[르베그적분] 4-2. 유계변동함수: 조르단의 정리

[르베그적분] 4-2. 유계변동함수: 조르단의 정리

르베그의 정리에 의해 한 열린구간 상의 단조함수는 그 열린구간의 거의 어디서나 미분가능하다. 그러므로 한 열린구간에서 정의된 두 증가함수의 차(difference)도 거의 어디서나 미분가능하다.

\(f\)를 닫힌유계구간 \([a,\,b]\)에서의 실함수라 하고 \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n}\}\)을 \([a,\,b]\)의 한 분할이라 하자. 함수 \(f\)의 \(P\)에 대한 변동(variation)을 다음과 같이 정의한다.$$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}$$그리고 함수 \(f\)의 구간 \([a,\,b]\)에서의 전변동(total variation)을$$TV(f)=\sup_{P}{V(f,\,P)}$$로 정의한다. \([c,\,d]\subset[a,\,b]\)에 대하여 \(TV(f|_{[c,\,d]})\)는 함수 \(f\)를 \([c,\,d]\)로 제한한 함수의 전변동을 나타낸다.

닫힌유계구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계변동(bound variation)이라는 것은 \(TV(f)<\infty\)인 것이다.

예를들어 함수 \(f\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 증가함수라 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계변동이고 \(TV(f)=f(b)-f(a)\)이다. 이를 확인하면 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}\)에 대하여$$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}=\sum_{k=1}^{n}{[f(x_{i})-f(x_{i-1})]}=f(b)-f(a)$$이다.

함수 \(f\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 립쉬츠 조건을 만족하는 함수라 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계변동이고 \(TV(f)\leq M(b-a)\)이다. 여기서 모든 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대하여 \(M>0\)이 존재해서$$|f(x)-f(y)|\leq M(x-y)$$이다. \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}\)에 대하여$$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}\leq M\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-x_{i-1})}=M(b-a)$$이다.

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 함수$$f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac{\pi}{2x}\right)\,&(0<x\leq1)\\0\,&(x=0)\end{cases}$$은 \([0,\,1]\)에서 유계이나 유계변동은 아니다. \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(P_{n}=\left\{0,\,\frac{1}{2n},\,\frac{1}{2n-1},\,...,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{2},\,1\right\}\)은 구간 \([0,\,1]\)의 한 분할이고$$V(f,\,P_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}$$이다. 그러므로 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 유계변동이 아니다.

4.8 함수 \(f\)를 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 유계변동이라 하자. 그러면 \(f\)는 다음과 같이 두 증가하는 함수의 차(difference)로 나타낼 수 있다. 즉, 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여$$f(x)=\{f(x)+TV(f_{[a,\,x]})\}-TV(f_{[a,\,x]})$$ 증명: \(c\in(a,\,b)\)이고 \(P\)를 구간 \([a,\,b]\)의 한 분할, \(P'\)을 \(c\in P\)를 포함하는 \(P\)의 세분할(reminement)이라 하자. 그러면 삼각부등식에 의해 \(V(f,\,P)\leq V(f,\,P')\)이다. \([a,\,b]=[a,\,c]\cup[c,\,b]\)이므로 \(P_{1}\)과 \(P_{2}\)를 각각 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\)의 반할이라고 하면 다음이 성립한다.$$V(f|_{[a,\,b]},\,P)=V(f|_{[a,\,c]},\,P_{1})+V(f|_{[a,\,c]},\,P_{2})$$이 식의 각 변에 최소상계를 취하면 다음을 얻는다.$$TV(f|_{[a,\,b]})=TV(f|_{[a,\,c]})+TV(f|_{[c,\,b]})$$ 이 사실로부터 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계변동이면, 모든 \(a\leq x<y\leq b\)에 대하여 \(TV(f|_{[a,\,y]})-TV(f|_{[a,\,x]})=TV(f|_{[x,\,y]})\geq0\)이 성립한다. 이때 \(x\in[a,\,b]\)에 대한 함수 \(TV(f|_{[a,\,x]})\)는 증가함수이다. 또한 구간 \([x,\,y]\subset[a,\,b]\)의 분할 \(P=\{x,\,y\}\)에 대하여$$f(x)-f(y)\leq|f(y)-f(x)|=V(f|_{[x,\,y]},\,P)\leq TV(f|_{[x,\,y]})=TV(f|_{[a,\,y]})-TV(f|_{[a,\,x]})$$가 성립하므로 따라서 모든 \(a\leq x<y\leq b\)에 대하여$$f(y)+TV(f|_{[a,\,y]})\geq f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})$$이고 \(f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})\)도 증가함수이다. 이 사실로부터 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여$$f(x)=[f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})]-TV(f|_{[a,\,x]})$$가 성립한다. (QED)

4.8의 증명과정에서 \(x\)에 대한 함수 \(TV(f|_{[a,\,x]})\)를 함수 \(f\)의 전변동함수(total variation function)라고 한다.

4.9 (조르단의 정리, Jordan's theorem) 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 유계변동일 필요충분조건은 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 두 증가함수의 차로 나타나는 것이다. 증명 (\(\Rightarrow\)): 4.8 (\(\Leftarrow\)): 구간 \([a,\,b]\)에서 증가하는 두 함수 \(g,\,h\)에 대하여 \(f=g-h\)라 하자. 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}\)에 대하여 다음이 성립한다. $$\begin{align*}V(f,\,P)&=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|=\sum_{i=1}^{n}{|[g(x_{i})-g(x_{i-1})]+[h(x_{i})-h(x_{i-1})]|}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{|g(x_{i})-g(x_{i-1})|}+\sum_{i=1}^{n}{|h(x_{i})-h(x_{i-1})|}\\&=\sum_{i=1}^{n}{[g(x_{i})-g(x_{i-1})]}+\sum_{i=1}^{n}{[h(x_{i})-h(x_{i-1})]}=[g(b)-g(a)]+[h(b)-h(a)]\end{align*}$$ 따라서 \(f\)의 구간 \([a,\,b]\)에 대한 변동들은 위로 유계이고 따라서 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계변동이다. (QED)

조르단 정리에서 유계변동함수 \(f\)를 두 증가함수들의 차로 나타낸 것을 \(f\)의 조르단 분해(Jordan decomposition)라고 한다.

4.10 함수 \(f\)가 유계닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 유계변동이면, \(f\)는 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하고 \(f'\)은 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다. 증명: 조르단 정리로부터 \(f\)는 두 증가함수의 차로 나타낼 수 있으며 르베그 정리에 의해 \((a,\,b)\)의 거의 어디서나 미분가능하다. 4.7에 의해 \(f'\)은 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson