 하면, 3.5와 3.7에 의해EfndmEfdm=E(fnf)dm=A(fnf)dm+EAfndm+EAfdm이다. 그러므로 3.7에 의해|EfndmEfdm|A|fnf|dm+2Mm(EA)이다.

ϵ>0이라 하자. m(E)<이고 f는 실함수이므로 에고로프의 정리로부터 E의 가측부분집합 A가 존재해서 A에서 {fn}f로 균등수렴하고 m(EA)<ϵ4M이다. 균등수렴의 정의로부터 NN이 존재해서 nN일 때 |fnf|<ϵ2m(E)+1이다.

그러므로 nN일 때|EfndmEfdm|ϵ2m(E)+1m(A)+2Mm(EA)<ϵ2+ϵ2=ϵ이므로 따라서 {Efndm}Efdm으로 수렴한다. (QED)


참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

http://www.uwyo.edu/bessaih/courses/chap4.5200.pdf

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Posted by skywalker222