[르베그적분] 1-3. 르베그 가측집합의 σ-대수

[르베그적분] 1-3. 르베그 가측집합의 σ-대수

집합 \(E\subset\mathbb{R}\)가 가측(measurable)이라는 것은 임의의 \(A\subset\mathbb{R}\)에 대하여$$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$가 성립하는 것이다. \(A=(A\cap E)\cup(A\cap E^{c})\)이므로 1.4에 의해 \(m^{*}(A)\leq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})\)가 성립한다. 따라서 집합 \(E\)가 가측집합임을 보이기 위해서 \(m^{*}(A)\geq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})\)가 성립함을 보이면 된다. 이때 \(m^{*}(A)=\infty\)이면, 이 부등식은 분명히 성립하기 때문에 \(A\)를 외측도 값이 유한인 집합이라고 가정한다. 또한 \(E\)가 가측집합이면$$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})=m^{*}(A\cap (E^{c})^{c})+m^{*}(A\cap E^{c})$$이므로 \(E^{c}\)도 가측집합이고 공집합 \(\emptyset\)는 가측집합이므로 \(\emptyset^{c}=\mathbb{R}\)도 가측집합이다.

1.5 외측도의 값이 \(0\)인 집합은 가측집합이다. 특히 가산무한집합은 가측집합이다. 증명: \(E\)를 외측도의 값이 \(0\)(\(m^{*}(E)=0\))인 집합, \(A\)를 임의의 집합이라 하자. \(A\cap E\subset E,\,A\cap E^{c}\subset A\)이므로$$m^{*}(A\cap E)\leq m^{*}(E)=0,\,m^{*}(A\cap E^{c})\leq m^{*}(A)$$이다. 따라서$$m^{*}(A)\geq m^{*}(A\cap E^{c})=0+m^{*}(A\cap E^{c})=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$이므로 \(E\)는 가측집합이다. 가산무한집합의 외측도는 0이므로 앞의 결과에 의해 가측집합이다. (QED)

1.6 가측집합들의 유한합집합은 가측집합이다. 증명: 수학적귀납법으로 증명한다. (1) \(A\)를 임의의 집합, \(E_{1},\,E_{2}\)를 가측집합이라 하자. 그러면$$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}(A\cap E_{1}^{c})=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c})$$이고$$[A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c}=A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c},\,[A\cap E_{1}]\cup[A\cap E_{1}^{c}\cap E_{2}]=A\cap[E_{1}\cup E_{2}]$$이므로$$\begin{align*}m^{*}(A)&=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2}^{c})\\&=m^{*}(A\cap E_{1})+m^{*}([A\cap E_{1}^{c}]\cap E_{2})+m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c})\\&\geq m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}])+m^{*}(A\cap[E_{1}\cup E_{2}]^{c})\end{align*}$$이다. 따라서 \(E_{1}\cup E_{2}\)는 가측집합이다. (2) \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)를 가측집합들을 모은 집합이라고 하고 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\)가 가측집합임을 보인다. \(n=1\)일 때는 분명히 성립하므로 \(n-1\)일 때 성립한다고 가정하자.$$\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right)\cup E_{n}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\)도 가측집합이다. (QED)

1.7 \(A\)를 임의의 집합, \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)을 서로소인 유한개의 가측집합들을 모은 집합이라 하자. 그러면$$m^{*}\left(A\cap\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}$$이고 특히$$m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(E_{k})}$$이다. 증명: 수학적귀납법으로 증명한다. \(n=1\)일 때는 분명히 참이다. \(n-1\)일 때 참이라고 가정하자. \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)의 원소들은 서로소이므로 \(\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)\cap E_{n}=A\cap E_{n}\)이고 \(\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right)\cap E_{n}^{c}=A\cap\left(\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right)\)이므로 \(E_{n}\)의 가측성과 귀납적 가정으로부터$$m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right]\right)=m^{*}(A\cap E_{n})+m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n-1}{E_{k}}\right]\right)=m^{*}(A\cap E_{n})+\sum_{k=1}^{n-1}{m^{*}(A\cap E_{k})}=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}$$이다. (QED)

1.8 가산무한개의 집합들을 모은 집합족을 서로소인 가산무한개의 집합들을 모은 집합족으로 나타낼 수 있다. 증명: \(\{A_{n}\}\)을 가산개의 집합들을 모은 집합족이라 하자. \(A'_{1}=A_{1}\)이라 하고 \(n\geq 2\)일 때$$A'_{n}=A_{n}-\bigcap_{k=1}^{n-1}{A_{k}}$$라 하자. 그러면 \(\{A'_{n}\}\)의 원소들은 모두 서로소이다. (QED)

실수 \(\mathbb{R}\)의 부분집합들을 모은 집합 \(\mathcal{A}\)가 다음 조건들을 만족하면 \(\mathcal{A}\)를 (집합)대수(algebra)라고 한다.

