[르베그적분] 1-7. 칸토어 집합과 칸토어-르베그 함수

[르베그적분] 1-7. 칸토어 집합과 칸토어-르베그 함수

가산무한집합의 측도는 0이다. 그렇다면 다음의 질문이 항상 참일까?

측도가 0인 집합은 가산무한집합이다.

답은 '아니다'이다. 칸토어 집합을 사용해서 이를 보일 수 있다.

유계닫힌구간 \(I=[0,\,1]\)을 3등분 한 다음 가운데에 해당되는 구간 \(\displaystyle\left(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)\)을 제거한다. 그 다음에 남아있는 구간인 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]\)에 대해서도 구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\)과 \(\displaystyle\left[\frac{2}{3},\,1\right]\)에 대해서도 그 이전에처럼 3등분 한 다음 가운데 부분을 제거한다.

3등분한 후 가운데 부분을 제거하는 시행의 횟수를 \(n\)이라 하고 이에 따른 시행의 결과를 \(\{C_{n}\}\)이라고 하면,$$C_{1}=\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right],\,C_{2}=\left[0,\,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\,1\right]$$이다. 이렇게 얻어진 집합 \(\{C_{n}\}\)에 대하여 다음의 집합$$\mathbf{C}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}$$을 칸토어 집합(Cantor set)이라고 한다.

\(\{C_{n}\}\)은 다음 성질들을 만족한다.

(1) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(C_{n}\)은 닫힌집합이고 \(C_{n+1}\subset C_{n}\)

(2) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(C_{n}\)은 \(2^{n}\)개의 서로소인 닫힌구간들의 합집합이고 각 구간의 길이는 \(\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\)이다.

1.22 칸토어집합 \(\mathbf{C}\)는 닫힌집합이고 측도가 \(0\)인 비가산집합이다. 증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(C_{n}\)은 닫힌집합이고, 닫힌집합의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 \(\mathbf{C}\)는 닫힌집합이고 가측집합이다. \(\{C_{n}\}\)의 성질 (2)에 의해 \(\displaystyle m(C_{n})=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)이고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\mathbf{C}\subset C_{n}\)이므로 \(\displaystyle m(\mathbf{C})\leq m(C_{n})=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)이고 따라서 \(m(\mathbf{C})=0\)이다. 마지막으로 \(\mathbf{C}\)가 비가산집합임을 보이면 된다. \(\mathbf{C}\)를 가산집합이라 하고 \(\mathbf{C}=\{c_{n}\}\)이라 하자. \(C_{1}\)을 구성하는 두 서로소인 구간 중 하나는 점 \(c_{1}\)을 포함하지 않는다. 이러한 구간을 \(F_{1}\)이라 하자. 또한 \(F_{1}\)을 구성하는 두 서로소인 구간 중 하나는 점 \(c_{2}\)를 포함하지 않는다. 이러한 구간을 \(F_{2}\)이라 하자. 이 과정을 반복함으로써 \(\{F_{n}\}\)을 얻고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(F_{n}\)은 다음의 성질들을 만족한다. (i) \(F_{n}\)은 닫힌집합이고 \(F_{n+1}\subset F_{n}\) (ii) \(F_{n}\subset C_{n}\) (iii) \(c_{n}\notin F_{n}\) (i)과 축소구간성질에 의해 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\neq\emptyset\)이다. \(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\)이라 하자. (ii)에 의해 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\subset\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}=\mathbf{C}\)이므로 \(x\in\mathbf{C}\)이다. 그러나 \(\mathbf{C}=\{c_{n}\}\)이므로 어떤 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(x=c_{n}\)이고 \(c_{n}=x\in\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\subset F_{n}\)이 되는데 이는 성질 (iii)에 모순이다. 따라서 \(\mathbf{C}\)는 비가산집합이다. (QED)

실수 집합에서 정의된 실함수 \(f\)가 증가(increasing)한다는 것은 \(u\leq v\)일 때 \(f(u)\leq f(v)\)가 성립하는 것이고 순증가(strictly increasing)한다는 것은 \(u<v\)일 때 \(f(u)<f(v)\)가 성립하는 것이다.

칸토어 집합을 건설하는 과정에서 제거되는 것은 열린구간들이다. \(n\)번째 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합을 \(\mathcal{O}_{n}\)이라 하자. 그러면 \(C_{n}=[0,\,1]-\mathcal{O}_{n}\)이다. \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}\)이라 하면 드 모르간 법칙에 의해 \(\mathbf{C}=[0,\,1]-\mathcal{O}\)이다.

고정된 자연수 \(n\)에 대하여 증가함수 \(\varphi\)를 \(\mathcal{O}_{n}\)에서 정의하는데 \(2^{n}-1\)개의 구간에서 상수함수로 두고 그 값을 순서대로$$\left\{\frac{1}{2^{n}},\,\frac{2}{2^{n}},\,\frac{3}{2^{n}},\,....,\,\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\right\}$$이라 하자. 예를 들어 \(n=2\)일 때$$\varphi(x)=\begin{cases}\frac{1}{4}\,&x\in\left(\frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\right)\\ \frac{2}{4}\,&x\in\left(\frac{3}{9},\,\frac{6}{9}\right)\\ \frac{3}{4}\,&x\in\left(\frac{7}{9},\,\frac{8}{9}\right)\end{cases}$$이다.

함수 \(\varphi\)를 구간 \([0,\,1]\)전체로 확장해서 다음과 같이 정의한다.$$\varphi(0)=0,\,\varphi(x)=\sup_{t\in\mathcal{O}\cap[0,\,x)}{\varphi(t)},\,(x\in\mathbf{C}-\{0\})$$이 함수를 칸토어-르베그 함수(Cantor-Lebesgue function)라고 한다.

1.23 칸토어-르베그 함수 \(\varphi\)는 증가하는 연속함수이고 \([0,\,1]\)에서 \([0,\,1]\)로의 함수이다. 또한 \(\varphi\)의 도함수 \(\varphi'\)는 \(\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C}\)에서 존재하고 \(\varphi'=0\), \(m(\mathcal{O})=1\)이다. 증명: \(\varphi\)는 \(\mathcal{O}\)에서 증가하므로 \([0,\,1]\)에서도 증가한다. \(\varphi\)는 \(\mathcal{O}\)의 각 점들에서 연속인데 이 점들은 \(\varphi\)가 상수가 되는 열린구간에 포함되기 때문이다. \(x_{0}\in\mathbf{C}-\{0,\,1\}\)이라 하면 \(x\notin\mathcal{O}\)이다. 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\mathcal{O_{n}}\)의 구간 중에서 \(x_{0}\) 양 옆에 있는 구간 중에서 왼쪽 구간의 최대하계를 \(a_{n}\), 오른쪽 구간의 최소상계를 \(b_{n}\)이라 하자. 그러면$$a_{n}<x_{0}<b_{n},\,\varphi(b_{n})-\varphi(a_{n})=\frac{1}{2^{n}}$$이고 \(n\)은 임의의 자연수이므로 \(\varphi\)는 \(x_{0}\)에서 점프불연속점이 아니다. 증가함수에서 불연속이 되는 경우는 점프불연속 뿐이므로 \(\varphi\)는 \(x_{0}\)에서 연속이고 \(x_{0}=0,\,1\)인 경우에도 위와 같은 방법으로 연속이 된다. \(\varphi\)는 \(\mathcal{O}\)에서 상수함수이므로 \(\mathcal{O}\)에서 \(\varphi'=0\)이다. \(\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C},\,m(\mathbf{C})=0\)이므로 \(m(\mathcal{O})=1\)이고 \(\varphi(0)=0,\,\varphi(1)=1\), \(\varphi\)는 증가하는 연속함수이므로 중간값정리로부터 \(\varphi\)가 \([0,\,1]\)을 \([0,\,1]\)로 대응함을 알 수 있다. (QED)

1.24 \(\varphi\)를 칸토어-르베그 함수라 하고 \([0,\,1]\)에서 함수 \(\psi\)를$$\psi(x)=\varphi(x)+x,\,x\in[0,\,1]$$이라 하자. 그러면 \(\psi\)는 순증가하는 연속함수이고 \([0,\,1]\)에서 \([0,\,2]\)로의 함수이고 다음의 성질들을 만족한다. (i) 칸토어 집합 \(\mathbf{C}\)를 양의 측도값을 갖는 가측집합으로 대응시킨다. (ii) 칸토어 집합의 가측부분집합을 비가측집합으로 대응시킨다. 증명: \(x\)와 \(\varphi\)는 연속함수이고 순증가 하므로 \(\psi\)는 연속함수이고 순증가한다. 게다가 \(\psi(0)=0,\,\psi(1)=2\)이므로 \(\psi[[0,\,1]]=[0,\,2]\)이다. \(\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C},\,\mathcal{O}\cap\mathbf{C}=\emptyset\)이므로 \([0,\,1]=\mathcal{O}\cup\mathbf{C}\)이고 \([0,\,2]=\psi[\mathcal{O}]\cup\psi[\mathbf{C}]\)이다. 이때 \(\psi[\mathcal{O}]\cap\psi[\mathbf{C}]=\emptyset\)이다. 한 구간에서 정의된 순증가 연속함수는 연속인 역함수를 가지므로 \(\psi[\mathbf{C}]\)는 닫힌집합, \(\psi[\mathcal{O}]\)는 열린집합이고 이 두 집합은 가측집합이다. 이제 \(m(\psi[\mathcal{O}])=1\)임을 보여서 \(m(\psi[\mathbf{C}])=1\)과 (i)이 성립함을 보이자. \(\{I_{n}\}\)을 칸토르 집합의 건설과정에서 제거된 구간들이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이고 \(\varphi\)는 \(I_{n}\)에서 상수함수이므로 \(\psi\)는 \(I_{n}\)을 \(I_{n}\)의 평행이동된 구간으로 대응하고 이 두 구간의 길이는 같다. \(\psi\)는 전단사이므로 \(\{\psi[I_{n}]\}\)은 서로소인 집합들로 이루어져 있다. \(m(\mathbf{C})=0\)이므로 $$m(\psi[\mathcal{O}])=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(\psi[I_{n}])}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}=m(\mathcal{O})=1$$이고 \(m(\psi[\mathbf{C}])=1\)이다. 그러므로 (i)이 증명되었다. \(m(\psi[\mathbf{C}])=1\)이므로 비가측집합 \(W\subset\psi[\mathbf{C}]\)가 존재한다. \(\psi^{-1}[W]\subset\mathbf{C},\,m(\mathbf{C})=0\)이므로 \(m(\psi^{-1}[W])=0\)이고 따라서 \(\psi^{-1}[W]\)는 가측집합이다. \(\psi\)는 가측집합 \(\psi^{-1}[W]\)를 비가측집합 \(W\)로 대응시키므로 (ii)도 증명되었다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson