[르베그적분] 1-3. 르베그 가측집합의 σ-대수

[르베그적분] 1-3. 르베그 가측집합의 σ-대수

집합 $E\subset\mathbb{R}$가 가측(measurable)이라는 것은 임의의 $A\subset\mathbb{R}$에 대하여 $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 가 성립하는 것이다. $A=(A\cap E)\cup(A\cap E^{c})$이므로 1.4에 의해 $m^{*}(A)\leq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$가 성립한다. 따라서 집합 $E$가 가측집합임을 보이기 위해서 $m^{*}(A)\geq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$가 성립함을 보이면 된다. 이때 $m^{*}(A)=\infty$이면, 이 부등식은 분명히 성립하기 때문에 $A$를 외측도 값이 유한인 집합이라고 가정한다. 또한 $E$가 가측집합이면 $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})=m^{*}(A\cap (E^{c})^{c})+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 이므로 $E^{c}$도 가측집합이고 공집합 $\emptyset$는 가측집합이므로 $\emptyset^{c}=\mathbb{R}$도 가측집합이다.

1.5 외측도의 값이 $0$인 집합은 가측집합이다. 특히 가산무한집합은 가측집합이다. 증명: $E$를 외측도의 값이 $0$($m^{*}(E)=0$)인 집합, $A$를 임의의 집합이라 하자. $A\cap E\subset E,\,A\cap E^{c}\subset A$이므로 $$m^{*}(A\cap E)\leq m^{*}(E)=0,\,m^{*}(A\cap E^{c})\leq m^{*}(A)$$ 이다. 따라서 $$m^{*}(A)\geq m^{*}(A\cap E^{c})=0+m^{*}(A\cap E^{c})=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 이므로 $E$는 가측집합이다. 가산무한집합의 외측도는 0이므로 앞의 결과에 의해 가측집합이다. (QED)

1.6 가측집합들의 유한합집합은 가측집합이다. 증명: 수학적귀납법으로 증명한다. (1) $A$를 임의의 집합, $E_{1},\,E_{2}$를 가측집합이라 하자. 그러면 $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}(A\cap E_{1}^{c})=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c})$$ 이고 $$[A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c}=A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c},\,[A\cap E_{1}]\cup[A\cap E_{1}^{c}\cap E_{2}]=A\cap[E_{1}\cup E_{2}]$$ 이므로 $$\begin{align*}m^{*}(A)&=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c})\\&=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c})\\&\geq m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}])+m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c})\end{align*}$$ 이다. 따라서 $E_{1}\cup E_{2}$는 가측집합이다. (2) $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$를 가측집합들을 모은 집합이라고 하고 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}$가 가측집합임을 보인다. $n=1$일 때는 분명히 성립하므로 $n-1$일 때 성립한다고 가정하자. $$\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right)\cup E_{n}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}$도 가측집합이다. (QED)

1.7 $A$를 임의의 집합, $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$을 서로소인 유한개의 가측집합들을 모은 집합이라 하자. 그러면 $$m^{*}\left(A\cap\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}$$ 이고 특히 $$m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(E_{k})}$$ 이다. 증명: 수학적귀납법으로 증명한다. $n=1$일 때는 분명히 참이다. $n-1$일 때 참이라고 가정하자. $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$의 원소들은 서로소이므로 $\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)\cap E_{n}=A\cap E_{n}$이고 $\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)\cap E_{n}^{c}=A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right)$이므로 $E_{n}$의 가측성과 귀납적 가정으로부터 $$m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right]\right)=m^{*}(A\cap E_{n})+m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right]\right)=m^{*}(A\cap E_{n})+\sum_{k=1}^{n-1}{m^{*}(A\cap E_{k})}=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}$$ 이다. (QED)

1.8 가산무한개의 집합들을 모은 집합족을 서로소인 가산무한개의 집합들을 모은 집합족으로 나타낼 수 있다. 증명: $\{A_{n}\}$을 가산개의 집합들을 모은 집합족이라 하자. $A'_{1}=A_{1}$이라 하고 $n\geq 2$일 때 $$A'_{n}=A_{n}-\bigcap_{k=1}^{n-1}{A_{k}}$$ 라 하자. 그러면 $\{A'_{n}\}$의 원소들은 모두 서로소이다. (QED)

실수 $\mathbb{R}$의 부분집합들을 모은 집합 $\mathcal{A}$가 다음 조건들을 만족하면 $\mathcal{A}$를 (집합)대수(algebra)라고 한다.

