[르베그 적분] 1-6. 비가측집합

[르베그 적분] 1-6. 비가측집합

앞에서 가측집합들을 모은 집합 \(\mathcal{M}\)에서 정의되는 르베그 측도 \(m\)은 1.16의 성질 (1), (2), (3)을 만족한다. 사실 르베그 측도 \(m\)은 모든 실수의 부분집합에서 정의할 수 없다. 여기서 이러한 이유를 밝히도록 하겠다.

1.19 \(E\subset\mathbb{R}\)을 유계가측집합이라 하고 가산무한개의 실수들의 유계집합 \(\Lambda\)가 존재해서 \(\{\lambda+E\}_{\lambda\in\Lambda}\)의 원소들이 서로소라고 하자. 그러면 \(m(E)=0\)이다. 증명: \(\{\lambda+E\}_{\lambda\in\Lambda}\)는 서로소인 가측집합이므로$$m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda}{m(\lambda+E)}$$이다. \(E\)와 \(\Lambda\)는 유계집합이므로 \(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}\)는 유계집합이고 따라서 측도값이 유한이다. 따라서 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}\right)\)는 유한하다. 그런데 \(m(\lambda+E)=m(E)\)이고 \(\Lambda\)에는 가산무한개의 집합이 있기 때문에 \(m(E)=0\)이어야 한다. (QED)

집합 \(E\subset\mathbb{R}\)의 원소 \(x,\,y\in E\)에 대하여 관계 \(x\sim y\)를 \(x-y\in\mathbb{Q}\)로 정의하자. 그러면 관계 \(\sim\)은 동치관계이고 이 동치관계에 의한 동치류들을 집합으로 하는 상집합 \(E/\sim\)을 구성할 수 있다. 선택공리를 사용하여 각각의 동치류에서 한 실수를 선택해서 이러한 실수들을 모은 집합을 \(\mathcal{C}_{E}\)라 하자. 그러면 집합 \(\mathcal{C}_{E}\)는 다음 성질들을 만족한다.

(i) \(x,\,y\in\mathcal{C}_{E},\,x\neq y\)에 대하여 \(x-y\notin\mathbb{Q}\)

(ii) 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(c\in\mathcal{C}_{E}\)가 존재해서 \(x=c+q\)(\(q\in\mathbb{Q}\))

\(\mathcal{C}_{E}\)의 첫 번째 성질인 (i)를 "임의의 \(\Lambda\subset\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\{\lambda+\mathcal{C}_{E}\}_{\lambda\in\Lambda}\)의 원소들은 서로소이다"라고 할 수 있다.

1.20 양의 외측도 값을 갖는 임의의 집합 \(E\subset\mathbb{R}\)에는 비가측집합(nonmeasurable set)이 존재한다. 증명: \(E\)를 양의 외측도 값을 갖는 유계집합, \(\mathcal{C}_{E}\)를 앞에서 정의된 동치관계 \(\sim\)의 동치류의 한 원소들을 선택공리를 사용해서 모은 집합이라 하자. \(\mathcal{C}_{E}\)가 비가측집합임을 보일 것이다. \(\mathcal{C}_{E}\)를 가측집합, \(\Lambda_{0}\)를 가산무한개의 유리수들의 임의의 유계집합이라 하자. \(\mathcal{C}_{E}\)는 가측집합이므로 \(\{\lambda+\mathcal{C}_{E}\}_{\lambda\in\Lambda_{0}}\)의 원소들이 서로소라고 할 수 있고 1.19에 의해 \(0=m(\mathcal{C}_{E})=m(\lambda+\mathcal{C}_{E})\)이므로$$m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda_{0}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda_{0}}{m(\lambda+\mathcal{C}_{E})}=0$$이다. \(E\)는 유계집합이므로 적당한 구간 \([-b,\,b]\)에 포함된다. \(\Lambda_{0}=[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}\)라고 하면 \(\Lambda_{0}\)은 유계집합이고 유리수의 조밀성으로부터 가산무한개의 원소를 갖는다.$$E\subset\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}$$가 성립함을 보인다. \(\mathcal{C}_{E}\)의 두번째 성질에 의해 \(x\in E\)이면 \(c\in\mathcal{C}_{E}\)가 존재해서 \(x=c+q(q\in\mathbb{Q})\)이다. 그러나 \(x,\,c\in[-b,\,b]\)이므로 \(q\in[-2b,\,2b]\)이고 따라서 \(\displaystyle E\subset\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}\)가 성립하고 이는 모순이다. 왜냐하면 \(m(E)\neq0\)인데 \(m(\mathcal{C}_{E})=m(\lambda+\mathcal{C}_{E})=0\)이므로 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}\right)=\sum_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{m(\lambda+\mathcal{C}_{E})}=0\)이기 때문이다. 따라서 \(\mathcal{C}_{E}\)는 비가측집합이다. (QED)

1.21 집합 \(E\subset\mathbb{R}\)의 모든 부분집합이 가측집합이면 \(m(E)=0\)이다. 증명: \(x,\,y\in\mathbb{R}\)에 대하여 관계 \(x\sim y\)를 \(x-y\in\mathbb{Q}\)라고 하자. 그러면 이 관계는 동치관계이고 이 동치관계에 의한 동치류들을 집합으로 하는 상집합 \(\mathbb{R}/\sim\)을 구성할 수 있다. 각각의 동치류에서 실수 하나를 선택해서 이러한 실수들의 집합을 \(P\)라고 하자. 그러면 \(\{P+r\}_{r\in\mathbb{Q}}\)의 원소들은 서로소이고 그 합집합은 \(\mathbb{R}\)이다. 정수 \(n\in\mathbb{Z}\)와 유리수 \(r\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(Q=E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r)\)이라 하면 \(\{Q+s\}_{s\in\mathbb{Q}}\)의 원소들도 서로소이고 \(\displaystyle\bigcup_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{(Q+s)}\subset[n,\,n+2]\)이므로$$2=m([n,\,n+2])\geq m\left(\bigcup_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{(Q+s)}\right)=\sum_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{m(Q+s)}=\sum_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{m(Q)}$$이다. 따라서 \(m(Q)=0\)이고 모든 \(n\in\mathbb{Z}\)에 대하여$$m(E\cap[n,\,n+1))=m\left(\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}{[E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r)]}\right)=\sum_{r\in\mathbb{Q}}{m(E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r))}=0$$이므로 \(\displaystyle m(E)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}{m(E\cap[n,\,n+1))}=0\)이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원