[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (1: 단순함수에 대한 르베그적분)

[르베그적분] 3-1. 유한측도집합상에서 유계함수의 르베그적분 (1: 단순함수에 대한 르베그적분)

가측집합 $E$에서 정의된 가측실함수 $\varphi$가 단순함수(simple function)라는 것은 서로 다른 $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}$에 대하여 $E$에서 $$\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}\,(E_{k}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=a_{k}\})=\varphi^{-1}[\{a_{k}\}]$$ 이다. $a_{k}$들은 서로 다르기 때문에 $E_{k}$들은 서로소이다. 그러므로 $\varphi$는 표준표현이다.

유한측도집합 $E$에서 정의된 단순함수의 표준표현 $\displaystyle \varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}$의 르베그적분을 다음과 같이 정의한다.

$$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k})}$$

3.1 $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$들을 서로소인 가측집합, $\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}$라 하자. 또한 $1\leq k\leq n$에 대하여 $a_{k}\in\mathbb{R}$이라 하자. $\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}$이면, $\varphi$의 르베그적분은 다음과 같다. $$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}$$ 증명: $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$들은 서로소인 가측집합이다. 그러나 $a_{k}\,(1\leq k\leq n)$들이 서로 다를 필요가 없기 때문에(중복가능성) 위와 같이 정의된 단순함수 $\varphi$는 표준표현이 아니다. 함수 $\varphi$의 치역을 $\{\lambda_{1},\,\lambda{2},\,...,\,\lambda_{l}\}\,(l\leq n)$이라 하자. 그러면 $\lambda_{i}\,(1\leq i\leq l)$들은 서로 다른 값이고 $A_{i}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=\lambda_{i}=\varphi^{-1}[\{\lambda_{i}\}]\}$라 하면 $A_{i}$들은 서로소이다. 단순함수의 표준표현에 대한 르베그적분의 정의에 의해 $$\int_{E}{\varphi dm}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}m(A_{i})}$$ 이다. $1\leq i\leq l$에 대하여 $I_{i}$를 $a_{k}=\lambda_{i}$인 첨자 $k\in\{1,\,2,\,...,\,n\}$들의 집합이라 하자. 그러면 $\displaystyle\{1,\,2,\,...,\,n\}=\bigcup_{i=1}^{n}{I_{i}}$이고 $I_{i}$들은 서로소이다. 또한 $1\leq i\leq l$에 대하여 $$m(A_{i})=\sum_{k\in I_{i}}{m(E_{k})}$$ 이므로 따라서 $$\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}=\sum_{i=1}^{l}{\left(\sum_{k\in I_{i}}{a_{k}m(E_{k})}\right)}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}\left(\sum_{k\in I_{i}}{m(E_{i})}\right)}=\sum_{i=1}^{l}{\lambda_{i}m(A_{i})}=\int_{E}{\varphi dm}$$ 이다. (QED)

3.1은 표준표현 형태가 아닌 일반적인 단순함수의 적분이 잘 정의됨을 보인 정리이다. 르베그 적분을 정의하기에 앞서 리만적분과 비교를 해보자. "리만적분은 $x$축을 분할하고 르베그적분은 $y$축을 분할한다"는 말이 있다.

위의 그림에서 파란색 그림은 리만적분의 방법대로 $x$축을 분할한 것을 나타내고 빨간색 그림은 르베그적분의 방법대로 $y$축을 분할한 것은 나타낸다. 리만적분은 분할점에서의 함숫값과 분할된 길이를 곱한 것들의 합으로 표현되고 르베그적분은 치역의 한 점을 원소로 하는 집합의 역상의 르베그측도값 과 그 한 점의 값을 곱한 것들의 합으로 표현된다. 리만적분의 경우는 고등학교 수학으로도 충분하니 르베그적분에 대해서만 설명하겠다. 치역이 $\{a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}\}$이고 정의역이 $\displaystyle E=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\bigcup_{k=1}^{n}{\varphi^{-1}[\{a_{k}\}]}=\bigcup_{k=1}^{n}{\{x\in E\,|\,\varphi(x)=a_{k}\}}$인 단순함수 $\varphi$의 적분은

$$a_{1}m(\varphi^{-1}[\{a_{1}\}])+\cdots+a_{n}m(\varphi^{-1}[\{a_{n}\}])=\int_{E}{\varphi dm}$$ 이다.

3.2 $\varphi$와 $\psi$를 유한측도집합 $E$에서 정의된 단순함수라 하자. 그러면 임의의 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다. (선형성) $\displaystyle\int_{E}{(\alpha\varphi+\beta\psi)dm}=\alpha\int_{E}{\varphi dm}+\beta\int_{E}{\psi dm}$ (단조성) $E$에서 $\varphi\leq\psi$이면, $\displaystyle\int_{E}{\varphi dm}\leq\int_{E}{\psi dm}$ 증명: $\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{i}\chi_{E_{i}}},\,\psi=\sum_{i=1}^{l}{b_{i}\chi_{F_{i}}}$라 하자. 여기서 $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$, $\{F_{i}\}_{i=1}^{l}$은 서로소인 집합이고 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\bigcup_{i=1}^{l}{F_{i}}=E$이다. (선형성): $$\alpha\varphi+\beta\psi=\sum_{k,\,i}{(\alpha a_{k}+\beta b_{i})\chi_{E_{k}\cap F_{i}}}$$ 이므로 3.1에 의해 $$\begin{align*}\int_{E}{(\alpha\varphi+\beta\psi)dm}&=\sum_{k,\,i}{(\alpha a_{k}+\beta b_{i})m(E_{k}\cap F_{i})}=\alpha\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\sum_{i=1}^{l}{m(E_{k}\cap F_{i})}}+\beta\sum_{i=1}^{l}{b_{i}\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k}\cap F_{i})}}\\&=\alpha\sum_{k=1}^{n}{a_{k}m(E_{k})}+\beta\sum_{i=1}^{l}{b_{i}m(F_{i})}=\alpha\int_{E}{\varphi dm}+\beta\int_{E}{\varphi dm}\end{align*}$$ 이다. (단조성): $E$에서 $\eta=\psi-\varphi$라고 하자. 그러면 선형성에 의해 $$\int_{E}{\psi dm}-\int_{E}{\varphi dm}=\int_{E}{(\psi-\varphi)dm}=\int_{E}{\eta dm}\geq0$$ 이다. (QED)

참고자료

Real analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원