(1) $\emptyset,\,\mathbb{R}\in\mathcal{A}$

(2) $A\in\mathcal{A}$이면 $A^{c}\in\mathcal{A}$

(3) $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$에 대하여 $A_{k}\in\mathcal{A}$이면 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}}\in\mathcal{A}$

1.9 가산무한개의 가측집합들의 합집합은 가측집합이다. 증명: 1.8에 의해 가산무한개의 가측집합들을 모은 집합 $\{E_{n}\}$의 원소들을 서로소라고 할 수 있다. $A$를 임의의 집합, $\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}},\,n\in\mathbb{N},\,F_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}$라 하자. 그러면 1.6에 의해 $F_{n}$은 가측집합이고 $F_{n}\subset E$이므로 $E^{c}\subset F_{n}^{c}$이다. $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap F_{n})+m^{*}(A\cap F_{n}^{c})\geq m^{*}(A\cap F_{n})+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 이고 1.7에 의해 $\displaystyle m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right]\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}$이므로 따라서 $$m^{*}(A)\geq\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 이고 이 부등식의 우변은 $n$에 독립적이므로 $$m^{*}(A)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(A\cap E_{n})}+m^{*}(A\cap E^{c})\geq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$ 이고 따라서 $E$는 가측집합이다. (QED)

실수 $\mathbb{R}$의 부분집합들을 모은 집합 $\mathcal{M}$이 다음 조건들을 만족하면 $\mathcal{M}$을 σ(시그마)-대수($\sigma-$algebra)라고 한다.

(1) $\emptyset,\,\mathbb{R}\in\mathcal{M}$

(2) $A\in\mathcal{M}$이면 $A^{c}\in\mathcal{M}$

(3) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $A_{n}\in\mathcal{M}$이면 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\in\mathcal{M}$

1.9에 의해 가측집합들을 모은 집합은 σ-대수이다.

1.10 모든 구간들은 가측집합이다. 증명: 구간 $I=(a,\,\infty)$가 가측집합임을 보이자. $A\subset\mathbb{R}$을 임의의 집합, $\epsilon$을 임의의 양수, $I_{n}=(a_{n},\,b_{n})$을 유계열린구간이라 하자. $$m^{*}(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}\,|\,A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\right\}$$ 이므로 $\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(A)+\epsilon$이다. $$J_{n}=I_{n}\cap I=(a_{n},\,b_{n})\cap(a,\,\infty),\,J'_{n}=I_{n}\cap I^{c}=(a_{n},\,b_{n})\cap(-\infty,\,a]$$ 라 하면 $\displaystyle A\cap I\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{J_{n}}$이므로 $\displaystyle m^{*}(A\cap I)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}$이고 마찬가지로 $\displaystyle A\cap I^{c}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{J'_{n}}$이므로 $\displaystyle m^{*}(A\cap I^{c})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(J'_{n})}$이다. 따라서 $$m^{*}(A\cap I)+m^{*}(A\cap I^{c})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{(\ell(J_{n})+\ell(J'_{n}))}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(A)+\epsilon$$ 이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $m^{*}(A\cap I)+m^{*}(A\cap I^{c})\leq m^{*}(A)$이다. 따라서 $I$는 가측집합이다. (QED)

실수의 부분집합들의 모든 $\sigma-$대수들을 교집합이고 열린집합을 포함하는 $\sigma-$대수를 보렐 $\sigma-$대수(Borel $\sigma-$algebra)라 하고 $\mathcal{B}$로 나타내며 $\mathcal{B}$의 원소를 보렐집합(Borel set)이라고 한다.

보렐 $\sigma-$대수는 열린집합을 포함하는 최소의 $\sigma-$대수이다.

열린집합들의 가산무한합집합을 $G_{\delta}$집합, 닫힌집합들의 가산무한교집합을 $F_{\sigma}$집합이라 한다.

1.11 가측집합들을 모은 집합 $\mathcal{M}$은 $\sigma-$대수이고 보렐 $\sigma-$대수 $\mathcal{B}$를 포함한다. 또한 구간, 열린집합, 닫힌집합, $G_{\delta}$집합, $F_{\sigma}$집합도 가측집합이다. 증명: 1.9에 의해 $\mathcal{M}$은 가측집합이고 $\mathcal{B}$의 정의에 의해 $\mathcal{B}$는 임의의 실수 상의 $\sigma-$대수에 포함된다. 1.10에 의해 구간은 가측집합이고 열린집합은 서로소인 열린구간들의 가산무한합집합이므로 열린집합도 가측집합이다. 닫힌집합은 열린집합의 여집합이므로 가측집합이고 $G_{\delta}$ 집합, $F_{\sigma}$ 집합은 각각 열린집합들의 가산무한 교집합이고 닫힌집합들의 가산무한 합집합이므로 가측집합이다. (QED)

1.12 가측집합의 평행이동도 가측집합이다. 증명: $E$를 가측집합, $A$를 임의의 집합, $y\in\mathbb{R}$이라 하자. 그러면 $$m^{*}(A)=m^{*}(A-y)=m^{*}([A-y]\cap E)+m^{*}([A-y]\cap E^{c})=m^{*}(A\cap[E+y])+m^{*}(A\cap[E+y]^{c})$$ 이므로 따라서 $E+y$도 가측집합이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원