[르베그적분] 3-3 일반 르베그적분 (2)

[르베그적분] 3-3 일반 르베그적분 (2)

3.25 열린구간 $I=(a_{x},\,b_{x}),\,J=(a_{y},\,b_{y})$의 곱집합 $I\times J$에서 정의된 이변수실함수 $f:$가 모든 $x\in I$에 대하여 가측함수라고 하자. $I\times J$의 각 점에서 $y\in J$에 대한 편미분 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$가 존재하고 $I$에서 적분가능한 함수 $g$가 존재해서 모든 $(x,\,y)\in I\times J$에 대하여 $$\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\right|\leq g(x)$$ 라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\frac{d}{dy}\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)dx}$$ 증명: $\displaystyle F(y)=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}$라 하자. 모든 $y_{0}\in J$에 대하여 $J-\{y_{0}\}$상의 수열 $\{y_{n}\}$이 $y_{0}$로 수렴한다고 하자. 그러면 $$\frac{F(y_{n})-F(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{f(x,\,y_{n})-f(x,\,y_{0})}{y_{n}-y_{0}}dx}$$ 이고 $y\in J$에 대하여 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)$가 존재하며 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y_{0}$이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x,\,y_{n})-f(x,\,y_{0})}{y-y_{0}}}=\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y_{0})$$ 이다. 또한 $I$에서 적분가능한 함수 $g$가 존재해서 모든 $(x,\,y)\in I\times J$에 대하여 $$\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)\right|\leq g(x)$$ 이므로 따라서 르베그 지배수렴정리에 의해 $$\frac{d}{dy}\int_{a_{x}}^{b_{x}}{f(x,\,y)dx}=\int_{a_{x}}^{b_{x}}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\,y)dx}$$ 가 성립한다. (QED)

3.26 함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하고 $\{E_{n}\}$을 $E$의 서로소인 가측 부분집합들을 모은 집합이라 하고 $\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fdm}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$ 증명: 자연수 $n$에 대하여 $f=f\chi_{F_{n}}$이라 하자. 여기서 $\displaystyle F_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}$이다. 그러면 $f_{n}$은 $E$에서 가측이고 $f$로 점별수렴하며 $\displaystyle\int_{F_{n}}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}$이므로 르베그 지배수렴정리에 의해 $$\int_{E}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{F_{n}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$ 이다. (QED)

3.27 함수 $f$가 $E$에서 적분가능하다고 하자. $\{E_{n}\}$이 $E$의 가측부분집합들을 모은 집합일 때 (1) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E_{n}\subset E_{n+1}$이면, $\displaystyle\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$이다. (2) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $E_{n+1}\subset E_{n}$이면, $\displaystyle\int_{\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$이다.  증명: (1) $E_{n}\subset E_{n+1}$이면 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}=E_{n}$이므로 $$\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{\bigcup_{k=1}^{n}{E_{k}}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$ 이다. (2) $E_{n+1}\subset E_{n}$이면 $\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}{E_{k}}=E_{n}$이므로 $$\int_{\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}}{fdm}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{\bigcap_{k=1}^{n}{E_{k}}}{fdm}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E_{n}}{fdm}}$$ 이다. (QED)

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$는 $\mathbb{R}$에서 적분가능하지 않은 함수이나 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{n}{f(x)dx}}=\frac{\pi}{2}$이다.

$n\leq x<n+1$일 때 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{(-1)^{n}}{n}$은 적분가능하지 않으나 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{1}^{n}{g(x)dx}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}}$의 값은 존재한다.

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

실해석, 김성기, 계승혁, 서울대학교출판문화원