[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (2)

[르베그적분] 3-2 음이 아닌 가측함수의 르베그적분 (2)

집합 $E$에서 정의된 음이 아닌 가측함수 $f$의 $E$에서의 적분의 정의는 유한받침을 갖는 $0\leq h\leq f$인 유계가측함수 $h$에 대하여 $$\int_{E}{fdm}=\sup_{0\leq h\leq f}{\int_{E}{hdm}}$$ 이다. 모든 $x\in E$에 대하여 $f_{n}(x)=\min\{f(x),\,n\}$이라 하고 유한받침을 갖는다고 하면 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}$은 $f$로 증가하며 점별수렴하는 음이 아닌 유계가측함수열고 유한받침을 갖는다. 그러면 단조수렴정리와 정의로부터 $$\int_{E}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\sup_{0\leq f_{n}\leq f}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$ 이 성립한다.

3.13 함수 $f$와 $g$를 $E$에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 임의의 $\alpha,\,\beta>0$에 대하여 $$\int_{E}{(\alpha f+\beta g)dm}=\alpha\int_{E}{fdm}+\beta\int_{E}{gdm}$$ 이고, $E$에서 $f\leq g$이면 $$\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$$ 이다. 증명: 먼저 $\alpha=\beta=1$일 때 성립함을 보이자. $h=f+g,\,f_{n}=\min\{f,\,n\},\,g_{n}=\min\{g,\,n\},\,h_{n}=\min\{h,\,n\}$이라 하고 $f_{n},\,g_{n},\,h_{n}$은 유한받침을 갖는다고 하자. 그러면 $x\in E$에 대하여 $$\min\{f(x)+g(x),\,n\}\leq\min\{f(x),\,n\}+\min\{g(x),\,n\}\leq\min\{f(x)+g(x),\,2n\}$$ 이므로 $h_{n}\leq f_{n}+g_{n}\leq h_{2n}$이고 $f_{n},\,g_{n},\,h_{n}$은 각각 $f,\,g,\,h$로 점별수렴한다. 단조수렴정리로부터 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}=\int_{E}{gdm}$이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\int_{E}{f_{n}dm}+\int_{E}{g_{n}dm}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$$ 이다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{2n}dm}}=\int_{E}{(f+g)dm}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\int_{E}{(f+g)dm}=\int_{E}{fdm}+\int_{E}{gdm}$이다. 또한 $\alpha>0$에 대하여 $$\int_{E}{\alpha fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{\alpha f_{n}dm}}=\alpha\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\alpha\int_{E}{fdm}$$ 이므로 $\displaystyle\int_{E}{\alpha fdm}=\alpha\int_{E}{fdm}$이다. 마지막으로 $E$에서 $f\leq g$일 때, $g-f\geq0$이므로 $l=f-g,\,l_{n}=\min\{f-g,\,n\}$이라 하면 $l\geq l_{n}\geq0$이므로 $$\int_{E}{gdm}-\int_{E}{fdm}=\int_{E}{(f-g)dm}=\int_{E}{ldm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{l_{n}dm}}\geq0$$ 이고 따라서 $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\int_{E}{gdm}$이다. (QED)

3.14 $\{f_{n}\}$을 $E$에서 음이 아닌 가측함수열이라 하자. $\displaystyle f=\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이 $E$에서 점별수렴하면, $\displaystyle\int_{E}{fdm}=\int_{E}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\right)dm}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$이다. 증명: $\displaystyle g_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}$는 3.13에 의해 잘 정의된다. $\{g_{n}\}$에 단조수렴정리를 적용한다. (QED)

가측집합 $E$의 부분집합 $A$에 대하여 함수 $f$가 $E$에서 음이 아닌 가측함수일 때, 유계함수의 경우처럼 $$\int_{E}{f\chi_{A}dm}=\int_{A}{fdm}$$ 이다.

3.15 함수 $f$를 $E$에서 음이 아닌 가측함수라 하자. $A$와 $B$가 서로소인 $E$의 가측부분집합이면 $$\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$$ 이고, 특히 $E_{0}\subset E$이고 $m(E_{0})=0$이면, $$\int_{E}{fdm}=\int_{E-E_{0}}{fdm}$$ 이다. 증명: $f\chi_{A\cup B}=f\chi_{A}+f\chi_{B}$이므로 $\displaystyle\int_{A\cup B}{fdm}=\int_{A}{fdm}+\int_{B}{fdm}$이 성립한다. 앞의 결과에 의해 $\displaystyle\int_{E-E_{0}}{fdm}=\int_{E}{fdm}-\int_{E_{0}}{fdm}$이므로 $m(E_{0})=0$일 때, $\displaystyle\int_{E_{0}}{fdm}=0$임을 보이면 된다. 먼저 단순함수일 때는 분명히 성립하고 유계가측함수일 때도 유계함수의 적분의 정의로부터 성립한다. 또한 음이 아닌 가측함수의 경우도 정의에 의해 성립한다. (QED)

3.16 (파투의 보조정리, Fatou's lemma) $E$에서 함수열 $\{f_{n}\}$을 음이 아닌 가측함수열이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}\right)dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$ 특히 $\{f_{n}\}$이 $f$로 점별수렴하면, 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$$ 증명: 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle g_{n}=\inf_{k\geq n}{f_{k}}$라 하자. 그러면 $g_{n}\leq f_{n}$이고 $\{g_{n}\}$은 증가하므로 그 극한은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}$이다. 따라서 단조수렴정리로부터 $$\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\,infty}{\inf{f_{n}}}\right)dm}=\int_{E}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}}\right)dm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g_{n}dm}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}$$ 이 성립한다. $\{f_{n}\}$이 $f$로 점별수렴하는 경우, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{f_{n}}}=f$이므로 $\displaystyle\int_{E}{fdm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{f_{n}dm}}}$이 성립한다. (QED)

$E$에서 정의된 음이 아닌 가측함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다는 것은 다음이 성립하는 것이다.

$$\int_{E}{fdm}<\infty$$

3.17 음이 아닌 가측함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. 그러면 $f$는 거의 어디서나 유한하다. 증명: $n\in\mathbb{N}$이라 하자. 체비쇼프의 부등식으로부터 다음이 성립한다. $$m(\{x\in E\,|\,f(x)=\infty\})\leq m(\{x\in E\,|\,f(x)\geq n\})\leq\frac{1}{n}\int_{E}{fdm}$$ 이때 $\displaystyle\int_{E}{fdm}<\infty$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\int_{E}{fdm}}=0$이고 따라서 $m(\{x\in E\,|\,f(x)=\infty\})=0$이다. (QED)

3.18 (레비의 보조정리, Beppo Levi's lemma) $\{f_{n}\}$을 $E$에서 증가하는 음이 아닌 가측함수열이라 하자. $\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}$이 유계이면, $\{f_{n}\}$은 $E$에서 $E$의 거의 어디서나 유한한 가측함수 $f$로 수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{fdm}}<\infty$이다. 증명: 모든 $x\in E$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}$라 하자. 단조수렴정리로부터 $\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}$은 $\int_{E}{fdm}$으로 수렴한다. 이때 $\displaystyle\left\{\int_{E}{f_{n}dm}\right\}$은 유계이므로 $\displaystyle\int_{E}{fdm}<\infty$이고 3.17에 의해 $f$는 $E$의 거의 어디서나 유한하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석학의 이해, 이병무, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원