[르베그적분] 2-3. 리틀우드의 세 가지 원리: 에고로프정리, 루진정리

[르베그적분] 2-3. 리틀우드의 세 가지 원리: 에고로프정리, 루진정리

리틀우드의 세 가지 원리(Littlewood's three principles)에 따르면 가측집합과 가측함수는 다음의 세 가지 성질을 만족한다고 한다.

1. 모든 가측집합은 거의(nearly) 서로소인 유한개의 구간들의 합집합이다(1.15). 이는 \(E\)가 가측집합일 때, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 서로소인 유한개의 열린구간들의 합집합 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)가 존재해서$$m(E-\mathcal{O})+m(\mathcal{O}-E)<\epsilon$$이므로 \(E\)는 거의 \(\mathcal{O}\)와 같다는 것과 같다. 이는 열린집합을 유한개의 합집합으로 나타낼 수 있다는 사실과 외측도의 근사(1.15)로부터 도출된 결론이다.

2. 가측함수는 거의(nearly) 연속함수이다.(루진 정리)

3. 수렴하는 모든 가측함수열은 거의(nearly) 균등수렴(uniformly convergence)한다.(에고로프 정리)

1은 이미 증명되었기 때문에 2와 3에 대해 다루고자 한다.

2.11 \(E\)를 유한측도를 갖는 집합이라 하고 \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 실함수 \(f\)로 점별수렴하는 가측함수열이라 하자. 임의의 \(\eta>0\)과 \(\delta>0\)에 대하여 가측집합 \(A\subset E\)와 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(|f_{n}-f|<\eta\)이고 \(m(E-A)<\delta\)이다. 증명: 모든 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(|f-f_{k}|\)는 정의되고 \(f\)는 가측실가함수이기 때문에(2.8) 집합 \(\{x\in E\,|\,|f(x)-f_{k}(x)|<\eta\}\)는 가측집합이다. 그러므로 모든 \(k\geq n\)에 대하여 집합$$E_{n}=\{x\in E\,|\,|f(x)-f_{k}(x)|<\eta\}$$는 가측집합이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{n}\subset E_{n+1}\)가 성립하며 \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이다. \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하고$$m(E)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}<\infty$$이므로 적당한 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택하여 \(m(E_{N})>m(E)-\delta\,(m(E)-m(E_{N})<\delta)\)가 되게 할 수 있다. \(A=E_{N}\)이라 하면 \(E_{N}=A\subset E\)이므로 \(m(E-A)=m(E)-m(E_{N})<\delta\)이다. (QED)

2.11을 이용하여 다음의 에고로프 정리를 증명할 수 있다.

2.12 (에고로프 정리, Egoroff's theorem) \(E\)를 유한측도를 갖는 집합이라 하고 \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 실함수 \(f\)로 점별수렴하는 가측함수열이라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 닫힌집합 \(F\subset E\)가 존재해서 \(\{f_{n}\}\)이 \(F\)에서 \(f\)로 균등수렴하고 \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 2.11의 \(A\)를 \(A_{n}\), \(N\)을 \(N(n)\), \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\), \(\displaystyle\eta=\frac{1}{n}\)이라 하자. 즉, $$m(E-A_{n})<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$$이고 모든 \(k\geq N(n)\)에 대하여 \(A_{n}\)에서$$|f_{k}-f|<\frac{1}{n}$$이라 하자. \(\displaystyle A=\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)이라고 하면 드 모르간 법칙에 의해$$m(E-A)=m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{(E-A_{n})}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E-A_{n})}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\epsilon}{2^{n+1}}}$$이다. 이제 \(\{f_{n}\}\)이 \(A\)에서 \(f\)로 균등수렴함을 보이려 한다. Archimedian 정리(1.8)를 이용하여 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(\displaystyle\frac{1}{n_{0}}<\epsilon\)가 되게 하자. 그러면 모든 \(k\geq N(n_{0})\)에 대하여 \(A\subset A_{n_{0}},\,\displaystyle\frac{1}{n_{0}}<\epsilon\)이므로 \(A\)에서 \(\displaystyle|f_{k}-f|<\frac{1}{n_{0}}<\epsilon\)이다. 따라서 \(\{f_{n}\}\)은 \(A\)에서 \(f\)로 균등수렴하고 \(\displaystyle m(E-A)<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(A\)는 가측집합이므로 1.13의 (iii)에 의해 닫힌집합 \(F\subset A\)를 선택해서 \(\displaystyle m(A-F)<\frac{\epsilon}{2}\)가 되게 할 수 있다. 따라서 \(m(E-F)<\epsilon\)이고 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 균등수렴한다. (QED)

2.13 \(f\)를 \(E\)에서 단순함수라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\mathbb{R}\)에서 연속인 함수 \(g\)와 닫힌집합 \(F\subset E\)가 존재해서 \(F\)에서 \(f=g\)이고 \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 증명: \(f\)는 단순함수이므로 서로 다른 \(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}\)에 대하여 \(\displaystyle f=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}}\,(E_{k}=\{x\in E\,|\,f(x)=a_{k}\}=f^{-1}[\{a_{n}\}])\)이다. 1.13에 의해 각각의 \(k(1\leq k\leq n)\)에 대하여 닫힌집합 \(F_{k}\)가 존재해서 \(F_{k}\subset E_{k}\)이고 \(\displaystyle m(E_{k}-F_{k})<\frac{\epsilon}{n}\)이다. \(\displaystyle F=\bigcup_{k=1}^{n}{F_{k}}\)라 하자. \(F\)는 닫힌집합이고 \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)는 서로소이므로 $$m(E-F)=m\left(\bigcup_{k=1}^{n}{(E_{k}-F_{k})}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k}-F_{k})}<\epsilon$$이다. \(\displaystyle g=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{F_{i}}}\,&(x\in F)\\ l(x)\,&(x\notin F)\end{cases}\)라 하자. 여기서 \(l(x)\)는 \(F_{k}\)와 \(F_{k+1}\)사이를 잇는 직선함수들의 합이다. 그러면 \(g\)는 \(F\)에서 연속이고 \(f=g\)이다. (QED)

2.13을 이용하여 다음의 루진정리를 증명할 수 있다.

2.14 (루진 정리, Lusin's theorem) \(f\)를 \(E\)에서의 가측실함수라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\mathbb{R}\)에서 연속인 함수 \(g\)와 닫힌집합 \(F\subset E\)가 존재해서 \(F\)에서 \(f=g\)이고 \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 증명: (i) \(m(E)<\infty\)일 때 2.10에 의해 단순함수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하고 2.13에 의해 실수 \(\mathbb{R}\)상의 연속함수 \(g_{n}:\,F_{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)과 닫힌집합 \(F_{n}\)이 존재해서 \(F_{n}\)에서 \(f_{n}=g_{n}\)이고 \(\displaystyle m(E-F_{n})<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\)이다. 에고로프 정리로부터 닫힌집합 \(F_{0}\subset E\)가 존재해서 \(\{f_{n}\}\)이 \(F_{0}\)에서 \(f\)로 균등수렴하고 \(\displaystyle m(E-F_{0})<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\displaystyle F=\bigcap_{n=0}^{\infty}{F_{n}}\)이라 하자. \(F\)는 닫힌집합이고 $$m(E-F)=m\left((E-F_{0})\cup\bigcup_{n=1}^{\infty}{(E-F_{n})}\right)<\frac{\epsilon}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\epsilon}{2^{n+1}}}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. \(f_{n}\)이 \(F_{n}\)에서 연속이기 때문에 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}\)은 \(F\)에서 연속이다. 또한 \(\{f_{n}\}\)이 \(F_{0}\)에서 \(f\)로 균등수렴하기 때문에 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)에서 균등수렴한다. 따라서 \(f\)는 \(F\)에서 연속이다. \(F_{n}\)에서 \(g_{n}=f_{n}\)이므로 \(g\)를 \(F\)에서 \(g=f\), 그 이외의 경우는 \(g\)가 연속함수가 되도록 하는 직선함수라고 한다. 그러면 \(g\)는 연속함수이고 \(g|_{F}=f\)이다. (ii) \(m(E)=\infty\)일 때, 모든 \(n\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(E_{n}=E\cap[n,\,n+1)\)이라 하자. (i)에 의해 연속함수 \(g_{n}:\,F_{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)과 닫힌집합 \(F_{n}\subset E_{n}\)이 존재해서 \(F_{n}\)에서 \(f=g_{n}\) \(\displaystyle m(E_{n}-F_{n})<\frac{\epsilon}{2^{|n|+1}}\)이다. \(\displaystyle F=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}{F_{n}},\,g=\sum_{n\in\mathbb{Z}}{g_{n}\chi_{F_{n}}}\)이라 하자. 그러면 \(g\)는 \(F\)에서 연속이고 \(F\)가 닫힌집합임을 보이면 \(x\in E\)로 수렴하는 수열 \(\{x_{n}\}\subset F\)에 대하여 적당한 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(x\in E_{k}\)이므로 충분히 큰 자연수 \(N\)을 선택해서 \(\{x_{k}\}_{k\geq N}\subset F_{k-1}\cup F_{k}\)가 되게 할 수 있고 따라서 \(x\in F_{k-1}\cup F_{k}\)이다. \(F\)는 닫힌집합이고 \(F^{c}\)에서 \(g\)를 연속함수가 되게 하는 직선함수라 하면 \(F\)에서 \(f=g\)이고$$m(E-F)=m\left(\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}{(E_{n}-F_{n})}\right)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}{m(E_{n}-F_{n})}<\epsilon$$이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson