[르베그적분] 1-5. 르베그 측도

[르베그적분] 1-5. 르베그 측도

르베그 외측도 $m^{*}$의 정의역을 가측집합 $\mathcal{M}$으로 제한한 함수 $m$을 르베그 측도(Lebesgue measure)라 한다. 즉 모든 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $m(E)=m^{*}(E)$이다.

1.15 $\{E_{n}\}$이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이면 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$도 가측이고 다음이 성립한다. $$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$$ 증명: 1.9에 의해 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$는 가측집합이다. 1.4에 의해 $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$이므로 $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$가 성립함을 보이면 된다. 1.7에 의해 $$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq m\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k})}$$ 이고 이 부등식의 우변은 $n$에 독립적이므로 $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$이다. (QED)

1.16 르베그 측도는 다음 성질들을 만족한다. (1) $I$가 구간이면 $m(I)=\ell(I)$ (2) $A\subset\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}$에 대하여 $m(A+y)=m(A)$ (3) $\{E_{n}\}$이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이면, $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$ 증명 (1): 1.2 (2): 1.3 (3): 1.15 (QED)

1.17 (측도의 연속성, continuity of measure) $\{E_{n}\}$이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이라 하자. (1) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E_{n}\subset E_{n+1}$이면, $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}$이다. (2) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E_{n+1}\subset E_{n}$이고 $m(E_{1})<\infty$이면, $\displaystyle m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}$이다. 증명 (1): $E_{0}=\emptyset$이라 하고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $A_{n}=E_{n}-E_{n-1}$라 하자. 그러면 $A_{n}$은 서로소이고 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$이다. $E_{n}\subset E_{n+1}$이므로 $$\begin{align}m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)&=m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n}-E_{n-1})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\{m(E_{n})-m(E_{n-1})\}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\{m(E_{k})-m(E_{k-1})\}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{m(E_{n})-m(E_{0})\}}\end{align}$$ 이고 $m(E_{0})=m(\emptyset)=0$이므로 따라서 $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}$이다. (2) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $B_{n}=E_{1}-E_{n}$이라 하자. $E_{n+1}\subset E_{n}$이므로 $B_{n}\subset B_{n+1}$이고 (1)에 의해 $\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(B_{n})}$이다. 드 모르간 법칙에 의해 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{(E_{1}-E_{n})}=E_{1}-\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이고 $m(E_{1})<\infty$이므로 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $m(B_{n})=m(E_{1})-m(E_{n})$이다. 그러므로 $$m\left(E_{1}-\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{m(E_{1})-m(E_{n})\}}$$ 이고 $m(E_{1})<\infty$이므로 따라서 $\displaystyle m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}$이다. (QED)

가측집합 $E$에 대하여 어떤 성질이 $E$의 거의 어디서나(almost everywhere) 성립한다(또는 거의 모든(almost all) $x\in E$에서 성립한다)는 것은 $E_{0}\subset E$가 존재해서 $m(E_{0})=0$이고 어떤 성질이 모든 $x\in E-E_{0}$에서 성립함을 뜻한다. 

1.18 (보렐-칸텔리 보조정리, Borel-Cantelli lemma) $\{E_{n}\}$을 가산무한개의 가측집합들을 모은 집합이라 하고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}<\infty$라 하자. 그러면 거의 모든 $x\in\mathbb{R}$은 유한개의 $\{E_{n}\}$의 원소가 된다. 증명: 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle m\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right)\leq\sum_{k=n}^{\infty}{m(E_{k})}<\infty$이므로 1.17에 의해 $$m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right]}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right)}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=n}^{\infty}{m(E_{k})}}=0$$ 이다. 그러므로 거의 모든 $x\in\mathbb{R}$는 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right]}$의 원소가 아니고 따라서 유한개의 $\{E_{n}\}$의 원소가 된다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson