[르베그적분] 3-4. 균등적분가능성: 비탈리 수렴정리

[르베그적분] 3-4. 균등적분가능성: 비탈리 수렴정리

3.28 $E$를 유한측도집합, $\delta>0$이라 하자. 그러면 $E$는 측도값이 $\delta$보다 작은 유한개의 서로소인 집합들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 증명: $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E-[-n,\,n])}=m(\emptyset)=0$$ 이므로 $n_{0}\in\mathbb{N}$을 선택해서 $m(E-[-n_{0},\,n_{0}])<\delta$라 하자. $[-n_{0},\,n_{0}]$의 유한개의 분할을 선택해서 $E\cap[-n_{0},\,n_{0}]$을 측도값이 $\delta$보다 작은 유한개의 서로소인 집합들로 나타낸다. (QED)

3.29 함수 $f$가 $E$에서 가측이라 하자. $f$가 $E$에서 적분가능하면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $A\subset E$가 가측집합이고 $m(A)<\delta$이면, $\displaystyle\int_{A}{fdm}<\epsilon$이다. 역은 $m(E)<\infty$일 때, 성립한다. 증명: $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}=\min\{f,\,n\}$이라 하자. 그러면 $f_{n}\leq f_{n+1}$이고 $\{f_{n}\}$은 $f$로 점별수렴한다. 단조수렴정리에 의해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이고 따라서 $n_{0}\in\mathbb{N}$이 존재해서 $$\int_{E}{f-f_{n_{0}}dm}=\left|\int_{E}{fdm}-\int_{E}{f_{n_{0}}dm}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$ 이다. $f_{n_{0}}$는 유계이므로 $M>0$이 존재해서 $|f_{n_{0}}|<M$이고 $0<\delta<\frac{\epsilon}{2M}$이라 하자. 그러면 $A\subset E$가 $m(A)<\delta$이면, $$\int_{A}{fdm}=\int_{A}{(f-f_{n_{0}})dm}+\int_{A}{f_{n_{0}}dm}<\int_{E}{(f-f_{n_{0}})dm}+Mm(A)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다. 역으로 $m(E)<\infty$일 때, $f=f^{+}-f^{-}$이므로 $f\geq0$이라 하고 가정이 성립한다고 하자. $\delta_{0}>0,\,\epsilon=1$이라 하면 $m(E)<\infty$이므로 3.28에 의해 $E$를 서로소인 유한개의 가측부분집합 $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그러므로 $$\int_{E}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{E_{k}}{fdm}}<n$$ 이고 따라서 $f$는 적분가능하다. (QED)

임의의 $x_{0}\in\mathbb{R}$에 대하여 $A=(x_{0},\,x)\,(x_{0}\leq x)$($x_{0}>x$이면 $(x,\,x_{0})$)라 하자. 3.29에 의해 $\mathbb{R}$에서 적분가능한 함수 $f$에 대하여 함수 $\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}$는 실수 전체에서 연속이다.

3.29에 의해 $|x-x_{0}|=m(A)<\delta$일 때, $\displaystyle|F(x)-F(x_{0})|=\left|\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}-\int_{-\infty}^{x_{0}}{f(t)dt}\right|=\left|\int_{x_{0}}^{x}{f(t)dt}\right|=\left|\int_{A}{fdm}\right|<\epsilon$이기 때문이다. 

$E$에서의 가측집합들을 모은 집합 $\mathcal{F}$가 $E$에서 균등적분가능(uniformly integrable)하다는 것은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 모든 $f\in\mathcal{F}$에 대하여 $A\subset E$가 가측집합이고 $m(A)<\delta$이면, $\displaystyle\int_{A}{|f|dm}<\epsilon$이 성립하는 것이다.

3.30 $\{f_{k}\}_{k=1}^{n}$를 $E$에서 적분가능한 유한개의 함수들을 모은 집합이라 하자. 그러면 $\{f_{k}\}_{k=1}^{n}$는 $E$에서 균등적분 가능하다. 증명: $\epsilon>0$이라 하자. 3.29에 의해 $\delta_{k}>0$가 존재해서 $A\subset E$이고 $m(A)<\delta_{k}$이면, $\displaystyle\int_{A}{|f_{k}|dm}<\epsilon$이다. $\delta=\min\{\delta_{1},\,...,\,\delta_{k}\}$라 하면 임의의 $f_{k}$는 균등적분가능하다. (QED)