(1) \(\emptyset,\,\mathbb{R}\in\mathcal{A}\)

(2) \(A\in\mathcal{A}\)이면 \(A^{c}\in\mathcal{A}\)

(3) \(k=1,\,2,\,\cdots,\,n\)에 대하여 \(A_{k}\in\mathcal{A}\)이면 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}}\in\mathcal{A}\)

1.9 가산무한개의 가측집합들의 합집합은 가측집합이다. 증명: 1.8에 의해 가산무한개의 가측집합들을 모은 집합 \(\{E_{n}\}\)의 원소들을 서로소라고 할 수 있다. \(A\)를 임의의 집합, \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}},\,n\in\mathbb{N},\,F_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\)라 하자. 그러면 1.6에 의해 \(F_{n}\)은 가측집합이고 \(F_{n}\subset E\)이므로 \(E^{c}\subset F_{n}^{c}\)이다. $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap F_{n})+m^{*}(A\cap F_{n}^{c})\geq m^{*}(A\cap F_{n})+m^{*}(A\cap E^{c})$$이고 1.7에 의해 \(\displaystyle m^{*}\left(A\cap\left[\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\right]\right)=\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}\)이므로 따라서$$m^{*}(A)\geq\sum_{k=1}^{n}{m^{*}(A\cap E_{k})}+m^{*}(A\cap E^{c})$$이고 이 부등식의 우변은 \(n\)에 독립적이므로$$m^{*}(A)\geq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(A\cap E_{n})}+m^{*}(A\cap E^{c})\geq m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap E^{c})$$이고 따라서 \(E\)는 가측집합이다. (QED)

실수 \(\mathbb{R}\)의 부분집합들을 모은 집합 \(\mathcal{M}\)이 다음 조건들을 만족하면 \(\mathcal{M}\)을 σ(시그마)-대수(\(\sigma-\)algebra)라고 한다.

(1) \(\emptyset,\,\mathbb{R}\in\mathcal{M}\)

(2) \(A\in\mathcal{M}\)이면 \(A^{c}\in\mathcal{M}\)

(3) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(A_{n}\in\mathcal{M}\)이면 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\in\mathcal{M}\)

1.9에 의해 가측집합들을 모은 집합은 σ-대수이다.

1.10 모든 구간들은 가측집합이다. 증명: 구간 \(I=(a,\,\infty)\)가 가측집합임을 보이자. \(A\subset\mathbb{R}\)을 임의의 집합, \(\epsilon\)을 임의의 양수, \(I_{n}=(a_{n},\,b_{n})\)을 유계열린구간이라 하자.$$m^{*}(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}\,|\,A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\right\}$$이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(A)+\epsilon\)이다. $$J_{n}=I_{n}\cap I=(a_{n},\,b_{n})\cap(a,\,\infty),\,J'_{n}=I_{n}\cap I^{c}=(a_{n},\,b_{n})\cap(-\infty,\,a]$$라 하면 \(\displaystyle A\cap I\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{J_{n}}\)이므로 \(\displaystyle m^{*}(A\cap I)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}\)이고 마찬가지로 \(\displaystyle A\cap I^{c}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{J'_{n}}\)이므로 \(\displaystyle m^{*}(A\cap I^{c})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(J'_{n})}\)이다. 따라서$$m^{*}(A\cap I)+m^{*}(A\cap I^{c})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{(\ell(J_{n})+\ell(J'_{n}))}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(A)+\epsilon$$이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(m^{*}(A\cap I)+m^{*}(A\cap I^{c})\leq m^{*}(A)\)이다. 따라서 \(I\)는 가측집합이다. (QED)

실수의 부분집합들의 모든 \(\sigma-\)대수들을 교집합이고 열린집합을 포함하는 \(\sigma-\)대수를 보렐 \(\sigma-\)대수(Borel \(\sigma-\)algebra)라 하고 \(\mathcal{B}\)로 나타내며 \(\mathcal{B}\)의 원소를 보렐집합(Borel set)이라고 한다.

보렐 \(\sigma-\)대수는 열린집합을 포함하는 최소의 \(\sigma-\)대수이다.

열린집합들의 가산무한합집합을 \(G_{\delta}\)집합, 닫힌집합들의 가산무한교집합을 \(F_{\sigma}\)집합이라 한다.

1.11 가측집합들을 모은 집합 \(\mathcal{M}\)은 \(\sigma-\)대수이고 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}\)를 포함한다. 또한 구간, 열린집합, 닫힌집합, \(G_{\delta}\)집합, \(F_{\sigma}\)집합도 가측집합이다. 증명: 1.9에 의해 \(\mathcal{M}\)은 가측집합이고 \(\mathcal{B}\)의 정의에 의해 \(\mathcal{B}\)는 임의의 실수 상의 \(\sigma-\)대수에 포함된다. 1.10에 의해 구간은 가측집합이고 열린집합은 서로소인 열린구간들의 가산무한합집합이므로 열린집합도 가측집합이다. 닫힌집합은 열린집합의 여집합이므로 가측집합이고 \(G_{\delta}\) 집합, \(F_{\sigma}\) 집합은 각각 열린집합들의 가산무한 교집합이고 닫힌집합들의 가산무한 합집합이므로 가측집합이다. (QED)

1.12 가측집합의 평행이동도 가측집합이다. 증명: \(E\)를 가측집합, \(A\)를 임의의 집합, \(y\in\mathbb{R}\)이라 하자. 그러면$$m^{*}(A)=m^{*}(A-y)=m^{*}([A-y]\cap E)+m^{*}([A-y]\cap E^{c})=m^{*}(A\cap[E+y])+m^{*}(A\cap[E+y]^{c})$$이므로 따라서 \(E+y\)도 가측집합이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원