[르베그적분] 1-5. 르베그 측도

[르베그적분] 1-5. 르베그 측도

르베그 외측도 \(m^{*}\)의 정의역을 가측집합 \(\mathcal{M}\)으로 제한한 함수 \(m\)을 르베그 측도(Lebesgue measure)라 한다. 즉 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(m(E)=m^{*}(E)\)이다.

1.15 \(\{E_{n}\}\)이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이면 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)도 가측이고 다음이 성립한다.$$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}$$ 증명: 1.9에 의해 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)는 가측집합이다. 1.4에 의해 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}\)이므로 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}\)가 성립함을 보이면 된다. 1.7에 의해 $$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq m\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m(E_{k})}$$이고 이 부등식의 우변은 \(n\)에 독립적이므로 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}\)이다. (QED)

1.16 르베그 측도는 다음 성질들을 만족한다. (1) \(I\)가 구간이면 \(m(I)=\ell(I)\) (2) \(A\subset\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(m(A+y)=m(A)\) (3) \(\{E_{n}\}\)이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이면, \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}\) 증명 (1): 1.2 (2): 1.3 (3): 1.15 (QED)

1.17 (측도의 연속성, continuity of measure) \(\{E_{n}\}\)이 가산무한개의 서로소인 가측집합들을 모은 집합이라 하자. (1) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이면, \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}\)이다. (2) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이고 \(m(E_{1})<\infty\)이면, \(\displaystyle m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}\)이다. 증명 (1): \(E_{0}=\emptyset\)이라 하고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(A_{n}=E_{n}-E_{n-1}\)라 하자. 그러면 \(A_{n}\)은 서로소이고 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)이다. \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이므로 $$\begin{align}m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)&=m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n}-E_{n-1})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\{m(E_{n})-m(E_{n-1})\}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\{m(E_{k})-m(E_{k-1})\}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{m(E_{n})-m(E_{0})\}}\end{align}$$이고 \(m(E_{0})=m(\emptyset)=0\)이므로 따라서 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}\)이다. (2) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(B_{n}=E_{1}-E_{n}\)이라 하자. \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이므로 \(B_{n}\subset B_{n+1}\)이고 (1)에 의해 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(B_{n})}\)이다. 드 모르간 법칙에 의해 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{(E_{1}-E_{n})}=E_{1}-\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이고 \(m(E_{1})<\infty\)이므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(m(B_{n})=m(E_{1})-m(E_{n})\)이다. 그러므로 $$m\left(E_{1}-\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{m(E_{1})-m(E_{n})\}}$$이고 \(m(E_{1})<\infty\)이므로 따라서 \(\displaystyle m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}\)이다. (QED)

가측집합 \(E\)에 대하여 어떤 성질이 \(E\)의 거의 어디서나(almost everywhere) 성립한다(또는 거의 모든(almost all) \(x\in E\)에서 성립한다)는 것은 \(E_{0}\subset E\)가 존재해서 \(m(E_{0})=0\)이고 어떤 성질이 모든 \(x\in E-E_{0}\)에서 성립함을 뜻한다. 

1.18 (보렐-칸텔리 보조정리, Borel-Cantelli lemma) \(\{E_{n}\}\)을 가산무한개의 가측집합들을 모은 집합이라 하고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{m(E_{n})}<\infty\)라 하자. 그러면 거의 모든 \(x\in\mathbb{R}\)은 유한개의 \(\{E_{n}\}\)의 원소가 된다. 증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right)\leq\sum_{k=n}^{\infty}{m(E_{k})}<\infty\)이므로 1.17에 의해$$m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right]}\right)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right)}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=n}^{\infty}{m(E_{k})}}=0$$이다. 그러므로 거의 모든 \(x\in\mathbb{R}\)는 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left[\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\right]}\)의 원소가 아니고 따라서 유한개의 \(\{E_{n}\}\)의 원소가 된다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson