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[르베그적분] 2-1. 르베그 가측함수



실수 R에 대하여 확장실수계(extended real number) ¯R=R{±}를 사용한다. 여기서 연산은 실수와 같은 방법으로 정의하는데, 0=0으로 정의하고 는 정의하지 않는다.


다시 한 번 더 언급하지만 어떤 성질이 가측집합 E에서 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.) 성립한다는 것은 E0E가 존재해서 이 성질이 EE0에서 성립하고 m(E0)=0이다.


모든 xE에 대하여 f(x)g(x)를 간단히 E에서 fg로 나타낸다. E에서 정의된 함수열 {fn}이 증가한다(increasing)는 것은 모든 nN에 대하여 E에서 fnfn+1인 것이다.


2.1 함수 f의 정의역 E가 가측집합이라고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.


(i) 모든 cR에 대하여 f1[(c,)]={xE|f(x)>c}는 가측집합이다.

(ii) 모든 cR에 대하여 f1[[c,)]={xE|f(x)c}는 가측집합이다.
(iii) 모든 cR에 대하여 f1[(,c)]={xE|f(x)<c}는 가측집합이다.
(iv) 모든 cR에 대하여 f1[(,c]]={xE|f(x)c}는 가측집합이다.


이 성질들로부터 모든 c¯R에 대하여 f1[{c}]={xE|f(x)=c}는 가측집합이다.


증명: (i)과 (iv), (ii)과 (iii)는 서로 여집합 관계에 있다. 즉, (f1[(c,)])c=f1[(,c]],(f1[[c,)])c=f1[(,c)]이다. 그러면 (i)과 (ii)가 서로 동치임을 보이면 된다.


(i)(ii):f1[[c,)]=n=1f1[(c1n,)] 이므로 성립한다.

(ii)(ii):f1[(c,)]=n=1f1[[c+1n,)] 이므로 성립한다. 따라서 (i)과 (ii)는 서로 동치이다.


이제 f1[{c}]가 가측집합임을 보이면 된다. cR일 때, f1[{c}]=f1[(,c]]f1[[c,)]이므로 f1[{c}]는 가측집합이다. c=일 때는f1[{}]=n=1f1[(n,)]이므로 f1[{}]도 가측집합이다. f1[{}]도 앞의 방법을 이용하여 가측집합임을 보일 수 있다. (QED)


함수 f의 정의역이 가측집합 E이고 2.1의 성질들 중 한가지를 만족하면, 함수 f를 르베그 가측함수(Lebesgue measurable function) 또는 간단히 가측(measurable)이라고 한다.


2.2 실함수 f가 가측집합 E에서 정의되었다고 하자. f가 가측일 필요충분조건은 모든 열린집합 OR에 대하여 f1[O]={xE|f(x)O}가 가측집합인 것이다.


증명

(): 임의의 열린집합 O에 대하여 f1[O]가 가측집합이면, 임의의 cR에 대하여 (c,)는 열린구간이고 따라서 f는 가측함수이다.

(): f를 가측집합, O를 열린집합이라 하자. 그러면 O=n=1In이고 nN에 대하여 In은 유계열린구간이며 In=(,bn)(an,)이다. f는 가측집합이므로 f1[(,bn)],f1[(an,)]는 가측집합이고 가측집합은 σ대수이므로f1[O]=f1[n=1In]=f1[(,bn)(an,)]=n=1[f1[(,bn)(an,)]]이고 따라서 f1[O]는 가측집합이다. (QED)


2.3 가측집합에서 정의된 연속함수 f는 가측함수이다.


증명: 함수 f가 가측집합 E에서 연속이라 하고 O를 열린집합이라 하자. f가 연속함수이므로 f1[O]=EU(U는 열린집합)이고 U는 가측집합이므로 2.2에 의해 f는 가측이다. (QED)


2.4 fE에서의 확장실함수 라고 하자.


(i) fE에서 가측함수이고 E에서 f=ga.e.이면, g도 가측함수이다.

(ii) 가측집합 DE에 대하여 fE에서 가측일 필요충분조건은 f|Df|ED가 가측인 것이다.


증명:

(i): f를 가측집합이라 하고 A={xE|f(x)g(x)}라 하자.{xE|g(x)>c}={xA|g(x)>c}[{xE|f(x)>c}(EA)]이다. E에서 f=ga.e.이므로 m(A)=0이고 따라서 m({xA|g(x)>c})=0이므로 {xA|g(x)>c}는 가측집합이다. fE에서 가측이므로 {xE|f(x)>c}는 가측집합이고 EA도 가측집합이므로 따라서 {xE|g(x)>c}는 가측집합이다.

