[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (1)

[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (1)

$E$에서의 가측함수 $f$가 유한측도집합 바깥에서 사라진다(vanish outside)는 것은 $E_{0}\subset E$가 존재해서 $m(E_{0})<\infty$이고 $E-E_{0}$에서 $f=0$인 것이다. 이를 함수 $f$가 유한받침(finite support)을 갖는다고 하면 편하다. 여기서의 받침은 $\{x\in E\,|\,f(x)\neq0\}$이고 $m(\{x\in E\,|\,f(x)\neq0\})<\infty$이다.

지금까지는 유한측도집합 $E$에서 유계가측함수 $f$의 적분을 정의했었다. 그러나 $m(E)=\infty$일지라도 $f$가 $E$에서 유계가측함수이고 유한받침을 가지면, $f$의 $E$에서의 적분을 다음과 같이 정의할 수 있다:

$$\int_{E}{fdm}=\int_{E_{0}}{fdm}$$

여기서 $m(E_{0})<\infty$이고 $E-E_{0}$에서 $f=0$이다. 위의 적분은 잘 정의된다. 즉, 유한측도집합 바깥에서 사라지게 하는 유한측도집합 $E_{0}$의 선택과 무관하다. 이는 3.6의 결과이기도 하다.

$E$에서 음이 아닌 가측함수 $f$의 $E$에서의 적분은 유한받침을 갖는 유계가측함수 $h$에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}$$

3.10 (체비쇼프의 부등식, Chebychev's inequality) 함수 $f$가 $E$에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 $\lambda>0$에 대하여 다음이 성립한다. $$m(\{x\in E\,|\,f(x)\geq\lambda\})\leq\frac{1}{\lambda}\int_{E}{fdm}$$ 증명: $E_{\lambda}=\{x\in E\,|\,f(x)\geq\lambda\}$라 하자. (1) $m(E_{\lambda})=\infty$일 때, $n\in\mathbb{N}$, $E_{\lambda,\,n}=E_{\lambda}\cap[-n,\,n]$, $\psi_{n}=\lambda\chi_{E_{\lambda,\,n}}$이라 하자. 그러면 $\psi_{n}$은 유한받침을 갖는 유계가측함수이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $E$에서 $$\lambda m(E_{\lambda,\,n})=\int_{E}{\psi_{n}dm},\,0\leq\psi_{n}\leq f$$ 이다. 따라서 $$\infty=\lambda m(E_{\lambda})=\lambda\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{\lambda,\,n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{\psi_{n}dm}}\leq\int_{E}{fdm}$$ 이므로 체비쇼프의 부등식이 성립한다. (2) $m(E_{\lambda})<\infty$일 때, $h=\lambda\chi_{E_{\lambda}}$라 하자. 그러면 $h$는 $E$에서 유한받침을 갖는 유계가측함수이고 $0\leq h\leq f$이다. $f$의 $E$에서의 적분의 정의에 의해 $$\lambda m(E_{\lambda})=\int_{E}{hdm}\leq\int_{E}{fdm}$$ 이고 이 부등식의 양 변을 $\lambda$로 나누면 체비쇼프의 부등식을 얻는다. (QED)

3.11 함수 $f$를 $E$에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 $\displaystyle\int_{E}{fdm}=0$일 필요충분조건은 $f=0\,a.e.$이다. 증명 ($\Rightarrow$): $\displaystyle\int_{E}{fdm}=0$이라 하자. 그러면 체비쇼프의 부등식에 의해, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle m\left(\left\{x\in E\,|\,f(x)\geq\frac{1}{n}\right\}\right)=0$이고 따라서 $m(\{x\in E\,|\,f(x)>0\})=0$이므로 $f=0\,a.e.$이다. ($\Leftarrow$): $E$에서 $f=0\,a.e.$라 하고 $\varphi$를 $E$에서의 단순함수, $h$를 $E$에서 유한받침을 갖는 유계가측함수라 하고 $0\leq\varphi\leq h\leq f$라 하자. 그러면 $E$에서 $\varphi=0\,a.e.$이고 따라서 $\displaystyle\int_{E}{\varphi dm}=0$이다. 이는 $0\leq\varphi\leq h$인 모든 단순함수 $\varphi$에 대해 성립하므로 $\displaystyle\int_{E}{hdm}=0$이고 이는 모든 $0=\varphi\leq h\leq f$인 $h$에 대해 성립하므로 $f$의 $E$에서의 적분의 정의에 의해 $\displaystyle\int_{E}{fdm}=0$이다. (QED)

3.12 (단조수렴정리, Monotone convergence theorem) $\{f_{n}\}$을 $E$에서 음이 아닌 증가하는 가측함수열이라고 하자. $\{f_{n}\}$이 $E$에서 $f$로 점별수렴하면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. 증명: $\{f_{n}\}$은 $E$에서 $f$로 수렴하는 음이 아닌 증가하는 가측함수열이므로 $f$도 가측이다. 또한 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $0\leq f_{n}\leq f_{n+1}\leq f$이므로 $$\int_{E}{f_{n}dm}\leq\int_{E}{f_{n+1}dm}\leq\int_{E}{fdm}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\leq\int_{E}{fdm}$이다. $0<\alpha<1$이라 하고 $h$를 $0\leq h\leq f$인 유한받침을 갖는 유계가측함수라 하자. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $$E_{n}=\{x\in E\,|\,f_{n}(x)\geq\alpha h(x)\}$$ 라 하면 $E_{n}\subset E_{n+1}$이고 $\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이다. 따라서 $$\int_{E_{n}}{\alpha hdm}=\alpha\int_{E_{n}}{hdm}\leq\int_{E_{n}}{f_{n}dm}\leq\int_{E}{f_{n}dm}$$ 이고 $\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1},\,E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{hdm}}=\int_{E}{hdm}$이고 위 부등식에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 $\displaystyle\alpha\int_{E}{hdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$이다. $\alpha$는 $0<\alpha<1$인 임의의 실수이므로 $\displaystyle\int_{E}{hdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$이고 $h$는 $0\leq h\leq f$인 유한받침을 갖는 유계가측함수이므로 $f$의 $E$에서의 적분의 정의에 의해 $$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$ 이다. 그러므로 $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. (QED)

이 단조수렴정리를 이용하여 음이 아닌 가측함수 $f$의 적분을 최소상계의 정의가 아닌 $f$로 수렴하는 증가하는 함수열 $\{f_{n}\}$을 선택해서 적분을 한 다음 극한을 취함으로써 구할 수 있다.

예를들어 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$의 구간 $[0,\,1]$에서의 적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}$를 구하자.

$$f_{n}(x)=\begin{cases}n,\,&\left(0<x<\frac{1}{n^{2}}\right)\\ \frac{1}{\sqrt{x}},\,&\left(\frac{1}{n^{2}}\leq x\leq 1\right)\\0,\,&(x=0)\end{cases}$$ 라고 하면 $f_{n}$은 $f$로 증가하며 점별수렴하고 $$\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}=\int_{0}^{\frac{1}{n^{2}}}{ndx}+\int_{\frac{1}{n^{2}}}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=\frac{1}{n}+\left(2-\frac{2}{n}\right)=2-\frac{1}{n}$$ 이다. 따라서 단조수렴정리로부터 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(2-\frac{1}{n}\right)}=2$$ 이므로 $\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=2$이다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원