[르베그적분] 2-1. 르베그 가측함수

[르베그적분] 2-1. 르베그 가측함수

실수 \(\mathbb{R}\)에 대하여 확장실수계(extended real number) \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\)를 사용한다. 여기서 연산은 실수와 같은 방법으로 정의하는데, \(0\cdot\infty=0\)으로 정의하고 \(\infty-\infty\)는 정의하지 않는다.

다시 한 번 더 언급하지만 어떤 성질이 가측집합 \(E\)에서 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 \(a.e.\)) 성립한다는 것은 \(E_{0}\subset E\)가 존재해서 이 성질이 \(E-E_{0}\)에서 성립하고 \(m(E_{0})=0\)이다.

모든 \(x\in E\)에 대하여 \(f(x)\leq g(x)\)를 간단히 \(E\)에서 \(f\leq g\)로 나타낸다. \(E\)에서 정의된 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 증가한다(increasing)는 것은 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E\)에서 \(f_{n}\leq f_{n+1}\)인 것이다.

2.1 함수 \(f\)의 정의역 \(E\)가 가측집합이라고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다. (i) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[(c,\,\infty)]=\{x\in E\,|\,f(x)>c\}\)는 가측집합이다. (ii) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[[c,\,\infty)]=\{x\in E\,|\,f(x)\geq c\}\)는 가측집합이다. (iii) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[(-\infty,\,c)]=\{x\in E\,|\,f(x)<c\}\)는 가측집합이다. (iv) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[(-\infty,\,c]]=\{x\in E\,|\,f(x)\leq c\}\)는 가측집합이다. 이 성질들로부터 모든 \(c\in\overline{\mathbb{R}}\)에 대하여 \(f^{-1}[\{c\}]=\{x\in E\,|\,f(x)=c\}\)는 가측집합이다. 증명: (i)과 (iv), (ii)과 (iii)는 서로 여집합 관계에 있다. 즉, \(\left(f^{-1}[(c,\,\infty)]\right)^{c}=f^{-1}[(-\infty,\,c]],\,\left(f^{-1}[[c,\,\infty)]\right)^{c}=f^{-1}[(-\infty,\,c)]\)이다. 그러면 (i)과 (ii)가 서로 동치임을 보이면 된다. (i)\(\Rightarrow\)(ii):$$f^{-1}[[c,\,\infty)]=\bigcap_{n=1}^{\infty}{f^{-1}\left[\left(c-\frac{1}{n},\,\infty\right)\right]}$$ 이므로 성립한다. (ii)\(\Rightarrow\)(ii):$$f^{-1}[(c,\,\infty)]=\bigcup_{n=1}^{\infty}{f^{-1}\left[\left[c+\frac{1}{n},\,\infty\right)\right]}$$ 이므로 성립한다. 따라서 (i)과 (ii)는 서로 동치이다. 이제 \(f^{-1}[\{c\}]\)가 가측집합임을 보이면 된다. \(c\in\mathbb{R}\)일 때, \(f^{-1}[\{c\}]=f^{-1}[(-\infty,\,c]]\cap f^{-1}[[c,\,\infty)]\)이므로 \(f^{-1}[\{c\}]\)는 가측집합이다. \(c=\infty\)일 때는$$f^{-1}[\{\infty\}]=\bigcap_{n=1}^{\infty}{f^{-1}[(n,\,\infty)]}$$이므로 \(f^{-1}[\{\infty\}]\)도 가측집합이다. \(f^{-1}[\{-\infty\}]\)도 앞의 방법을 이용하여 가측집합임을 보일 수 있다. (QED)

함수 \(f\)의 정의역이 가측집합 \(E\)이고 2.1의 성질들 중 한가지를 만족하면, 함수 \(f\)를 르베그 가측함수(Lebesgue measurable function) 또는 간단히 가측(measurable)이라고 한다.

2.2 실함수 \(f\)가 가측집합 \(E\)에서 정의되었다고 하자. \(f\)가 가측일 필요충분조건은 모든 열린집합 \(\mathcal{O}\subset\mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}[\mathcal{O}]=\{x\in E\,|\,f(x)\in\mathcal{O}\}\)가 가측집합인 것이다. 증명 (\(\Leftarrow\)): 임의의 열린집합 \(\mathcal{O}\)에 대하여 \(f^{-1}[\mathcal{O}]\)가 가측집합이면, 임의의 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \((c,\,\infty)\)는 열린구간이고 따라서 \(f\)는 가측함수이다. (\(\Rightarrow\)): \(f\)를 가측집합, \(\mathcal{O}\)를 열린집합이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이고 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(I_{n}\)은 유계열린구간이며 \(I_{n}=(-\infty,\,b_{n})\cap(a_{n},\,\infty)\)이다. \(f\)는 가측집합이므로 \(f^{-1}[(-\infty,\,b_{n})],\,f^{-1}[(a_{n},\,\infty)]\)는 가측집합이고 가측집합은 \(\sigma-\)대수이므로$$f^{-1}[\mathcal{O}]=f^{-1}\left[\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\right]=f^{-1}[(-\infty,\,b_{n})\cap(a_{n},\,\infty)]=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left[f^{-1}[(-\infty,\,b_{n})\cap(a_{n},\,\infty)]\right]}$$이고 따라서 \(f^{-1}[\mathcal{O}]\)는 가측집합이다. (QED)

2.3 가측집합에서 정의된 연속함수 \(f\)는 가측함수이다. 증명: 함수 \(f\)가 가측집합 \(E\)에서 연속이라 하고 \(\mathcal{O}\)를 열린집합이라 하자. \(f\)가 연속함수이므로 \(f^{-1}[\mathcal{O}]=E\cap\mathcal{U}\)(\(\mathcal{U}\)는 열린집합)이고 \(\mathcal{U}\)는 가측집합이므로 2.2에 의해 \(f\)는 가측이다. (QED)

2.4 \(f\)를 \(E\)에서의 확장실함수 라고 하자. (i) \(f\)가 \(E\)에서 가측함수이고 \(E\)에서 \(f=g\,a.e.\)이면, \(g\)도 가측함수이다. (ii) 가측집합 \(D\subset E\)에 대하여 \(f\)가 \(E\)에서 가측일 필요충분조건은 \(f|_{D}\)와 \(f|_{E-D}\)가 가측인 것이다. 증명: (i): \(f\)를 가측집합이라 하고 \(A=\{x\in E\,|\,f(x)\neq g(x)\}\)라 하자.$$\{x\in E\,|\,g(x)>c\}=\{x\in A\,|\,g(x)>c\}\cup\left[\{x\in E\,|\,f(x)>c\}\cap(E-A)\right]$$이다. \(E\)에서 \(f=g\,a.e.\)이므로 \(m(A)=0\)이고 따라서 \(m\left(\{x\in A\,|\,g(x)>c\}\right)=0\)이므로 \(\{x\in A\,|\,g(x)>c\}\)는 가측집합이다. \(f\)가 \(E\)에서 가측이므로 \(\{x\in E\,|\,f(x)>c\}\)는 가측집합이고 \(E\)와 \(A\)도 가측집합이므로 따라서 \(\{x\in E\,|\,g(x)>c\}\)는 가측집합이다. (ii): 임의의 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여$$\{x\in E\,|\,f(x)>c\}=\{x\in D\,|\,f(x)>c\}\cup\{x\in E-D\,|\,f(x)>c\}$$이므로 (ii)가 성립한다. (QED)

2.5 \(f\)와 \(g\)를 \(E\)의 거의 어디서나 유한인 가측함수라 하자. (선형성) 임의의 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\alpha f+\beta g\)는 \(E\)에서 가측이다. (곱) \(fg\)는 \(E\)에서 가측집합이다. 증명 (선형성): 먼저 \(\alpha f\)가 가측임을 보이자. \(\alpha=0\)이면 \(\alpha f\)는 가측이다. \(\alpha\neq0\)일 때 $$\{x\in E\,|\,\alpha f(x)>c\}=\left\{x\in E\,|\,f(x)>\frac{c}{\alpha}\right\}\,(\alpha>0)\\ \{x\in E\,|\,\alpha f(x)>c\}=\left\{x\in E\,|\,f(x)<\frac{c}{\alpha}\right\}\,(\alpha<0)$$이므로 따라서 \(f\)가 가측이면 \(\alpha f\)도 가측이다. 이제 \(f\)와 \(g\)가 가측이면 \(f+g\,(\alpha=\beta=1)\)도 가측임을 보이자. \(x\in E\)에 대하여 \(f(x)+g(x)<c\)이면, \(f(x)<c-g(x)\)이고 유리수의 조밀성에 의해 \(q\in\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(f(x)<q<c-g(x)\)이고 따라서$$\{x\in E\,|\,f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}{\left[\{x\in E\,|\,g(x)<c-q\}\cap\{x\in E\,|\,f(x)<q\}\right]}$$이므로 \(\{x\in E\,|\,f(x)+g(x)<c\}\)도 가측이다. (곱):$$fg=\frac{1}{2}\{(f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}\}$$이므로 두 가측함수의 곱이 가측임을 보이기 위해서 \(f\)가 가측일 때 \(f^{2}\)도 가측임을 보이면 충분하다. \(c\geq0\)일 때$$\{x\in E\,|\,\{f(x)\}^{2}>c\}=\{x\in E\,|\,f(x)>\sqrt{c}\}\cup\{x\in E\,|\,f(x)<-\sqrt{c}\}$$이고 \(c<0\)일 때$$\{x\in E\,|\,\{f(x)\}^{2}>c\}=E$$이므로 따라서 \(f\)가 가측이면 \(f^{2}\)도 가측이다. (QED)

2.5를 확장실함수 \(f\)와 \(g\)에 대해서도 적용을 하면 선형성에서 어느 한 점에서 \(f\)와 \(g\) 중 하나가 \(\infty\)이고 다른 하나가 \(-\infty\)이면 그 점에서는 \(f+g\)를 적용할 수 없다. 즉 집합 \(A=\{x\in E\,|\,f(x)-g(x)=\infty-\infty\}\)에서 \(f+g\)를 정의할 수 없다. 그러나 \(m(A)=0\)이면, \(A\)에서 \(f+g\)의 값이 아무렇게나 정해져도 \(f+g\)는 가측함수이다. 반면 \(fg\)는 항상 가측함수이다.

2.6 \(g\)를 \(E\)에서 정의된 가측실함수라 하고 \(f\)를 실수 전체에서 정의된 연속실함수라 하자. 그러면 합성함수 \(f\circ g\)도 \(E\)에서 가측함수이다. 증명: \(\mathcal{O}\)를 열린집합이라 하자. 그러면 \((f\circ g)^{-1}[\mathcal{O}]=g^{-1}[f^{-1}[\mathcal{O}]]\)이고 \(f\)는 연속함수이며 열린집합에서 정의되었기 때문에 \(\mathcal{U}=f^{-1}[\mathcal{O}]\)는 열린집합이다. \(g\)는 가측함수이고 \(\mathcal{U}\)는 열린집합이므로 2.2에 의해 \(g^{-1}[\mathcal{U}]\)는 가측집합이고 따라서 합성함수 \(f\circ g\)는 가측이다. (QED)

2.6으로부터 \(f\)가 \(E\)에서 가측함수이고 \(g(x)=|x|\)이면, \(g\)는 연속함수이므로 \((g\circ f)=|f|\)도 \(E\)에서 가측함수이고 \(p>0\)에 대하여 \(|f|^{p}\)도 \(E\)에서 가측함수이다.

정의역이 공통으로 \(E\)인 유한개의 함수들 \(\{f_{k}\}_{k=1}^{n}\)에 대하여 \(E\)에서 \(\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)을 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}(x)=\max\{f_{1}(x),\,...,\,f_{n}(x)\}\)로 정의한다. \(\min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)의 경우도 마찬가지로 정의한다.

2.7 정의역이 공통으로 \(E\)인 유한개의 함수들 \(\{f_{k}\}_{k=1}^{n}\)에 대하여 \(\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)과 \(\min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)도 가측함수이다. 증명: 임의의 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여$$\{x\in E\,|\,\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}>c\}=\bigcup_{k=1}^{n}{\{x\in E\,|\,f_{k}(x)>c\}}$$이므로 \(\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)는 가측함수이다. \(\min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}\)비슷한 방법으로 가측함수임을 보일 수 있다(교집합으로 바꿔서 증명한다). (QED)

\(E\)에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여, 함수 \(|f|,\,f^{+},\,f^{-}\)를$$|f(x)|=\max\{f(x),\,-f(x)\},\,f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}$$으로 정의한다. \(f\)가 가측함수이면 2.7에 의해 \(|f|,\,f^{+},\,f^{-}\)도 가측함수이다. 이때 \(E\)에서 \(f=f^{+}-f^{-}\)가 성립한다. 이는 르베그 적분이론에서 중요한 역할을 한다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

측도론, 이외숙, 최병선, 세경사