(ii): 임의의 cR에 대하여{xE|f(x)>c}={xD|f(x)>c}{xED|f(x)>c}이므로 (ii)가 성립한다. (QED)


2.5 fgE의 거의 어디서나 유한인 가측함수라 하자.


(선형성) 임의의 α,βR에 대하여 αf+βgE에서 가측이다.

(곱) fgE에서 가측집합이다.


증명

(선형성): 먼저 αf가 가측임을 보이자. α=0이면 αf는 가측이다. α0일 때

{xE|αf(x)>c}={xE|f(x)>cα}(α>0){xE|αf(x)>c}={xE|f(x)<cα}(α<0)이므로 따라서 f가 가측이면 αf도 가측이다.

이제 fg가 가측이면 f+g(α=β=1)도 가측임을 보이자. xE에 대하여 f(x)+g(x)<c이면, f(x)<cg(x)이고 유리수의 조밀성에 의해 qQ가 존재해서 f(x)<q<cg(x)이고 따라서{xE|f(x)+g(x)<c}=qQ[{xE|g(x)<cq}{xE|f(x)<q}]이므로 {xE|f(x)+g(x)<c}도 가측이다.

(곱):fg=12{(f+g)2f2g2}이므로 두 가측함수의 곱이 가측임을 보이기 위해서 f가 가측일 때 f2도 가측임을 보이면 충분하다. c0일 때{xE|{f(x)}2>c}={xE|f(x)>c}{xE|f(x)<c}이고 c<0일 때{xE|{f(x)}2>c}=E이므로 따라서 f가 가측이면 f2도 가측이다. (QED) 


2.5를 확장실함수 fg에 대해서도 적용을 하면 선형성에서 어느 한 점에서 fg 중 하나가 이고 다른 하나가 이면 그 점에서는 f+g를 적용할 수 없다. 즉 집합 A={xE|f(x)g(x)=}에서 f+g를 정의할 수 없다. 그러나 m(A)=0이면, A에서 f+g의 값이 아무렇게나 정해져도 f+g는 가측함수이다. 반면 fg는 항상 가측함수이다.


2.6 gE에서 정의된 가측실함수라 하고 f를 실수 전체에서 정의된 연속실함수라 하자. 그러면 합성함수 fgE에서 가측함수이다.


증명: O를 열린집합이라 하자. 그러면 (fg)1[O]=g1[f1[O]]이고 f는 연속함수이며 열린집합에서 정의되었기 때문에 U=f1[O]는 열린집합이다. g는 가측함수이고 U는 열린집합이므로 2.2에 의해 g1[U]는 가측집합이고 따라서 합성함수 fg는 가측이다. (QED) 


2.6으로부터 fE에서 가측함수이고 g(x)=|x|이면, g는 연속함수이므로 (gf)=|f|E에서 가측함수이고 p>0에 대하여 |f|pE에서 가측함수이다.


정의역이 공통으로 E인 유한개의 함수들 {fk}nk=1에 대하여 E에서 max{f1,...,fn}을 모든 xE에 대하여 max{f1,...,fn}(x)=max{f1(x),...,fn(x)}로 정의한다. min{f1,...,fn}의 경우도 마찬가지로 정의한다.


2.7 정의역이 공통으로 E인 유한개의 함수들 {fk}nk=1에 대하여 max{f1,...,fn}min{f1,...,fn}도 가측함수이다.


증명: 임의의 cR에 대하여{xE|max{f1,...,fn}>c}=nk=1{xE|fk(x)>c}이므로 max{f1,...,fn}는 가측함수이다. min{f1,...,fn}비슷한 방법으로 가측함수임을 보일 수 있다(교집합으로 바꿔서 증명한다). (QED)


E에서 정의된 함수 f에 대하여, 함수 |f|,f+,f|f(x)|=max{f(x),f(x)},f+(x)=max{f(x),0},f(x)=max{f(x),0}으로 정의한다. f가 가측함수이면 2.7에 의해 |f|,f+,f도 가측함수이다. 이때 E에서 f=f+f가 성립한다. 이는 르베그 적분이론에서 중요한 역할을 한다.


참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

측도론, 이외숙, 최병선, 세경사

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Posted by skywalker222