[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (1: 단순함수에 대한 르베그적분)

[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (1: 단순함수에 대한 르베그적분)

가측집합 \(E\)에서 정의된 가측실함수 \(\varphi\)가 단순함수(simple function)라는 것은 서로 다른 \(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}\)에 대하여 \(E\)에서$$\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}\,(E_{k}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=a_{k}\})=\varphi^{-1}[\{a_{k}\}]$$이다. \(a_{k}\)들은 서로 다르기 때문에 \(E_{k}\)들은 서로소이다. 그러므로 \(\varphi\)는 표준표현이다.

유한측도집합 \(E\)에서 정의된 단순함수의 표준표현 \(\displaystyle \varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}\)의 르베그적분을 다음과 같이 정의한다.

$$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k})}$$

3.1 \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)들을 서로소인 가측집합, \(\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\)라 하자. 또한 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(a_{k}\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}\)이면, \(\varphi\)의 르베그적분은 다음과 같다.$$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}$$ 증명: \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)들은 서로소인 가측집합이다. 그러나 \(a_{k}\,(1\leq k\leq n)\)들이 서로 다를 필요가 없기 때문에(중복가능성) 위와 같이 정의된 단순함수 \(\varphi\)는 표준표현이 아니다. 함수 \(\varphi\)의 치역을 \(\{\lambda_{1},\,\lambda{2},\,...,\,\lambda_{l}\}\,(l\leq n)\)이라 하자. 그러면 \(\lambda_{i}\,(1\leq i\leq l)\)들은 서로 다른 값이고 \(A_{i}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=\lambda_{i}=\varphi^{-1}[\{\lambda_{i}\}]\}\)라 하면 \(A_{i}\)들은 서로소이다. 단순함수의 표준표현에 대한 르베그적분의 정의에 의해$$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}m(A_{i})}$$이다. \(1\leq i\leq l\)에 대하여 \(I_{i}\)를 \(a_{k}=\lambda_{i}\)인 첨자 \(k\in\{1,\,2,\,...,\,n\}\)들의 집합이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\{1,\,2,\,...,\,n\}=\bigcup_{i=1}^{n}{I_{i}}\)이고 \(I_{i}\)들은 서로소이다. 또한 \(1\leq i\leq l\)에 대하여$$m(A_{i})=\sum_{k\in I_{i}}{m(E_{k})}$$이므로 따라서$$\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}=\sum_{i=1}^{l}{\left(\sum_{k\in I_{i}}{a_{k}m(E_{k})}\right)}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}\left(\sum_{k\in I_{i}}{m(E_{i})}\right)}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}m(A_{i})}=\int_{E}{\varphi dm}$$이다. (QED)

3.1은 표준표현 형태가 아닌 일반적인 단순함수의 적분이 잘 정의됨을 보인 정리이다. 르베그 적분을 정의하기에 앞서 리만적분과 비교를 해보자. "리만적분은 \(x\)축을 분할하고 르베그적분은 \(y\)축을 분할한다"는 말이 있다.

위의 그림에서 파란색 그림은 리만적분의 방법대로 \(x\)축을 분할한 것을 나타내고 빨간색 그림은 르베그적분의 방법대로 \(y\)축을 분할한 것은 나타낸다. 리만적분은 분할점에서의 함숫값과 분할된 길이를 곱한 것들의 합으로 표현되고 르베그적분은 치역의 한 점을 원소로 하는 집합의 역상의 르베그측도값 과 그 한 점의 값을 곱한 것들의 합으로 표현된다. 리만적분의 경우는 고등학교 수학으로도 충분하니 르베그적분에 대해서만 설명하겠다. 치역이 \(\{a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}\}\)이고 정의역이 \(\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\bigcup_{k=1}^{n}{\varphi^{-1}[\{a_{k}\}]}=\bigcup_{k=1}^{n}{\{x\in E\,|\,\varphi(x)=a_{k}\}}\)인 단순함수 \(\varphi\)의 적분은

$$a_{1}m(\varphi^{-1}[\{a_{1}\}])+\cdots+a_{n}m(\varphi^{-1}[\{a_{n}\}])=\int_{E}{\varphi dm}$$이다.

3.2 \(\varphi\)와 \(\psi\)를 유한측도집합 \(E\)에서 정의된 단순함수라 하자. 그러면 임의의 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다. (선형성) \(\displaystyle\int_{E}{(\alpha\varphi+\beta\psi)dm}=\alpha\int_{E}{\varphi dm}+\beta\int_{E}{\psi dm}\) (단조성) \(E\)에서 \(\varphi\leq\psi\)이면, \(\displaystyle\int_{E}{\varphi dm}\leq\int_{E}{\psi dm}\) 증명: \(\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}},\,\psi=\sum_{i=1}^{l}{b_{i}\chi_{F_{i}}}\)라 하자. 여기서 \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\), \(\{F_{i}\}_{i=1}^{l}\)은 서로소인 집합이고 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\bigcup_{i=1}^{l}{F_{i}}=E\)이다. (선형성):$$\alpha\varphi+\beta\psi=\sum_{k,\,i}{(\alpha a_{k}+\beta b_{i})\chi_{E_{k}\cap F_{i}}}$$이므로 3.1에 의해 $$\begin{align*}\int_{E}{(\alpha\varphi+\beta\psi)dm}&=\sum_{k,\,i}{(\alpha a_{k}+\beta b_{i})m(E_{k}\cap F_{i})}=\alpha\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\sum_{i=1}^{l}{m(E_{k}\cap F_{i})}}+\beta\sum_{i=1}^{l}{b_{i}\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k}\cap F_{i})}}\\&=\alpha\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}+\beta\sum_{i=1}^{l}{b_{i}m(F_{i})}=\alpha\int_{E}{\varphi dm}+\beta\int_{E}{\varphi dm}\end{align*}$$ 이다. (단조성): \(E\)에서 \(\eta=\psi-\varphi\)라고 하자. 그러면 선형성에 의해$$\int_{E}{\psi dm}-\int_{E}{\varphi dm}=\int_{E}{(\psi-\varphi)dm}=\int_{E}{\eta dm}\geq0$$이다. (QED)

참고자료

Real analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원