[르베그적분] 1-4. 가측집합의 근사

[르베그적분] 1-4. 가측집합의 근사

집합 \(A\)의 외측도 값이 유한하고 집합 \(B\)에 포함된다고(\(m^{*}(A)<\infty,\,A\subset B\)) 하자. 그러면$$m^{*}(B-A)=m^{*}(B)-m^{*}(A)$$가 성립하는데 이유는 \(A\)는 가측집합이고 \(m^{*}(A)<\infty\)이므로$$m^{*}(B)=m^{*}(B\cap A)+m^{*}(B\cap A^{c})=m^{*}(A)+m^{*}(B-A)$$가 성립하기 때문이다.

1.13 \(E\subset\mathbb{R}\)를 임의의 집합이라 하자. 다음의 명제들은 명제 "\(E\)는 가측집합이다 (m)"와 동치이다. (열린집합과 \(G_{\delta}\)집합에 의한 외부로의 근사) (i) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E\)를 포함하는 열린집합 \(\mathcal{O}\)가 존재해서 \(m^{*}(\mathcal{O}-E)<\epsilon\)이다. (ii) \(E\)를 포함하는 \(G_{\delta}\)집합 \(G\)가 존재해서 \(m^{*}(G-E)=0\)이다. (닫힌집합과 \(F_{\sigma}\))집합에 의한 내부로의 근사) (iii) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(E\)에 포함되는 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(m^{*}(E-F)<\epsilon\)이다. (iv) \(E\)에 포함되는 \(F_{\sigma}\)집합 \(F\)가 존재해서 \(m^{*}(E-F)=0\)이다. 증명: (m)\(\Rightarrow\)(i): \(E\)를 가측집합, \(\epsilon\)을 임의의 양수라고 하자. (1) \(m^{*}(E)<\infty\)라 하자. 그러면 외측도의 정의에 의해 가산무한개의 열린구간들을 모은 집합 \(\{I_{n}\}\)이 존재해서$$E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(E)+\epsilon$$이다. \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(E\subset\mathcal{O}\)이고 \(m^{*}(\mathcal{O})\)의 정의에 의해$$m^{*}(\mathcal{O})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(E)+\epsilon$$이다. \(m^{*}(E)<\infty\)이므로 따라서 \(m^{*}(\mathcal{O}-E)=m^{*}(\mathcal{O})-m^{*}(E)<\epsilon\)이다. (2) \(m^{*}(E)=\infty\)라 하자. 그러면 \(E\)를 유한외측도를 갖는 서로소인 가산무한개의 가측집합\(\{E_{n}\}\)의 합집합으로 나타낼 수 있는데 \(\{E_{n}\}\)의 원소들은 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 열린집합 \(\mathcal{O}_{n}\)이 존재해서 \(E_{n}\subset\mathcal{O}_{n}\)이고 \(\displaystyle m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E_{n})<\frac{\epsilon}{2^{n}}\)이다. \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}\)은 열린집합이고 \(E\)를 포함하며$$\mathcal{O}-E=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}\right)-E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{(\mathcal{O}_{n}-E_{n})}$$이다. 따라서$$m^{*}(\mathcal{O}-E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E_{n})}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\epsilon}{2^{n}}}=\epsilon$$이다. (i)\(\Rightarrow\)(ii): 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 열린집합 \(\mathcal{O}_{n}\)을 선택하여 \(E\subset\mathcal{O}_{n}\), \(\displaystyle m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E)<\frac{1}{n}\)이라 하자. \(\displaystyle G=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}\)라고 하면 \(G\)는 \(G_{\delta}\)집합이고 \(E\)를 포함한다. 또한 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(G-E\subset\mathcal{O}_{n}-E\)이므로$$m^{*}(G-E)\leq m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E)<\frac{1}{n}$$이다. \(n\)은 임의의 자연수이므로 \(m^{*}(G-E)=0\)이다. (ii)\(\Rightarrow\)(m): \(m^{*}(G-E)=0\)이므로 1.5에 의해 \(G-E\)는 가측집합이고 \(G\)도 가측집합이다. \(E=G\cap(G-E)^{c}\)이므로 1.6에 의해 \(E\)는 가측집합이다. (m)\(\Rightarrow\)(iii): \(E^{c}\)는 가측집합이므로 (ii)에 의해 열린집합 \(\mathcal{O}\)가 존재하여 \(E^{c}\subset\mathcal{O}\)이고 \(m^{*}(\mathcal{O}-E^{c})<\epsilon\)이다. \(F=\mathcal{O}^{c}\)라 하자. 그러면 \(E^{c}\subset\mathcal{O}\)이므로 \(F\subset E\)이고 \(\mathcal{O}-E^{c}=\mathcal{O}\cap E=E\cap\mathcal{O}=E-F=E-F\)이므로 따라서 \(\displaystyle m^{*}(E-F)<\epsilon\)이다. (iii)\(\Rightarrow\)(iv): 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 닫힌집합 \(F_{n}\)을 선택하여 \(F_{n}\subset E\), \(\displaystyle m^{*}(E-F_{n})<\frac{1}{n}\)이라 하자. \(\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}\)라고 하면 \(F\)는 \(F_{\sigma}\)집합이고 \(E\)에 포함된다. 또한 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E-F\subset E-F_{n}\)이므로$$m^{*}(E-F)\leq m^{*}(E-F_{n})<\frac{1}{n}$$이다. \(n\)은 임의의 자연수이므로 \(m^{*}(E-F)=0\)이다. (iv)\(\Rightarrow\)(m): \(F\)와 \(E-F\)는 가측집합이고 \(E=F\cup(E-F)\)이므로 따라서 \(E\)는 가측집합이다. (QED)

