[르베그적분] 1-1. 리만적분의 한계, 르베그 적분을 해야 하는 이유

[르베그적분] 1-1. 리만적분의 한계, 르베그 적분을 해야 하는 이유

리만적분의 한계

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)에 대하여 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할을$$P:\,a=x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n-1},\,x_{n}=b$$라고 할 때 상합과 하합은 다음과 같고$$U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}},\,L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}$$이고 여기서 \(\displaystyle M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\)이다. 또한 \(f\)의 상적분과 하적분은 각각$$\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\inf_{P}{U(P,\,f)},\,\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\sup_{P}{L(P,\,f)}$$이고 하적분과 상적분이 같으면, 즉$$\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}$$이면 함수 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만적분 가능하다고 하고 그 공통값을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 나타낸다.

디리클레 함수(Dirichlet function)로 알려진 함수$$f(x)=\begin{cases}1\,&(x\in\mathbb{Q})\\0\,&(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$는 리만적분 가능하지 않다. 왜냐하면$$\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=b-a\neq0,\,\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=0$$이기 때문이다.

또한 구간 \([a,\,b]\)내부의 유리수들의 집합을 \(\{q_{n}\}\)이라 할 때 함수열 \(f_{n}\)을$$f_{n}(x)=\begin{cases}1,\,&(x=q_{n})\\0,\,&(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\\\end{cases}$$로 정의하면 이 함수열은 앞에서 언급했던 디리클레 함수 \(f\)로 점별수렴하고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}=0\)이다. 그러나 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)는 존재하지 않는다.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)\)일 때, 다음의 등식$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이 일반적으로 성립할 때는 리만적분의 경우 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴(uniformly convergent)할 때만 성립한다. 그러나 이 등식은 르베그 적분의 경우, 균등수렴보다 약한 조건인 점별수렴(pointwise convergent)에 어떤 조건을 덧붙이면 성립한다. 여기서 언급한 '어떤 조건은' 경우에 따라 다르다. 

르베그 적분의 필요성

IT의 바탕이 되는 정보이론, 신호와 영상, 통신, 재무(finance) 문제는 결정적(deterministic)이 아닌 확률적(stochastic) 이라는 관점에서 접근해야 하는데 이를 위한 도구가 확률론(probability theory)과 힐베르트 공간이고 이 것들을 다루기 위해서는 르베그 적분이 필요하다.

참고자료

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

동연, 영상과 함께 배우는 Lebesgue적분 입문, 최병선, 세경사