[르베그적분] 1-2. 르베그 외측도의 건설

[르베그적분] 1-2. 르베그 외측도의 건설

르베그 외측도를 건설하기 전 실수 상의 열린집합이 가산 무한개의 서로소인 열린구간들의 합집합으로 나타내어짐을 보이겠다. 이때 유리수의 조밀성이 사용된다. 실수 상의 집합 \(G\subset\mathbb{R}\)가 열린집합이라는 것은 모든 \(x\in G\)에 대하여 점 \(x\)의 근방 \(U=N_{\delta}(x)\)가 존재해서 \(x\in U\subset G\)인 것이다. 물론 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.

 

1.1 실수 상의 열린집합은 가산무한개의 서로소인 열린구간들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 증명: 열린집합 \(G\subset\mathbb{R}\)의 한 점 \(x\in G\)에 대하여$$a_{x}=\inf_{(a,\,x)\subset G}{a},\,b_{x}=\sup_{(x,\,b)\subset G}{b}$$라 하자. 그러면 \(I_{x}=(a_{x},\,b_{x})\)는 \(x\)를 포함하는 열린구간이다. 열린구간 \(I\)가 \(x\in I\subset G\)를 만족한다고 하자. \(y\in I\)이면 \(a_{x}<y<b_{x}\)이므로 \(y\in I_{x}\)이고 따라서 \(I\subset I_{x}\)이다. 이는 \(I_{x}\)가 \(x\)를 포함하고 \(G\)에 포함되는 열린구간 중에서 최대의 열린구간임을 뜻한다. \(\displaystyle G=\bigcup_{x\in G}{I_{x}}\)임은 분명하고 이 합집합이 서로소인 열린구간들의 합집합임을 보이기 위해 \(x,\,y\in G\)에 대하여 \(I_{x}\cap I_{y}=\emptyset\) 또는 \(I_{x}=I_{y}\)가 성립함을 보이자. \(I_{x}\cap I_{y}\neq\emptyset\)이면 \(I_{x}\cup I_{y}\)가 \(x\)를 포함하는 열린구간이므로 \(I_{x}\cup I_{y}\subset I_{x}\)이고 마찬가지로 \(I_{x}\subset I_{y}\)이므로 \(I_{x}=I_{y}\)가 되고 따라서 \(\displaystyle G=\bigcup_{x\in G}{I_{x}}\)는 서로소인 열린구간들의 합집합이다. 마지막으로 \(\displaystyle G=\bigcup_{x\in G}{I_{x}}\)가 가산무한개의 서로소인 열린구간들의 합집합임을 보이자. 유리수의 조밀성으로부터 모든 \(x\in G\)에 대하여 \(I_{x}\)에서 유리수를 하나씩 선택하면 이 유리수들은 서로 다른 유리수이고 유리수 전체의 집합은 셀 수 있는 집합이므로 따라서 가산무한개의 서로소인 열린구간들의 합집합이 된다. (QED)

구간 \(I\subset\mathbb{R}\)의 길이(length)를 나타내는 함수 \(\ell\)을 구간 \(I\)가 무한구간일 때 \(\infty\), 유계구간일 때 구간 \(I\)의 양 끝점의 차로, 즉 \(I=(a,\,b)\)일 때 \(\ell(I)=b-a\)로 정의한다.

구간 \(I\)가 \((a,\,b),\,[a,\,b),\,(a,\,b],\,[a,\,b]\)중 하나일 때 이 구간의 길이는 항상 \(\ell(I)=b-a\)이다.

\(\{I_{n}\}\)을 열린 유계구간들을 모은 집합이라 하고 실수 상의 부분집합 \(\displaystyle A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)에 대하여 집합 \(A\)의 외측도(outer measure) \(m^{*}(A)\)를 다음과 같이 정의한다.$$m^{*}(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}\,|\,A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\right\}$$

여기서 외측도 \(m^{*}\)이 다음의 세 가지 성질을 만족함을 보임으로써 외측도를 건설(construction)할 것이다.

1. 한 구간의 외측도는 그 구간의 길이이다.

2. 외측도는 평행이동불변(임의의 \(A\subset\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(m^{*}(A+y)=m^{*}(A)\))이다.

3. 가산무한개의 실수의 부분집합들을 모은 집합 \(\{E_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle m^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(E_{n})}\)이다.

외측도는 다음 성질들을 만족한다.

(1) \(m^{*}(\emptyset)=0\)

(2) 단조성(monotonicity): \(A\subset B\)이면, \(m^{*}(A)\leq m^{*}(B)\)

(3) \(C\)가 가산집합이면, \(m(C)=0\)

\(C=\{c_{n}\}\)이라 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(I_{n}=\left(c_{n}-\frac{\epsilon}{2^{n}},\,c_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n}}\right)\)이라 하자. 그러면 \(\{c_{n}\}\subset\{I_{n}\}\)이고$$0\leq m^{*}(C)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\epsilon}{2^{n}}}=\epsilon$$, \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 따라서 \(m^{*}(C)=0\)이다.

먼저 한 구간의 외측도는 그 구간의 길이가 됨을 보일 것인데 그 전에 하이네-보렐 정리를 상기하자.

하이네-보렐 정리: 유계 닫힌구간 \([a,\,b]\)는 컴팩트(유한개의 열린부분덮개로 덮힘(covered)) 즉, 열린집합(또는 구간) \(O_{i}\)에 대하여 \([a,\,b]\subset\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{O_{i}}\)이다.

1.2 한 구간의 외측도는 그 구간의 길이이다. 즉, \(I\)가 구간일 때 \(m^{*}(I)=\ell(I)\)이다. 증명: (1) \(I=[a,\,b]\)(유계닫힌구간)라 하고 \(\epsilon>0\)이라 하자. \([a,\,b]\subset(a-\epsilon,\,b+\epsilon)\)이므로$$m^{*}([a,\,b])\leq m^{*}((a-\epsilon,\,b+\epsilon))=b-a+2\epsilon$$이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(m([a,\,b])\leq b-a\)이다. \([a,\,b]\)는 유계닫힌구간이므로 하이네-보렐 정리에 의해 유한개의 유계 열린구간들의 집합 \(\{I_{k}\}_{k=1}^{n}\)이 존재해서 \(\displaystyle[a,\,b]\subset\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)이다. \(\{(a_{i},\,b_{i})\}_{i=1}^{N}\subset\{I_{k}\}_{k=1}^{n},\,a_{1}<a<b<b_{N},\,a_{i}<b_{i-1}\,(i=2,\,\cdots\,N-1)\)이라 하자. 그러면$$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}\geq\sum_{n=1}^{N}{\ell(I_{n})}&=(b_{N}-a_{N})+(b_{N-1}-a_{N-1})+\cdots+(b_{1}-a_{1})\\&=b_{N}+(a_{N}-b_{N-1})+(a_{N-1}-b_{N-2})+\cdots+(a_{2}-b_{1})-a_{1}\\&>b_{N}-a_{1}>b-a\end{align*}$$ 따라서 외측도의 정의에 의해 \(m([a,\,b])\geq b-a\)이고 \(m^{*}([a,\,b])=b-a\)이다. (2) \(I\)가 임의의 구간일 때, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 두 닫힌유계구간 \(I_{1},\,I_{2}\)를 선택해서 \(I_{1}\subset I\subset I_{2}\)이고 \(\sup{\ell(I_{1})}=\ell(I)=\inf{\ell(I_{2})}\)라 하자. \(I_{1}\)과 \(I_{2}\)는 닫힌 구간이므로 (1)의 결과에 의해 \(m^{*}(I_{1})=\ell(I_{1}),\,m^{*}(I_{2})=\ell(I_{2})\)이다. 최소상계와 최대하계의 정의에 의해$$\ell(I)-\epsilon<\ell(I_{1})=m^{*}(I_{1})\leq m^{*}(I)\leq m^{*}(I_{2})<\ell(I)+\epsilon$$이므로 \(|m^{*}(I)-\ell(I)|<\epsilon\)인데 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(m^{*}(I)=\ell(I)\)이다. (3) \(I\)가 유계구간이 아닐 때, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 구간 \(J\subset I\)가 존재해서 \(\ell(J)=n\)이다. 따라서 \(m^{*}(I)\geq m^{*}(J)=\ell(J)=n\)이고 이 식은 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 성립하므로 \(m^{*}(I)=\infty\)이다. (QED)

1.3 외측도는 평행이동불변(translation invariant)이다. 즉, 임의의 \(A\subset\mathbb{R}\)과 \(y\in\mathbb{R}\)에 대하여$$m^{*}(A+y)=m^{*}(A)$$ 증명: \(\{I_{n}\}\)을 임의의 가산무한개의 열린유계구간들을 모은 집합이라고 하자. \(\{I_{n}\}\)이 \(A\)를 덮을(cover) 필요충분조건은 \(\{I_{n}+y\}\)가 \(A+y\)를 덮는 것이다. \(I_{k}\)가 열린유계구간이므로 \(I_{k}+y\)도 열린유계구간이고 이 두 구간의 길이는 같다. 그러므로$$\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n}+y)}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}$$이고 따라서 외측도의 정의에 의해 \(m^{*}(A+y)=m^{*}(A)\)이다. (QED)

1.4 \(\{E_{n}\}\)이 임의의 가산개의 실수의 부분집합들을 모은 집합이면$$m^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(E_{n})}$$이다. 증명: 어떤 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(m^{*}(E_{n})=\infty\)이면 부등식은 항상 성립한다. 그러므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(m^{*}(E_{n})<\infty\)라 하고 \(\epsilon>0\)이라 하자. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 외측도(최대하계)의 정의 가산무한개의 열린유계구간들의 집합 \(\{I_{n,\,i}\}\)가 존재해서$$E_{n}\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{I_{n,\,i}},\,\sum_{i=1}^{\infty}{\ell(I_{n,\,i})}\leq m^{*}(E_{n})+\frac{\epsilon}{2^{n}}$$이다. \(\{I_{n,\,i}\}\)는 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)을 덮으므로 외측도의 정의에 의해$$m^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\right)\leq\sum_{1\leq n,\,i<\infty}{\ell(I_{n,\,i})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{i=1}^{\infty}{\ell(I_{n,\,i})}\right)}<\sum_{n=1}^{\infty}{\left(m^{*}(E_{n})+\frac{\epsilon}{2^{n}}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(E_{n})}+\epsilon$$이고 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 이 부등식은 성립한다. (QED)

이렇게 해서 외측도 \(m^{*}\)의 건설을 끝마쳤다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원

실해석학의 이해, 이병무, 경문사