[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (1)

[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (1)

\(E\)에서의 가측함수 \(f\)가 유한측도집합 바깥에서 사라진다(vanish outside)는 것은 \(E_{0}\subset E\)가 존재해서 \(m(E_{0})<\infty\)이고 \(E-E_{0}\)에서 \(f=0\)인 것이다. 이를 함수 \(f\)가 유한받침(finite support)을 갖는다고 하면 편하다. 여기서의 받침은 \(\{x\in E\,|\,f(x)\neq0\}\)이고 \(m(\{x\in E\,|\,f(x)\neq0\})<\infty\)이다.

지금까지는 유한측도집합 \(E\)에서 유계가측함수 \(f\)의 적분을 정의했었다. 그러나 \(m(E)=\infty\)일지라도 \(f\)가 \(E\)에서 유계가측함수이고 유한받침을 가지면, \(f\)의 \(E\)에서의 적분을 다음과 같이 정의할 수 있다:

$$\int_{E}{fdm}=\int_{E_{0}}{fdm}$$

여기서 \(m(E_{0})<\infty\)이고 \(E-E_{0}\)에서 \(f=0\)이다. 위의 적분은 잘 정의된다. 즉, 유한측도집합 바깥에서 사라지게 하는 유한측도집합 \(E_{0}\)의 선택과 무관하다. 이는 3.6의 결과이기도 하다.

\(E\)에서 음이 아닌 가측함수 \(f\)의 \(E\)에서의 적분은 유한받침을 갖는 유계가측함수 \(h\)에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}$$

3.10 (체비쇼프의 부등식, Chebychev's inequality) 함수 \(f\)가 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 \(\lambda>0\)에 대하여 다음이 성립한다.$$m(\{x\in E\,|\,f(x)\geq\lambda\})\leq\frac{1}{\lambda}\int_{E}{fdm}$$ 증명: \(E_{\lambda}=\{x\in E\,|\,f(x)\geq\lambda\}\)라 하자. (1) \(m(E_{\lambda})=\infty\)일 때, \(n\in\mathbb{N}\), \(E_{\lambda,\,n}=E_{\lambda}\cap[-n,\,n]\), \(\psi_{n}=\lambda\chi_{E_{\lambda,\,n}}\)이라 하자. 그러면 \(\psi_{n}\)은 유한받침을 갖는 유계가측함수이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(E\)에서$$\lambda m(E_{\lambda,\,n})=\int_{E}{\psi_{n}dm},\,0\leq\psi_{n}\leq f$$이다. 따라서$$\infty=\lambda m(E_{\lambda})=\lambda\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{\lambda,\,n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}\leq\int_{E}{fdm}$$이므로 체비쇼프의 부등식이 성립한다. (2) \(m(E_{\lambda})<\infty\)일 때, \(h=\lambda\chi_{E_{\lambda}}\)라 하자. 그러면 \(h\)는 \(E\)에서 유한받침을 갖는 유계가측함수이고 \(0\leq h\leq f\)이다. \(f\)의 \(E\)에서의 적분의 정의에 의해$$\lambda m(E_{\lambda})=\int_{E}{hdm}\leq\int_{E}{fdm}$$이고 이 부등식의 양 변을 \(\lambda\)로 나누면 체비쇼프의 부등식을 얻는다. (QED)

3.11 함수 \(f\)를 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=0\)일 필요충분조건은 \(f=0\,a.e.\)이다. 증명 (\(\Rightarrow\)): \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=0\)이라 하자. 그러면 체비쇼프의 부등식에 의해, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle m\left(\left\{x\in E\,|\,f(x)\geq\frac{1}{n}\right\}\right)=0\)이고 따라서 \(m(\{x\in E\,|\,f(x)>0\})=0\)이므로 \(f=0\,a.e.\)이다. (\(\Leftarrow\)): \(E\)에서 \(f=0\,a.e.\)라 하고 \(\varphi\)를 \(E\)에서의 단순함수, \(h\)를 \(E\)에서 유한받침을 갖는 유계가측함수라 하고 \(0\leq\varphi\leq h\leq f\)라 하자. 그러면 \(E\)에서 \(\varphi=0\,a.e.\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{E}{\varphi dm}=0\)이다. 이는 \(0\leq\varphi\leq h\)인 모든 단순함수 \(\varphi\)에 대해 성립하므로 \(\displaystyle\int_{E}{hdm}=0\)이고 이는 모든 \(0=\varphi\leq h\leq f\)인 \(h\)에 대해 성립하므로 \(f\)의 \(E\)에서의 적분의 정의에 의해 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=0\)이다. (QED)

3.12 (단조수렴정리, Monotone convergence theorem) \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 음이 아닌 증가하는 가측함수열이라고 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. 증명: \(\{f_{n}\}\)은 \(E\)에서 \(f\)로 수렴하는 음이 아닌 증가하는 가측함수열이므로 \(f\)도 가측이다. 또한 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(0\leq f_{n}\leq f_{n+1}\leq f\)이므로$$\int_{E}{f_{n}dm}\leq\int_{E}{f_{n+1}dm}\leq\int_{E}{fdm}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\leq\int_{E}{fdm}\)이다. \(0<\alpha<1\)이라 하고 \(h\)를 \(0\leq h\leq f\)인 유한받침을 갖는 유계가측함수라 하자. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$E_{n}=\{x\in E\,|\,f_{n}(x)\geq\alpha h(x)\}$$라 하면 \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이고 \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이다. 따라서$$\int_{E_{n}}{\alpha hdm}=\alpha\int_{E_{n}}{hdm}\leq\int_{E_{n}}{f_{n}dm}\leq\int_{E}{f_{n}dm}$$이고 \(\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1},\,E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{hdm}}=\int_{E}{hdm}\)이고 위 부등식에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 \(\displaystyle\alpha\int_{E}{hdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\)이다. \(\alpha\)는 \(0<\alpha<1\)인 임의의 실수이므로 \(\displaystyle\int_{E}{hdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\)이고 \(h\)는 \(0\leq h\leq f\)인 유한받침을 갖는 유계가측함수이므로 \(f\)의 \(E\)에서의 적분의 정의에 의해$$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$이다. 그러므로 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. (QED)

이 단조수렴정리를 이용하여 음이 아닌 가측함수 \(f\)의 적분을 최소상계의 정의가 아닌 \(f\)로 수렴하는 증가하는 함수열 \(\{f_{n}\}\)을 선택해서 적분을 한 다음 극한을 취함으로써 구할 수 있다.

예를들어 함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)의 구간 \([0,\,1]\)에서의 적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}\)를 구하자.

$$f_{n}(x)=\begin{cases}n,\,&\left(0<x<\frac{1}{n^{2}}\right)\\ \frac{1}{\sqrt{x}},\,&\left(\frac{1}{n^{2}}\leq x\leq 1\right)\\0,\,&(x=0)\end{cases}$$라고 하면 \(f_{n}\)은 \(f\)로 증가하며 점별수렴하고$$\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}=\int_{0}^{\frac{1}{n^{2}}}{ndx}+\int_{\frac{1}{n^{2}}}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=\frac{1}{n}+\left(2-\frac{2}{n}\right)=2-\frac{1}{n}$$이다. 따라서 단조수렴정리로부터$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(2-\frac{1}{n}\right)}=2$$이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=2\)이다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원