1.14 집합 \(E\)가 가측집합일 필요충분조건은 열린집합 \(\mathcal{O}\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\subset\mathcal{O}\)이고 \(m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon\)이다. 증명: (\(\Rightarrow\)): \(E\)가 가측집합이므로 1.13의 (i)와 (iii)에 의해 열린집합 \(\mathcal{O}\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\subset\mathcal{O}\)이고$$m^{*}(\mathcal{O}-E)<\frac{\epsilon}{2},\,m^{*}(E-F)<\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(\mathcal{O}-F=(\mathcal{O}-E)\cup(E-F)\)이므로 따라서$$m^{*}(\mathcal{O}-F)\leq m^{*}(\mathcal{O}-E)+m^{*}(E-F)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. (\(\Leftarrow\)): 열린집합 \(\mathcal{O}\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\subset\mathcal{O}\)이고 \(m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon\)라고 하자. \(E-F\subset\mathcal{O}-F\)이므로 \(m^{*}(E-F)\leq m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon\)이고 1.13의 (iii)에 의해 \(E\)는 가측집합이다. (QED)

1.15 \(E\)를 유한 외측도 값을 갖는 가측집합이라 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 유한개의 서로소인 열린구간들의 집합 \(\{I_{k}\}_{k=1}^{n}\)가 존재해서 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)일 때$$m^{*}(E-\mathcal{O})+m^{*}(\mathcal{O}-E)<\epsilon$$이다. 증명: 1.13의 (i)에 의해 열린집합 \(\mathcal{U}\)가 존재해서 \(E\subset\mathcal{U}\)이고 \(m^{*}(\mathcal{U}-E)<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(E\)는 가측집합이고 \(m^{*}(E)<\infty\)이므로 \(m^{*}(\mathcal{U}-E)=m^{*}(\mathcal{U})-m^{*}(E)\)이고 따라서 \(m^{*}(\mathcal{U})<\infty\)이다. 열린집합은 가산무한개의 서로소인 열린구간들 \(\{I_{n}\}\)의 합집합이므로 \(\displaystyle\mathcal{U}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이다. 구간은 가측집합이고 외측도 값은 구간의 길이이므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$\sum_{k=1}^{n}{\ell(I_{k})}=m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\right)\leq m^{*}(\mathcal{U})<\infty$$이고 이 부등식의 각 변은 \(n\)에 대해 독립적이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<\infty\)이고 자연수 \(n\)을 선택하여 \(\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{\ell(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}\)가 되도록 할 수 있다. \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)라 하자. \(\mathcal{O}-E\subset\mathcal{U}-E\)이므로$$m^{*}(\mathcal{O}-E)\leq m^{*}(\mathcal{U}-E)<\frac{\epsilon}{2}$$이고 \(E\subset\mathcal{U}\)이므로 \(\displaystyle E-\mathcal{O}\subset\mathcal{U}-\mathcal{O}=\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{I_{k}}\)가 성립한다. 외측도의 정의에 의해$$m^{*}(E-\mathcal{O})\leq\sum_{k=n+1}^{\infty}{\ell(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}$$이고 따라서$$m^{*}(\mathcal{O}-E)+m^{*}(E-\mathcal{O})<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson