[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (2)

[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (2)

집합 \(E\)에서 정의된 음이 아닌 가측함수 \(f\)의 \(E\)에서의 적분의 정의는 유한받침을 갖는 \(0\leq h\leq f\)인 유계가측함수 \(h\)에 대하여$$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}$$이다. 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(f_{n}(x)=\min\{f(x),\,n\}\)이라 하고 유한받침을 갖는다고 하면 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}\)은 \(f\)로 증가하며 점별수렴하는 음이 아닌 유계가측함수열고 유한받침을 갖는다. 그러면 단조수렴정리와 정의로부터$$\int_{E}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\sup_{0\leq f_{n}\leq f}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$이 성립한다.

3.13 함수 \(f\)와 \(g\)를 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 임의의 \(\alpha,\,\beta>0\)에 대하여 $$\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}$$이고, \(E\)에서 \(f\leq g\)이면$$\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$$이다. 증명: 먼저 \(\alpha=\beta=1\)일 때 성립함을 보이자. \(h=f+g,\,f_{n}=\min\{f,\,n\},\,g_{n}=\min\{g,\,n\},\,h_{n}=\min\{h,\,n\}\)이라 하고 \(f_{n},\,g_{n},\,h_{n}\)은 유한받침을 갖는다고 하자. 그러면 \(x\in E\)에 대하여$$\min\{f(x)+g(x),\,n\}\leq\min\{f(x),\,n\}+\min\{g(x),\,n\}\leq\min\{f(x)+g(x),\,2n\}$$이므로 \(h_{n}\leq f_{n}+g_{n}\leq h_{2n}\)이고 \(f_{n},\,g_{n},\,h_{n}\)은 각각 \(f,\,g,\,h\)로 점별수렴한다. 단조수렴정리로부터 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}=\int_{E}{gdm}\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\int_{E}{f_{n}dm}+\int_{E}{g_{n}dm}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{2n}dm}}=\int_{E}{(f+g)dm}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}\)이다. 또한 \(\alpha>0\)에 대하여 $$\int_{E}{\alpha fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{\alpha f_{n}dm}}=\alpha\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$이므로 \(\displaystyle\int_{E}{\alpha fdm}=\alpha\int_{E}{fdm}\)이다. 마지막으로 \(E\)에서 \(f\leq g\)일 때, \(g-f\geq0\)이므로 \(l=f-g,\,l_{n}=\min\{f-g,\,n\}\)이라 하면 \(l\geq l_{n}\geq0\)이므로$$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(f-g)dm}=\int_{E}{ldm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{l_{n}dm}}\geq0$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}\)이다. (QED)

3.14 \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수열이라 하자. \(\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)이 \(E\)에서 점별수렴하면, \(\displaystyle\int_{E}{fdm}=\int_{E}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)dm}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}\)이다. 증명: \(\displaystyle g_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}\)는 3.13에 의해 잘 정의된다. \(\{g_{n}\}\)에 단조수렴정리를 적용한다. (QED)

가측집합 \(E\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 함수 \(f\)가 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수일 때, 유계함수의 경우처럼$$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$이다.

3.15 함수 \(f\)를 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수라 하자. \(A\)와 \(B\)가 서로소인 \(E\)의 가측부분집합이면$$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$이고, 특히 \(E_{0}\subset E\)이고 \(m(E_{0})=0\)이면,$$\int_{E}{fdm}=\int_{E-E_{0}}{fdm}$$이다. 증명: \(f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}\)이므로 \(\displaystyle\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}\)이 성립한다. 앞의 결과에 의해 \(\displaystyle\int_{E-E_{0}}{fdm}=\int_{E}{fdm}-\int_{E_{0}}{fdm}\)이므로 \(m(E_{0})=0\)일 때, \(\displaystyle\int_{E_{0}}{fdm}=0\)임을 보이면 된다. 먼저 단순함수일 때는 분명히 성립하고 유계가측함수일 때도 유계함수의 적분의 정의로부터 성립한다. 또한 음이 아닌 가측함수의 경우도 정의에 의해 성립한다. (QED)

3.16 (파투의 보조정리, Fatou's lemma) \(E\)에서 함수열 \(\{f_{n}\}\)을 음이 아닌 가측함수열이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}\right)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$ 특히 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 점별수렴하면, 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$ 증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle g_{n}=\inf_{k\geq n}{f_{k}}\)라 하자. 그러면 \(g_{n}\leq f_{n}\)이고 \(\{g_{n}\}\)은 증가하므로 그 극한은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}\)이다. 따라서 단조수렴정리로부터 $$\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\,infty}{\inf{f_{n}}}\right)dm}=\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}}\right)dm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$이 성립한다. \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 점별수렴하는 경우, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}=f\)이므로 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}\)이 성립한다. (QED)

\(E\)에서 정의된 음이 아닌 가측함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다는 것은 다음이 성립하는 것이다.

$$\int_{E}{fdm}<\infty$$

3.17 음이 아닌 가측함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 \(f\)는 거의 어디서나 유한하다. 증명: \(n\in\mathbb{N}\)이라 하자. 체비쇼프의 부등식으로부터 다음이 성립한다. $$m(\{x\in E\,|\,f(x)=\infty\})\leq m(\{x\in E\,|\,f(x)\geq n\})\leq\frac{1}{n}\int_{E}{fdm}$$ 이때 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}<\infty\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{E}{fdm}}=0\)이고 따라서 \(m(\{x\in E\,|\,f(x)=\infty\})=0\)이다. (QED)

3.18 (레비의 보조정리, Beppo Levi's lemma) \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 증가하는 음이 아닌 가측함수열이라 하자. \(\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}\)이 유계이면, \(\{f_{n}\}\)은 \(E\)에서 \(E\)의 거의 어디서나 유한한 가측함수 \(f\)로 수렴하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{fdm}}<\infty\)이다. 증명: 모든 \(x\in E\)에 대하여 \(\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}\)라 하자. 단조수렴정리로부터 \(\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}\)은 \(\int_{E}{fdm}\)으로 수렴한다. 이때 \(\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}\)은 유계이므로 \(\displaystyle\int_{E}{fdm}<\infty\)이고 3.17에 의해 \(f\)는 \(E\)의 거의 어디서나 유한하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원