[르베그적분] 3-4. 균등적분가능성: 비탈리 수렴정리

[르베그적분] 3-4. 균등적분가능성: 비탈리 수렴정리

3.28 \(E\)를 유한측도집합, \(\delta>0\)이라 하자. 그러면 \(E\)는 측도값이 \(\delta\)보다 작은 유한개의 서로소인 집합들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 증명:$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E-[-n,\,n])}=m(\emptyset)=0$$이므로 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(m(E-[-n_{0},\,n_{0}])<\delta\)라 하자. \([-n_{0},\,n_{0}]\)의 유한개의 분할을 선택해서 \(E\cap[-n_{0},\,n_{0}]\)을 측도값이 \(\delta\)보다 작은 유한개의 서로소인 집합들로 나타낸다. (QED)

3.29 함수 \(f\)가 \(E\)에서 가측이라 하자. \(f\)가 \(E\)에서 적분가능하면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(A\subset E\)가 가측집합이고 \(m(A)<\delta\)이면, \(\displaystyle\int_{A}{fdm}<\epsilon\)이다. 역은 \(m(E)<\infty\)일 때, 성립한다. 증명: \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}=\min\{f,\,n\}\)이라 하자. 그러면 \(f_{n}\leq f_{n+1}\)이고 \(\{f_{n}\}\)은 \(f\)로 점별수렴한다. 단조수렴정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이고 따라서 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)이 존재해서$$\int_{E}{f-f_{n_{0}}dm}=\left|\int_{E}{fdm}-\int_{E}{f_{n_{0}}dm}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(f_{n_{0}}\)는 유계이므로 \(M>0\)이 존재해서 \(|f_{n_{0}}|<M\)이고 \(0<\delta<\frac{\epsilon}{2M}\)이라 하자. 그러면 \(A\subset E\)가 \(m(A)<\delta\)이면,$$\int_{A}{fdm}=\int_{A}{(f-f_{n_{0}})dm}+\int_{A}{f_{n_{0}}dm}<\int_{E}{(f-f_{n_{0}})dm}+Mm(A)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. 역으로 \(m(E)<\infty\)일 때, \(f=f^{+}-f^{-}\)이므로 \(f\geq0\)이라 하고 가정이 성립한다고 하자. \(\delta_{0}>0,\,\epsilon=1\)이라 하면 \(m(E)<\infty\)이므로 3.28에 의해 \(E\)를 서로소인 유한개의 가측부분집합 \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그러므로$$\int_{E}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}<n$$이고 따라서 \(f\)는 적분가능하다. (QED)

임의의 \(x_{0}\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(A=(x_{0},\,x)\,(x_{0}\leq x)\)(\(x_{0}>x\)이면 \((x,\,x_{0})\))라 하자. 3.29에 의해 \(\mathbb{R}\)에서 적분가능한 함수 \(f\)에 대하여 함수 \(\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}\)는 실수 전체에서 연속이다.

3.29에 의해 \(|x-x_{0}|=m(A)<\delta\)일 때, \(\displaystyle|F(x)-F(x_{0})|=\left|\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}-\int_{-\infty}^{x_{0}}{f(t)dt}\right|=\left|\int_{x_{0}}^{x}{f(t)dt}\right|=\left|\int_{A}{fdm}\right|<\epsilon\)이기 때문이다. 

\(E\)에서의 가측집합들을 모은 집합 \(\mathcal{F}\)가 \(E\)에서 균등적분가능(uniformly integrable)하다는 것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 모든 \(f\in\mathcal{F}\)에 대하여 \(A\subset E\)가 가측집합이고 \(m(A)<\delta\)이면, \(\displaystyle\int_{A}{|f|dm}<\epsilon\)이 성립하는 것이다.

3.30 \(\{f_{k}\}_{k=1}^{n}\)를 \(E\)에서 적분가능한 유한개의 함수들을 모은 집합이라 하자. 그러면 \(\{f_{k}\}_{k=1}^{n}\)는 \(E\)에서 균등적분 가능하다. 증명: \(\epsilon>0\)이라 하자. 3.29에 의해 \(\delta_{k}>0\)가 존재해서 \(A\subset E\)이고 \(m(A)<\delta_{k}\)이면, \(\displaystyle\int_{A}{|f_{k}|dm}<\epsilon\)이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,...,\,\delta_{k}\}\)라 하면 임의의 \(f_{k}\)는 균등적분가능하다. (QED)

3.31 \(E\)를 유한측도집합이라 하고 \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 균등적분가능한 함수들의 집합이라 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하면, \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하다. 증명: \(\delta_{0}>0\)이라 하고 \(\epsilon=1\)이라 하자. \(m(E)<\infty\)이므로 3.28에 의해 \(E\)를 \(1\leq k\leq n\)에 대하여 \(m(E_{k})<\delta_{0}\)인 \(N\)개의 서로소인 유한개의 가측집합들 \(\{E_{k}\}_{k=1}^{n}\)의 합집합으로 나타낼 수 있다. 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여$$\int_{E}{|f_{n}|dm}=\sum_{k=1}^{N}{\int_{E_{k}}{|f_{n}|dm}}<N$$이다. 파투의 보조정리에 의해$$\int_{E}{|f|dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{|f_{n}|dm}}}\leq N$$이므로 따라서 \(|f|\)는 \(E\)에서 적분가능하다. (QED)

3.32 (비탈리 수렴정리, Vitali convergence theorem) 집합 \(E\)를 유한측도집합, \(\{f_{n}\}\)을 \(E\)에서 균등적분가능하다고 하자. \(\{f_{n}\}\)이 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하면 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{fdm}}\)이다. 증명: 3.31에 의해 \(f\)는 \(E\)에서 적분가능하고 따라서 \(E\)의 거의 어디서나 유한하다. \(E\)의 임의의 가측 부분집합 \(A\)와 임의의 자연수 \(n\)에 대하여$$\begin{align*}\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|&=\int_{E}{(f_{n}-f)dm}\\&\leq\int_{E}{|f_{n}-f|}\\&=\int_{E-A}{|f_{n}-f|dm}+\int_{A}{|f_{n}-f|dm}\\&\leq\int_{E-A}{|f_{n}-f|dm}+\int_{A}{|f_{n}|}+\int_{A}{|f|dm}+\int_{E}{|f|dm}\end{align*}$$이다. \(\epsilon>0\)이라 하자. \(\{f_{n}\}\)의 균등적분 가능성에 의해 \(\delta>0\)가 존재해서 임의의 가측 부분집합 \(A\subset E\)에 대하여 \(m(A)<\delta\) \(\displaystyle\int_{A}{|f_{n}dm|}<\frac{\epsilon}{3}\)이고 또한 파투의 보조정리로부터 \(\displaystyle\int_{A}{|f_{n}|dm}<\frac{\epsilon}{3}\)이다. \(m(E)<\infty\)이므로 에고로프의 정리에 의해 가측집합 \(E_{0}\)가 존재해서 \(\{f_{n}\}\)이 \(E-E_{0}\)에서 \(f\)로 균등수렴한다. \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(n\geq N\)일 때, \(E-E_{0}\)에서 \(\displaystyle|f_{n}-f|<\frac{\epsilon}{3m(E)}\)라 하자. \(A=E_{0}\)라고 하면$$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E-E_{0}}{|f_{n}-f|dm}+\int_{E_{0}}{|f_{n}|dm}+\int_{E_{0}}{|f|dm}<\frac{\epsilon}{3m(E)}m(E-E_{0})+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}<\epsilon$$이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}\)이다. (QED)

3.33 \(E\)를 유한측도집합이라 하고 \(\{h_{n}\}\)을 \(E\)에서 \(h=0\)으로 수렴하는 음이 아닌 적분가능한 함수열들의 집합이라 하자. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0\)일 필요충분조건은 \(\{h_{n}\}\)이 \(E\)에서 균등적분 가능한 것이다. 증명 (\(\Leftarrow\)): 비탈리 수렴정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0\)이다. (\(\Rightarrow\)): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0\)이라 하자. \(\epsilon>0\)이라 하면, \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle\int_{E}{h_{n}dm}<\epsilon\)이다. 그러므로 \(E\)에서 \(h_{n}\geq0\)이므로 \(A\subset E\)가 가측이고 \(n\geq N\)이면, \(\displaystyle\int_{A}{h_{n}dm}<\epsilon\)이다. 이는 \(n\geq N\)일 때 \(h_{n}\)이 균등적분 가능함을 뜻한다. 3.30에 의해 \(\{h_{n}\}_{n=1}^{N-1}\)는 \(E\)에서 균등적분 가능하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson