[르베그적분] 1-7. 칸토어 집합과 칸토어-르베그 함수

[르베그적분] 1-7. 칸토어 집합과 칸토어-르베그 함수

가산무한집합의 측도는 0이다. 그렇다면 다음의 질문이 항상 참일까?

측도가 0인 집합은 가산무한집합이다.

답은 '아니다'이다. 칸토어 집합을 사용해서 이를 보일 수 있다.

유계닫힌구간 $I=[0,\,1]$을 3등분 한 다음 가운데에 해당되는 구간 $\displaystyle\left(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)$을 제거한다. 그 다음에 남아있는 구간인 $\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right]$에 대해서도 구간 $\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{3}\right]$과 $\displaystyle\left[\frac{2}{3},\,1\right]$에 대해서도 그 이전에처럼 3등분 한 다음 가운데 부분을 제거한다.

3등분한 후 가운데 부분을 제거하는 시행의 횟수를 $n$이라 하고 이에 따른 시행의 결과를 $\{C_{n}\}$이라고 하면, $$C_{1}=\left[0,\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,1\right],\,C_{2}=\left[0,\,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\,\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\,1\right]$$ 이다. 이렇게 얻어진 집합 $\{C_{n}\}$에 대하여 다음의 집합 $$\mathbf{C}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}$$ 을 칸토어 집합(Cantor set)이라고 한다.

$\{C_{n}\}$은 다음 성질들을 만족한다.

(1) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $C_{n}$은 닫힌집합이고 $C_{n+1}\subset C_{n}$

(2) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $C_{n}$은 $2^{n}$개의 서로소인 닫힌구간들의 합집합이고 각 구간의 길이는 $\displaystyle\frac{1}{3^{n}}$이다.

1.22 칸토어집합 $\mathbf{C}$는 닫힌집합이고 측도가 $0$인 비가산집합이다. 증명: 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $C_{n}$은 닫힌집합이고, 닫힌집합의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 $\mathbf{C}$는 닫힌집합이고 가측집합이다. $\{C_{n}\}$의 성질 (2)에 의해 $\displaystyle m(C_{n})=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$이고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\mathbf{C}\subset C_{n}$이므로 $\displaystyle m(\mathbf{C})\leq m(C_{n})=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$이고 따라서 $m(\mathbf{C})=0$이다. 마지막으로 $\mathbf{C}$가 비가산집합임을 보이면 된다. $\mathbf{C}$를 가산집합이라 하고 $\mathbf{C}=\{c_{n}\}$이라 하자. $C_{1}$을 구성하는 두 서로소인 구간 중 하나는 점 $c_{1}$을 포함하지 않는다. 이러한 구간을 $F_{1}$이라 하자. 또한 $F_{1}$을 구성하는 두 서로소인 구간 중 하나는 점 $c_{2}$를 포함하지 않는다. 이러한 구간을 $F_{2}$이라 하자. 이 과정을 반복함으로써 $\{F_{n}\}$을 얻고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $F_{n}$은 다음의 성질들을 만족한다. (i) $F_{n}$은 닫힌집합이고 $F_{n+1}\subset F_{n}$ (ii) $F_{n}\subset C_{n}$ (iii) $c_{n}\notin F_{n}$ (i)과 축소구간성질에 의해 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\neq\emptyset$이다. $\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}$이라 하자. (ii)에 의해 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\subset\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{n}}=\mathbf{C}$이므로 $x\in\mathbf{C}$이다. 그러나 $\mathbf{C}=\{c_{n}\}$이므로 어떤 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $x=c_{n}$이고 $c_{n}=x\in\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\subset F_{n}$이 되는데 이는 성질 (iii)에 모순이다. 따라서 $\mathbf{C}$는 비가산집합이다. (QED)

실수 집합에서 정의된 실함수 $f$가 증가(increasing)한다는 것은 $u\leq v$일 때 $f(u)\leq f(v)$가 성립하는 것이고 순증가(strictly increasing)한다는 것은 $u<v$일 때 $f(u)<f(v)$가 성립하는 것이다.

칸토어 집합을 건설하는 과정에서 제거되는 것은 열린구간들이다. $n$번째 단계에서 제거된 열린구간들의 합집합을 $\mathcal{O}_{n}$이라 하자. 그러면 $C_{n}=[0,\,1]-\mathcal{O}_{n}$이다. $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}$이라 하면 드 모르간 법칙에 의해 $\mathbf{C}=[0,\,1]-\mathcal{O}$이다.

고정된 자연수 $n$에 대하여 증가함수 $\varphi$를 $\mathcal{O}_{n}$에서 정의하는데 $2^{n}-1$개의 구간에서 상수함수로 두고 그 값을 순서대로 $$\left\{\frac{1}{2^{n}},\,\frac{2}{2^{n}},\,\frac{3}{2^{n}},\,....,\,\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\right\}$$ 이라 하자. 예를 들어 $n=2$일 때 $$\varphi(x)=\begin{cases}\frac{1}{4}\,&x\in\left(\frac{1}{9},\,\frac{2}{9}\right)\\ \frac{2}{4}\,&x\in\left(\frac{3}{9},\,\frac{6}{9}\right)\\ \frac{3}{4}\,&x\in\left(\frac{7}{9},\,\frac{8}{9}\right)\end{cases}$$ 이다.

함수 $\varphi$를 구간 $[0,\,1]$전체로 확장해서 다음과 같이 정의한다. $$\varphi(0)=0,\,\varphi(x)=\sup_{t\in\mathcal{O}\cap[0,\,x)}{\varphi(t)},\,(x\in\mathbf{C}-\{0\})$$ 이 함수를 칸토어-르베그 함수(Cantor-Lebesgue function)라고 한다.

1.23 칸토어-르베그 함수 $\varphi$는 증가하는 연속함수이고 $[0,\,1]$에서 $[0,\,1]$로의 함수이다. 또한 $\varphi$의 도함수 $\varphi'$는 $\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C}$에서 존재하고 $\varphi'=0$, $m(\mathcal{O})=1$이다. 증명: $\varphi$는 $\mathcal{O}$에서 증가하므로 $[0,\,1]$에서도 증가한다. $\varphi$는 $\mathcal{O}$의 각 점들에서 연속인데 이 점들은 $\varphi$가 상수가 되는 열린구간에 포함되기 때문이다. $x_{0}\in\mathbf{C}-\{0,\,1\}$이라 하면 $x\notin\mathcal{O}$이다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\mathcal{O_{n}}$의 구간 중에서 $x_{0}$ 양 옆에 있는 구간 중에서 왼쪽 구간의 최대하계를 $a_{n}$, 오른쪽 구간의 최소상계를 $b_{n}$이라 하자. 그러면 $$a_{n}<x_{0}<b_{n},\,\varphi(b_{n})-\varphi(a_{n})=\frac{1}{2^{n}}$$ 이고 $n$은 임의의 자연수이므로 $\varphi$는 $x_{0}$에서 점프불연속점이 아니다. 증가함수에서 불연속이 되는 경우는 점프불연속 뿐이므로 $\varphi$는 $x_{0}$에서 연속이고 $x_{0}=0,\,1$인 경우에도 위와 같은 방법으로 연속이 된다. $\varphi$는 $\mathcal{O}$에서 상수함수이므로 $\mathcal{O}$에서 $\varphi'=0$이다. $\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C},\,m(\mathbf{C})=0$이므로 $m(\mathcal{O})=1$이고 $\varphi(0)=0,\,\varphi(1)=1$, $\varphi$는 증가하는 연속함수이므로 중간값정리로부터 $\varphi$가 $[0,\,1]$을 $[0,\,1]$로 대응함을 알 수 있다. (QED)

1.24 $\varphi$를 칸토어-르베그 함수라 하고 $[0,\,1]$에서 함수 $\psi$를 $$\psi(x)=\varphi(x)+x,\,x\in[0,\,1]$$ 이라 하자. 그러면 $\psi$는 순증가하는 연속함수이고 $[0,\,1]$에서 $[0,\,2]$로의 함수이고 다음의 성질들을 만족한다. (i) 칸토어 집합 $\mathbf{C}$를 양의 측도값을 갖는 가측집합으로 대응시킨다. (ii) 칸토어 집합의 가측부분집합을 비가측집합으로 대응시킨다. 증명: $x$와 $\varphi$는 연속함수이고 순증가 하므로 $\psi$는 연속함수이고 순증가한다. 게다가 $\psi(0)=0,\,\psi(1)=2$이므로 $\psi[[0,\,1]]=[0,\,2]$이다. $\mathcal{O}=[0,\,1]-\mathbf{C},\,\mathcal{O}\cap\mathbf{C}=\emptyset$이므로 $[0,\,1]=\mathcal{O}\cup\mathbf{C}$이고 $[0,\,2]=\psi[\mathcal{O}]\cup\psi[\mathbf{C}]$이다. 이때 $\psi[\mathcal{O}]\cap\psi[\mathbf{C}]=\emptyset$이다. 한 구간에서 정의된 순증가 연속함수는 연속인 역함수를 가지므로 $\psi[\mathbf{C}]$는 닫힌집합, $\psi[\mathcal{O}]$는 열린집합이고 이 두 집합은 가측집합이다. 이제 $m(\psi[\mathcal{O}])=1$임을 보여서 $m(\psi[\mathbf{C}])=1$과 (i)이 성립함을 보이자. $\{I_{n}\}$을 칸토르 집합의 건설과정에서 제거된 구간들이라 하자. 그러면 $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이고 $\varphi$는 $I_{n}$에서 상수함수이므로 $\psi$는 $I_{n}$을 $I_{n}$의 평행이동된 구간으로 대응하고 이 두 구간의 길이는 같다. $\psi$는 전단사이므로 $\{\psi[I_{n}]\}$은 서로소인 집합들로 이루어져 있다. $m(\mathbf{C})=0$이므로 $$m(\psi[\mathcal{O}])=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(\psi[I_{n}])}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}=m(\mathcal{O})=1$$ 이고 $m(\psi[\mathbf{C}])=1$이다. 그러므로 (i)이 증명되었다. $m(\psi[\mathbf{C}])=1$이므로 비가측집합 $W\subset\psi[\mathbf{C}]$가 존재한다. $\psi^{-1}[W]\subset\mathbf{C},\,m(\mathbf{C})=0$이므로 $m(\psi^{-1}[W])=0$이고 따라서 $\psi^{-1}[W]$는 가측집합이다. $\psi$는 가측집합 $\psi^{-1}[W]$를 비가측집합 $W$로 대응시키므로 (ii)도 증명되었다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson