[르베그적분] 1-4. 가측집합의 근사

[르베그적분] 1-4. 가측집합의 근사

집합 $A$의 외측도 값이 유한하고 집합 $B$에 포함된다고($m^{*}(A)<\infty,\,A\subset B$) 하자. 그러면 $$m^{*}(B-A)=m^{*}(B)-m^{*}(A)$$ 가 성립하는데 이유는 $A$는 가측집합이고 $m^{*}(A)<\infty$이므로 $$m^{*}(B)=m^{*}(B\cap A)+m^{*}(B\cap A^{c})=m^{*}(A)+m^{*}(B-A)$$ 가 성립하기 때문이다.

1.13 $E\subset\mathbb{R}$를 임의의 집합이라 하자. 다음의 명제들은 명제 "$E$는 가측집합이다 (m)"와 동치이다. (열린집합과 $G_{\delta}$집합에 의한 외부로의 근사) (i) 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $E$를 포함하는 열린집합 $\mathcal{O}$가 존재해서 $m^{*}(\mathcal{O}-E)<\epsilon$이다. (ii) $E$를 포함하는 $G_{\delta}$집합 $G$가 존재해서 $m^{*}(G-E)=0$이다. (닫힌집합과 $F_{\sigma}$)집합에 의한 내부로의 근사) (iii) 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $E$에 포함되는 닫힌집합 $F$가 존재해서 $m^{*}(E-F)<\epsilon$이다. (iv) $E$에 포함되는 $F_{\sigma}$집합 $F$가 존재해서 $m^{*}(E-F)=0$이다. 증명: (m)$\Rightarrow$(i): $E$를 가측집합, $\epsilon$을 임의의 양수라고 하자. (1) $m^{*}(E)<\infty$라 하자. 그러면 외측도의 정의에 의해 가산무한개의 열린구간들을 모은 집합 $\{I_{n}\}$이 존재해서 $$E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(E)+\epsilon$$ 이다. $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이라 하자. 그러면 $E\subset\mathcal{O}$이고 $m^{*}(\mathcal{O})$의 정의에 의해 $$m^{*}(\mathcal{O})\leq\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<m^{*}(E)+\epsilon$$ 이다. $m^{*}(E)<\infty$이므로 따라서 $m^{*}(\mathcal{O}-E)=m^{*}(\mathcal{O})-m^{*}(E)<\epsilon$이다. (2) $m^{*}(E)=\infty$라 하자. 그러면 $E$를 유한외측도를 갖는 서로소인 가산무한개의 가측집합$\{E_{n}\}$의 합집합으로 나타낼 수 있는데 $\{E_{n}\}$의 원소들은 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 열린집합 $\mathcal{O}_{n}$이 존재해서 $E_{n}\subset\mathcal{O}_{n}$이고 $\displaystyle m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E_{n})<\frac{\epsilon}{2^{n}}$이다. $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}$은 열린집합이고 $E$를 포함하며 $$\mathcal{O}-E=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}\right)-E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{(\mathcal{O}_{n}-E_{n})}$$ 이다. 따라서 $$m^{*}(\mathcal{O}-E)\leq\sum_{n=1}^{\infty}{m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E_{n})}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\epsilon}{2^{n}}}=\epsilon$$ 이다. (i)$\Rightarrow$(ii): 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 열린집합 $\mathcal{O}_{n}$을 선택하여 $E\subset\mathcal{O}_{n}$, $\displaystyle m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E)<\frac{1}{n}$이라 하자. $\displaystyle G=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{O}_{n}}$라고 하면 $G$는 $G_{\delta}$집합이고 $E$를 포함한다. 또한 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $G-E\subset\mathcal{O}_{n}-E$이므로 $$m^{*}(G-E)\leq m^{*}(\mathcal{O}_{n}-E)<\frac{1}{n}$$ 이다. $n$은 임의의 자연수이므로 $m^{*}(G-E)=0$이다. (ii)$\Rightarrow$(m): $m^{*}(G-E)=0$이므로 1.5에 의해 $G-E$는 가측집합이고 $G$도 가측집합이다. $E=G\cap(G-E)^{c}$이므로 1.6에 의해 $E$는 가측집합이다. (m)$\Rightarrow$(iii): $E^{c}$는 가측집합이므로 (ii)에 의해 열린집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $E^{c}\subset\mathcal{O}$이고 $m^{*}(\mathcal{O}-E^{c})<\epsilon$이다. $F=\mathcal{O}^{c}$라 하자. 그러면 $E^{c}\subset\mathcal{O}$이므로 $F\subset E$이고 $\mathcal{O}-E^{c}=\mathcal{O}\cap E=E\cap\mathcal{O}=E-F=E-F$이므로 따라서 $\displaystyle m^{*}(E-F)<\epsilon$이다. (iii)$\Rightarrow$(iv): 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 닫힌집합 $F_{n}$을 선택하여 $F_{n}\subset E$, $\displaystyle m^{*}(E-F_{n})<\frac{1}{n}$이라 하자. $\displaystyle F=\bigcup_{n=1}^{\infty}{F_{n}}$라고 하면 $F$는 $F_{\sigma}$집합이고 $E$에 포함된다. 또한 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E-F\subset E-F_{n}$이므로 $$m^{*}(E-F)\leq m^{*}(E-F_{n})<\frac{1}{n}$$ 이다. $n$은 임의의 자연수이므로 $m^{*}(E-F)=0$이다. (iv)$\Rightarrow$(m): $F$와 $E-F$는 가측집합이고 $E=F\cup(E-F)$이므로 따라서 $E$는 가측집합이다. (QED)

1.14 집합 $E$가 가측집합일 필요충분조건은 열린집합 $\mathcal{O}$와 닫힌집합 $F$가 존재해서 $F\subset E\subset\mathcal{O}$이고 $m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon$이다. 증명: ($\Rightarrow$): $E$가 가측집합이므로 1.13의 (i)와 (iii)에 의해 열린집합 $\mathcal{O}$와 닫힌집합 $F$가 존재해서 $F\subset E\subset\mathcal{O}$이고 $$m^{*}(\mathcal{O}-E)<\frac{\epsilon}{2},\,m^{*}(E-F)<\frac{\epsilon}{2}$$ 이다. $\mathcal{O}-F=(\mathcal{O}-E)\cup(E-F)$이므로 따라서 $$m^{*}(\mathcal{O}-F)\leq m^{*}(\mathcal{O}-E)+m^{*}(E-F)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다. ($\Leftarrow$): 열린집합 $\mathcal{O}$와 닫힌집합 $F$가 존재해서 $F\subset E\subset\mathcal{O}$이고 $m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon$라고 하자. $E-F\subset\mathcal{O}-F$이므로 $m^{*}(E-F)\leq m^{*}(\mathcal{O}-F)<\epsilon$이고 1.13의 (iii)에 의해 $E$는 가측집합이다. (QED)

1.15 $E$를 유한 외측도 값을 갖는 가측집합이라 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 유한개의 서로소인 열린구간들의 집합 $\{I_{k}\}_{k=1}^{n}$가 존재해서 $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}$일 때 $$m^{*}(E-\mathcal{O})+m^{*}(\mathcal{O}-E)<\epsilon$$ 이다. 증명: 1.13의 (i)에 의해 열린집합 $\mathcal{U}$가 존재해서 $E\subset\mathcal{U}$이고 $m^{*}(\mathcal{U}-E)<\frac{\epsilon}{2}$이다. $E$는 가측집합이고 $m^{*}(E)<\infty$이므로 $m^{*}(\mathcal{U}-E)=m^{*}(\mathcal{U})-m^{*}(E)$이고 따라서 $m^{*}(\mathcal{U})<\infty$이다. 열린집합은 가산무한개의 서로소인 열린구간들 $\{I_{n}\}$의 합집합이므로 $\displaystyle\mathcal{U}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이다. 구간은 가측집합이고 외측도 값은 구간의 길이이므로 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{n}{\ell(I_{k})}=m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\right)\leq m^{*}(\mathcal{U})<\infty$$ 이고 이 부등식의 각 변은 $n$에 대해 독립적이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<\infty$이고 자연수 $n$을 선택하여 $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{\ell(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}$가 되도록 할 수 있다. $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}$라 하자. $\mathcal{O}-E\subset\mathcal{U}-E$이므로 $$m^{*}(\mathcal{O}-E)\leq m^{*}(\mathcal{U}-E)<\frac{\epsilon}{2}$$ 이고 $E\subset\mathcal{U}$이므로 $\displaystyle E-\mathcal{O}\subset\mathcal{U}-\mathcal{O}=\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{I_{k}}$가 성립한다. 외측도의 정의에 의해 $$m^{*}(E-\mathcal{O})\leq\sum_{k=n+1}^{\infty}{\ell(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}$$ 이고 따라서 $$m^{*}(\mathcal{O}-E)+m^{*}(E-\mathcal{O})<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson