[르베그적분] 2-1. 르베그 가측함수
실수 R에 대하여 확장실수계(extended real number) ¯R=R∪{±∞}를 사용한다. 여기서 연산은 실수와 같은 방법으로 정의하는데, 0⋅∞=0으로 정의하고 ∞−∞는 정의하지 않는다.
다시 한 번 더 언급하지만 어떤 성질이 가측집합 E에서 거의 어디서나(almost everywhere, 줄여서 a.e.) 성립한다는 것은 E0⊂E가 존재해서 이 성질이 E−E0에서 성립하고 m(E0)=0이다.
모든 x∈E에 대하여 f(x)≤g(x)를 간단히 E에서 f≤g로 나타낸다. E에서 정의된 함수열 {fn}이 증가한다(increasing)는 것은 모든 n∈N에 대하여 E에서 fn≤fn+1인 것이다.
2.1 함수 f의 정의역 E가 가측집합이라고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다. (i) 모든 c∈R에 대하여 f−1[(c,∞)]={x∈E|f(x)>c}는 가측집합이다. (ii) 모든 c∈R에 대하여 f−1[[c,∞)]={x∈E|f(x)≥c}는 가측집합이다. 이 성질들로부터 모든 c∈¯R에 대하여 f−1[{c}]={x∈E|f(x)=c}는 가측집합이다. 증명: (i)과 (iv), (ii)과 (iii)는 서로 여집합 관계에 있다. 즉, (f−1[(c,∞)])c=f−1[(−∞,c]],(f−1[[c,∞)])c=f−1[(−∞,c)]이다. 그러면 (i)과 (ii)가 서로 동치임을 보이면 된다. (i)⇒(ii):f−1[[c,∞)]=∞⋂n=1f−1[(c−1n,∞)] 이므로 성립한다. (ii)⇒(ii):f−1[(c,∞)]=∞⋃n=1f−1[[c+1n,∞)] 이므로 성립한다. 따라서 (i)과 (ii)는 서로 동치이다. 이제 f−1[{c}]가 가측집합임을 보이면 된다. c∈R일 때, f−1[{c}]=f−1[(−∞,c]]∩f−1[[c,∞)]이므로 f−1[{c}]는 가측집합이다. c=∞일 때는f−1[{∞}]=∞⋂n=1f−1[(n,∞)]이므로 f−1[{∞}]도 가측집합이다. f−1[{−∞}]도 앞의 방법을 이용하여 가측집합임을 보일 수 있다. (QED) |
함수 f의 정의역이 가측집합 E이고 2.1의 성질들 중 한가지를 만족하면, 함수 f를 르베그 가측함수(Lebesgue measurable function) 또는 간단히 가측(measurable)이라고 한다.
2.2 실함수 f가 가측집합 E에서 정의되었다고 하자. f가 가측일 필요충분조건은 모든 열린집합 O⊂R에 대하여 f−1[O]={x∈E|f(x)∈O}가 가측집합인 것이다. 증명 (⇐): 임의의 열린집합 O에 대하여 f−1[O]가 가측집합이면, 임의의 c∈R에 대하여 (c,∞)는 열린구간이고 따라서 f는 가측함수이다. (⇒): f를 가측집합, O를 열린집합이라 하자. 그러면 O=∞⋃n=1In이고 n∈N에 대하여 In은 유계열린구간이며 In=(−∞,bn)∩(an,∞)이다. f는 가측집합이므로 f−1[(−∞,bn)],f−1[(an,∞)]는 가측집합이고 가측집합은 σ−대수이므로f−1[O]=f−1[∞⋃n=1In]=f−1[(−∞,bn)∩(an,∞)]=∞⋃n=1[f−1[(−∞,bn)∩(an,∞)]]이고 따라서 f−1[O]는 가측집합이다. (QED) |
2.3 가측집합에서 정의된 연속함수 f는 가측함수이다. 증명: 함수 f가 가측집합 E에서 연속이라 하고 O를 열린집합이라 하자. f가 연속함수이므로 f−1[O]=E∩U(U는 열린집합)이고 U는 가측집합이므로 2.2에 의해 f는 가측이다. (QED) |
2.4 f를 E에서의 확장실함수 라고 하자. (i) f가 E에서 가측함수이고 E에서 f=ga.e.이면, g도 가측함수이다. (ii) 가측집합 D⊂E에 대하여 f가 E에서 가측일 필요충분조건은 f|D와 f|E−D가 가측인 것이다. 증명: (i): f를 가측집합이라 하고 A={x∈E|f(x)≠g(x)}라 하자.{x∈E|g(x)>c}={x∈A|g(x)>c}∪[{x∈E|f(x)>c}∩(E−A)]이다. E에서 f=ga.e.이므로 m(A)=0이고 따라서 m({x∈A|g(x)>c})=0이므로 {x∈A|g(x)>c}는 가측집합이다. f가 E에서 가측이므로 {x∈E|f(x)>c}는 가측집합이고 E와 A도 가측집합이므로 따라서 {x∈E|g(x)>c}는 가측집합이다. (ii): 임의의 c∈R에 대하여{x∈E|f(x)>c}={x∈D|f(x)>c}∪{x∈E−D|f(x)>c}이므로 (ii)가 성립한다. (QED) |
2.5 f와 g를 E의 거의 어디서나 유한인 가측함수라 하자. (선형성) 임의의 α,β∈R에 대하여 αf+βg는 E에서 가측이다. (곱) fg는 E에서 가측집합이다. 증명 (선형성): 먼저 αf가 가측임을 보이자. α=0이면 αf는 가측이다. α≠0일 때 {x∈E|αf(x)>c}={x∈E|f(x)>cα}(α>0){x∈E|αf(x)>c}={x∈E|f(x)<cα}(α<0)이므로 따라서 f가 가측이면 αf도 가측이다. 이제 f와 g가 가측이면 f+g(α=β=1)도 가측임을 보이자. x∈E에 대하여 f(x)+g(x)<c이면, f(x)<c−g(x)이고 유리수의 조밀성에 의해 q∈Q가 존재해서 f(x)<q<c−g(x)이고 따라서{x∈E|f(x)+g(x)<c}=⋃q∈Q[{x∈E|g(x)<c−q}∩{x∈E|f(x)<q}]이므로 {x∈E|f(x)+g(x)<c}도 가측이다. (곱):fg=12{(f+g)2−f2−g2}이므로 두 가측함수의 곱이 가측임을 보이기 위해서 f가 가측일 때 f2도 가측임을 보이면 충분하다. c≥0일 때{x∈E|{f(x)}2>c}={x∈E|f(x)>√c}∪{x∈E|f(x)<−√c}이고 c<0일 때{x∈E|{f(x)}2>c}=E이므로 따라서 f가 가측이면 f2도 가측이다. (QED) |
2.5를 확장실함수 f와 g에 대해서도 적용을 하면 선형성에서 어느 한 점에서 f와 g 중 하나가 ∞이고 다른 하나가 −∞이면 그 점에서는 f+g를 적용할 수 없다. 즉 집합 A={x∈E|f(x)−g(x)=∞−∞}에서 f+g를 정의할 수 없다. 그러나 m(A)=0이면, A에서 f+g의 값이 아무렇게나 정해져도 f+g는 가측함수이다. 반면 fg는 항상 가측함수이다.
2.6 g를 E에서 정의된 가측실함수라 하고 f를 실수 전체에서 정의된 연속실함수라 하자. 그러면 합성함수 f∘g도 E에서 가측함수이다. 증명: O를 열린집합이라 하자. 그러면 (f∘g)−1[O]=g−1[f−1[O]]이고 f는 연속함수이며 열린집합에서 정의되었기 때문에 U=f−1[O]는 열린집합이다. g는 가측함수이고 U는 열린집합이므로 2.2에 의해 g−1[U]는 가측집합이고 따라서 합성함수 f∘g는 가측이다. (QED) |
2.6으로부터 f가 E에서 가측함수이고 g(x)=|x|이면, g는 연속함수이므로 (g∘f)=|f|도 E에서 가측함수이고 p>0에 대하여 |f|p도 E에서 가측함수이다.
정의역이 공통으로 E인 유한개의 함수들 {fk}nk=1에 대하여 E에서 max을 모든 x\in E에 대하여 \max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}(x)=\max\{f_{1}(x),\,...,\,f_{n}(x)\}로 정의한다. \min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}의 경우도 마찬가지로 정의한다.
2.7 정의역이 공통으로 E인 유한개의 함수들 \{f_{k}\}_{k=1}^{n}에 대하여 \max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}과 \min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}도 가측함수이다. 증명: 임의의 c\in\mathbb{R}에 대하여\{x\in E\,|\,\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}>c\}=\bigcup_{k=1}^{n}{\{x\in E\,|\,f_{k}(x)>c\}}이므로 \max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}는 가측함수이다. \min\{f_{1},\,...,\,f_{n}\}비슷한 방법으로 가측함수임을 보일 수 있다(교집합으로 바꿔서 증명한다). (QED) |
E에서 정의된 함수 f에 대하여, 함수 |f|,\,f^{+},\,f^{-}를|f(x)|=\max\{f(x),\,-f(x)\},\,f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\},\,f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}으로 정의한다. f가 가측함수이면 2.7에 의해 |f|,\,f^{+},\,f^{-}도 가측함수이다. 이때 E에서 f=f^{+}-f^{-}가 성립한다. 이는 르베그 적분이론에서 중요한 역할을 한다.
참고자료
Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson
측도론, 이외숙, 최병선, 세경사
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