[르베그 적분] 1-6. 비가측집합

[르베그 적분] 1-6. 비가측집합

앞에서 가측집합들을 모은 집합 $\mathcal{M}$에서 정의되는 르베그 측도 $m$은 1.16의 성질 (1), (2), (3)을 만족한다. 사실 르베그 측도 $m$은 모든 실수의 부분집합에서 정의할 수 없다. 여기서 이러한 이유를 밝히도록 하겠다.

1.19 $E\subset\mathbb{R}$을 유계가측집합이라 하고 가산무한개의 실수들의 유계집합 $\Lambda$가 존재해서 $\{\lambda+E\}_{\lambda\in\Lambda}$의 원소들이 서로소라고 하자. 그러면 $m(E)=0$이다. 증명: $\{\lambda+E\}_{\lambda\in\Lambda}$는 서로소인 가측집합이므로 $$m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda}{m(\lambda+E)}$$ 이다. $E$와 $\Lambda$는 유계집합이므로 $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}$는 유계집합이고 따라서 측도값이 유한이다. 따라서 $\displaystyle m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{(\lambda+E)}\right)$는 유한하다. 그런데 $m(\lambda+E)=m(E)$이고 $\Lambda$에는 가산무한개의 집합이 있기 때문에 $m(E)=0$이어야 한다. (QED)

집합 $E\subset\mathbb{R}$의 원소 $x,\,y\in E$에 대하여 관계 $x\sim y$를 $x-y\in\mathbb{Q}$로 정의하자. 그러면 관계 $\sim$은 동치관계이고 이 동치관계에 의한 동치류들을 집합으로 하는 상집합 $E/\sim$을 구성할 수 있다. 선택공리를 사용하여 각각의 동치류에서 한 실수를 선택해서 이러한 실수들을 모은 집합을 $\mathcal{C}_{E}$라 하자. 그러면 집합 $\mathcal{C}_{E}$는 다음 성질들을 만족한다.

(i) $x,\,y\in\mathcal{C}_{E},\,x\neq y$에 대하여 $x-y\notin\mathbb{Q}$

(ii) 모든 $x\in E$에 대하여 $c\in\mathcal{C}_{E}$가 존재해서 $x=c+q$($q\in\mathbb{Q}$)

$\mathcal{C}_{E}$의 첫 번째 성질인 (i)를 "임의의 $\Lambda\subset\mathbb{Q}$에 대하여 $\{\lambda+\mathcal{C}_{E}\}_{\lambda\in\Lambda}$의 원소들은 서로소이다"라고 할 수 있다.

1.20 양의 외측도 값을 갖는 임의의 집합 $E\subset\mathbb{R}$에는 비가측집합(nonmeasurable set)이 존재한다. 증명: $E$를 양의 외측도 값을 갖는 유계집합, $\mathcal{C}_{E}$를 앞에서 정의된 동치관계 $\sim$의 동치류의 한 원소들을 선택공리를 사용해서 모은 집합이라 하자. $\mathcal{C}_{E}$가 비가측집합임을 보일 것이다. $\mathcal{C}_{E}$를 가측집합, $\Lambda_{0}$를 가산무한개의 유리수들의 임의의 유계집합이라 하자. $\mathcal{C}_{E}$는 가측집합이므로 $\{\lambda+\mathcal{C}_{E}\}_{\lambda\in\Lambda_{0}}$의 원소들이 서로소라고 할 수 있고 1.19에 의해 $0=m(\mathcal{C}_{E})=m(\lambda+\mathcal{C}_{E})$이므로 $$m\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda_{0}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda_{0}}{m(\lambda+\mathcal{C}_{E})}=0$$ 이다. $E$는 유계집합이므로 적당한 구간 $[-b,\,b]$에 포함된다. $\Lambda_{0}=[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}$라고 하면 $\Lambda_{0}$은 유계집합이고 유리수의 조밀성으로부터 가산무한개의 원소를 갖는다. $$E\subset\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}$$ 가 성립함을 보인다. $\mathcal{C}_{E}$의 두번째 성질에 의해 $x\in E$이면 $c\in\mathcal{C}_{E}$가 존재해서 $x=c+q(q\in\mathbb{Q})$이다. 그러나 $x,\,c\in[-b,\,b]$이므로 $q\in[-2b,\,2b]$이고 따라서 $\displaystyle E\subset\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}$가 성립하고 이는 모순이다. 왜냐하면 $m(E)\neq0$인데 $m(\mathcal{C}_{E})=m(\lambda+\mathcal{C}_{E})=0$이므로 $\displaystyle m\left(\bigcup_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{(\lambda+\mathcal{C}_{E})}\right)=\sum_{\lambda\in[-2b,\,2b]\cap\mathbb{Q}}{m(\lambda+\mathcal{C}_{E})}=0$이기 때문이다. 따라서 $\mathcal{C}_{E}$는 비가측집합이다. (QED)

1.21 집합 $E\subset\mathbb{R}$의 모든 부분집합이 가측집합이면 $m(E)=0$이다. 증명: $x,\,y\in\mathbb{R}$에 대하여 관계 $x\sim y$를 $x-y\in\mathbb{Q}$라고 하자. 그러면 이 관계는 동치관계이고 이 동치관계에 의한 동치류들을 집합으로 하는 상집합 $\mathbb{R}/\sim$을 구성할 수 있다. 각각의 동치류에서 실수 하나를 선택해서 이러한 실수들의 집합을 $P$라고 하자. 그러면 $\{P+r\}_{r\in\mathbb{Q}}$의 원소들은 서로소이고 그 합집합은 $\mathbb{R}$이다. 정수 $n\in\mathbb{Z}$와 유리수 $r\in\mathbb{Q}$에 대하여 $Q=E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r)$이라 하면 $\{Q+s\}_{s\in\mathbb{Q}}$의 원소들도 서로소이고 $\displaystyle\bigcup_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{(Q+s)}\subset[n,\,n+2]$이므로 $$2=m([n,\,n+2])\geq m\left(\bigcup_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{(Q+s)}\right)=\sum_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{m(Q+s)}=\sum_{s\in[0,\,1]\cap\mathbb{Q}}{m(Q)}$$ 이다. 따라서 $m(Q)=0$이고 모든 $n\in\mathbb{Z}$에 대하여 $$m(E\cap[n,\,n+1))=m\left(\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}{[E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r)]}\right)=\sum_{r\in\mathbb{Q}}{m(E\cap[n,\,n+1)\cap(P+r))}=0$$ 이므로 $\displaystyle m(E)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}{m(E\cap[n,\,n+1))}=0$이다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원