3.31 $E$를 유한측도집합이라 하고 $\{f_{n}\}$을 $E$에서 균등적분가능한 함수들의 집합이라 하자. $\{f_{n}\}$이 $E$에서 $f$로 점별수렴하면, $f$는 $E$에서 적분가능하다. 증명: $\delta_{0}>0$이라 하고 $\epsilon=1$이라 하자. $m(E)<\infty$이므로 3.28에 의해 $E$를 $1\leq k\leq n$에 대하여 $m(E_{k})<\delta_{0}$인 $N$개의 서로소인 유한개의 가측집합들 $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$의 합집합으로 나타낼 수 있다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $$\int_{E}{|f_{n}|dm}=\sum_{k=1}^{N}{\int_{E_{k}}{|f_{n}|dm}}<N$$ 이다. 파투의 보조정리에 의해 $$\int_{E}{|f|dm}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf{\int_{E}{|f_{n}|dm}}}\leq N$$ 이므로 따라서 $|f|$는 $E$에서 적분가능하다. (QED)

3.32 (비탈리 수렴정리, Vitali convergence theorem) 집합 $E$를 유한측도집합, $\{f_{n}\}$을 $E$에서 균등적분가능하다고 하자. $\{f_{n}\}$이 $E$에서 $f$로 점별수렴하면 $f$는 $E$에서 적분가능하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{fdm}}$이다. 증명: 3.31에 의해 $f$는 $E$에서 적분가능하고 따라서 $E$의 거의 어디서나 유한하다. $E$의 임의의 가측 부분집합 $A$와 임의의 자연수 $n$에 대하여 $$\begin{align*}\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|&=\int_{E}{(f_{n}-f)dm}\\&\leq\int_{E}{|f_{n}-f|}\\&=\int_{E-A}{|f_{n}-f|dm}+\int_{A}{|f_{n}-f|dm}\\&\leq\int_{E-A}{|f_{n}-f|dm}+\int_{A}{|f_{n}|}+\int_{A}{|f|dm}+\int_{E}{|f|dm}\end{align*}$$ 이다. $\epsilon>0$이라 하자. $\{f_{n}\}$의 균등적분 가능성에 의해 $\delta>0$가 존재해서 임의의 가측 부분집합 $A\subset E$에 대하여 $m(A)<\delta$ $\displaystyle\int_{A}{|f_{n}dm|}<\frac{\epsilon}{3}$이고 또한 파투의 보조정리로부터 $\displaystyle\int_{A}{|f_{n}|dm}<\frac{\epsilon}{3}$이다. $m(E)<\infty$이므로 에고로프의 정리에 의해 가측집합 $E_{0}$가 존재해서 $\{f_{n}\}$이 $E-E_{0}$에서 $f$로 균등수렴한다. $N\in\mathbb{N}$을 선택해서 $n\geq N$일 때, $E-E_{0}$에서 $\displaystyle|f_{n}-f|<\frac{\epsilon}{3m(E)}$라 하자. $A=E_{0}$라고 하면 $$\left|\int_{E}{f_{n}dm}-\int_{E}{fdm}\right|\leq\int_{E-E_{0}}{|f_{n}-f|dm}+\int_{E_{0}}{|f_{n}|dm}+\int_{E_{0}}{|f|dm}<\frac{\epsilon}{3m(E)}m(E-E_{0})+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}<\epsilon$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{f_{n}dm}}=\int_{E}{fdm}$이다. (QED)

3.33 $E$를 유한측도집합이라 하고 $\{h_{n}\}$을 $E$에서 $h=0$으로 수렴하는 음이 아닌 적분가능한 함수열들의 집합이라 하자. $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0$일 필요충분조건은 $\{h_{n}\}$이 $E$에서 균등적분 가능한 것이다. 증명 ($\Leftarrow$): 비탈리 수렴정리에 의해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0$이다. ($\Rightarrow$): $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{h_{n}dm}}=0$이라 하자. $\epsilon>0$이라 하면, $N\in\mathbb{N}$을 선택해서 $n\geq N$일 때, $\displaystyle\int_{E}{h_{n}dm}<\epsilon$이다. 그러므로 $E$에서 $h_{n}\geq0$이므로 $A\subset E$가 가측이고 $n\geq N$이면, $\displaystyle\int_{A}{h_{n}dm}<\epsilon$이다. 이는 $n\geq N$일 때 $h_{n}$이 균등적분 가능함을 뜻한다. 3.30에 의해 $\{h_{n}\}_{n=1}^{N-1}$는 $E$에서 균등적분 가능하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson