[르베그적분] 2-2. 점별수렴

[르베그적분] 2-2. 점별수렴

정의역이 공통으로 \(E\)인 함수열 \(\{f_{n}\}\)과 \(E\)에서의 함수 \(f\)에 대하여 "함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 수렴한다"이 문장의 의미는 여러가지이다.

(1) 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(A\)에서 \(f\)로 점별수렴(pointwise convergence)한다는 것은 모든 \(x\in A\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)\)인 것이다.

(2) 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(A\)에서 거의 어디서나 \(f\)로 점별수렴(pointwise convergence a.e.)한다는 것은 집합 \(A-B\)에서 \(f\)로 점별수렴함을 뜻하고 이때 \(m(B)=0\)이다.

(3) 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(A\)에서 \(f\)로 균등수렴(uniformly convergence)한다는 것은 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(A\)에서 \(|f-f_{n}|<\epsilon\)인 것이다.

이때 연속함수열의 점별수렴 극한함수는 연속함수가 아닐 수 있다. (예: 구간 \([0,\,1]\)에서 \(f_{n}(x)=x^{n}\))

2.8 \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)의 거의 어디서나 \(f\)로 점별수렴하는 가측함수열이라 하자. 그러면 \(f\)는 가측함수이다. 증명: \(E_{0}\subset E,\,m(E_{0})=0\)이라 하고 \(\{f_{n}\}\)이 \(E-E_{0}\)에서 \(f\)로 점별수렴한다고 하자. \(m(E_{0})=0\)이므로 2.4에 의해 \(f\)가 가측일 필요충분조건은 \(f|_{E-E_{0}}\)가 가측인 것이다. \(E\)를 \(E-E_{0}\)로 바꿀수 있으므로 이 함수열이 \(E\) 전체에서 \(f\)로 점별수렴한다고 가정할 수 있다.  \(c\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(\{x\in E\,|\,f(x)<c\}\)가 가측집합임을 보여야 한다. 점 \(x\in E\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)\)이므로, \(f(x)<c\)일 필요충분조건은 \(n,\,k\in\mathbb{N}\)가 존재해서 모든 \(j\geq k\)에 대하여 \(\displaystyle f_{i}(x)<c-\frac{1}{n}\)인 것이다. 그러나 임의의 \(n,\,i\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{i}\)는 가측함수이기 때문에 \(\displaystyle\{x\in E\,|\,f_{i}(x)<c-\frac{1}{n}\}\)은 가측집합이다. 그러므로 임의의 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 $$\bigcap_{i=k}^{\infty}{\{x\in E\,|\,f_{i}(x)<c-\frac{1}{n}\}}$$은 가측집합이다. 따라서$$\{x\in E\,|\,f(x)<c\}=\bigcup_{1\leq k,\,n<\infty}{\left[\bigcap_{i=k}^{\infty}{\left\{x\in E\,|\,f_{i}(x)<c-\frac{1}{n}\right\}}\right]}$$은 가측집합이다. (QED)

2.9 정의역이 공통으로 \(E\)인 가측함수열 \(\{f_{n}\}\) 에 대하여 다음 함수들도 가측함수이다. $$\inf_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}},\,\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{f_{n}}}$$ 증명: 임의의 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 $$\{x\in E\,|\,\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}>c\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\{x\in E\,|\,f_{n}(x)>c\}}$$이므로 \(\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}\)은 가측함수이다. 이때 \(\displaystyle\inf_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}}=-\sup_{n\in\mathbb{N}}{(-f_{n})}\)이므로 2.5에 의해 가측함수이다. 또한$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\inf_{k\geq n}{f_{k}}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{f_{n}}}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{\sup_{k\geq n}{f_{k}}}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{f_{n}}}\)도 가측함수이다. (QED)

임의의 집합 \(A\)에 대하여 \(A\)의 특성함수(characteristic function) \(\chi_{A}\)를 다음과 같이 정의한다.

$$\chi_{A}(x)=\begin{cases}1,\,&x\in A\\0,\,&x\notin A\end{cases}$$

함수 \(\chi_{A}\)가 가측일 필요충분조건은 집합 \(A\)가 가측인 것이다. 따라서 비가측집합이 존재하면 비가측함수가 존재한다.

임의의 집합 \(A,\,B\)에 대하여 다음이 성립한다.

$$\chi_{A\cap B}=\chi_{A}\chi_{B},\,\chi_{A\cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A\cap B},\,\chi_{A^{c}}=1-\chi_{A}$$

가측집합 \(E\)에서 정의된 함수 \(\varphi\)가 유한개의 값을 가지면(치역이 유한집합), 함수 \(\varphi\)를 단순함수(simple function)라고 한다. 이때 \(E\)에서 정의된 단순함수 \(\varphi\)가 갖는 값이 \(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}\)이면$$\varphi=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\chi_{E_{k}}},\,E_{k}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=a_{k}\}=\varphi^{-1}[\{a_{k}\}]$$로 나타낼 수 있다. 이러한 표현을 단순함수 \(\varphi\)의 표준표현(canonical representation)이라고 한다.

2.10 임의의 음이 아닌 가측함수 \(f\)에 대하여 증가하는 단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\)이 존재해서 \(f\)로 점별수렴한다. 증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$\varphi_{n}=\sum_{k=0}^{n2^{n}}{\frac{k}{2^{n}}}\chi_{f^{-1}\left[\left(\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right]\right]}+2^{n}\chi_{f^{-1}[(2^{n},\,\infty]]}$$라고 하면 \(\varphi_{n}\leq\varphi_{n+1}\)이고 \(\displaystyle0\leq f-\varphi_{n}\leq\frac{1}{2^{n}}\)이므로 \(\{\varphi_{n}\}\)는 \(f\)로 점별수렴하는 단순함수의 증가함수열 이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원