[르베그적분] 3-3 일반 르베그적분 (2)

[르베그적분] 3-3 일반 르베그적분 (2)

3.25 열린구간 \(I=(a_{x},\,b_{x}),\,J=(a_{y},\,b_{y})\)의 곱집합 \(I\times J\)에서 정의된 이변수실함수 \(f:\)가 모든 \(x\in I\)에 대하여 가측함수라고 하자. \(I\times J\)의 각 점에서 \(y\in J\)에 대한 편미분 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\)가 존재하고 \(I\)에서 적분가능한 함수 \(g\)가 존재해서 모든 \((x,\,y)\in I\times J\)에 대하여$$\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\right|\leq g(x)$$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\frac{d}{dy}\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)dx}$$ 증명: \(\displaystyle F(y)=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}\)라 하자. 모든 \(y_{0}\in J\)에 대하여 \(J-\{y_{0}\}\)상의 수열 \(\{y_{n}\}\)이 \(y_{0}\)로 수렴한다고 하자. 그러면$$\frac{F(y_{n})-F(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{f(x,\,y_{n})-f(x,\,y_{0})}{y_{n}-y_{0}}dx}$$이고 \(y\in J\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\)가 존재하며 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y_{0}\)이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x,\,y_{n})-f(x,\,y_{0})}{y-y_{0}}}=\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y_{0})$$이다. 또한 \(I\)에서 적분가능한 함수 \(g\)가 존재해서 모든 \((x,\,y)\in I\times J\)에 대하여$$\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\right|\leq g(x)$$이므로 따라서 르베그 지배수렴정리에 의해 $$\frac{d}{dy}\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)dx}$$ 가 성립한다. (QED)

3.26 함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하고 \(\{E_{n}\}\)을 \(E\)의 서로소인 가측 부분집합들을 모은 집합이라 하고 \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fdm}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$ 증명: 자연수 \(n\)에 대하여 \(f=f\chi_{F_{n}}\)이라 하자. 여기서 \(\displaystyle F_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}\)이다. 그러면 \(f_{n}\)은 \(E\)에서 가측이고 \(f\)로 점별수렴하며 \(\displaystyle\int_{F_{n}}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}\)이므로 르베그 지배수렴정리에 의해$$\int_{E}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{F_{n}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$이다. (QED)

3.27 함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하다고 하자. \(\{E_{n}\}\)이 \(E\)의 가측부분집합들을 모은 집합일 때 (1) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이면, \(\displaystyle\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}\)이다. (2) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이면, \(\displaystyle\int_{\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}\)이다.  증명: (1) \(E_{n}\subset E_{n+1}\)이면 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=E_{n}\)이므로$$\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$이다. (2) \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이면 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}{E_{k}}=E_{n}\)이므로$$\int_{\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{\bigcap_{k=1}^{n}{E_{k}}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$이다. (QED)

함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}\)는 \(\mathbb{R}\)에서 적분가능하지 않은 함수이나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{n}{f(x)dx}}=\frac{\pi}{2}\)이다.

\(n\leq x<n+1\)일 때 함수 \(\displaystyle g(x)=\frac{(-1)^{n}}{n}\)은 적분가능하지 않으나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{1}^{n}{g(x)dx}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\)의 값은 존재한다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원