[르베그적분] 4-2. 유계변동함수: 조르단의 정리

[르베그적분] 4-2. 유계변동함수: 조르단의 정리

르베그의 정리에 의해 한 열린구간 상의 단조함수는 그 열린구간의 거의 어디서나 미분가능하다. 그러므로 한 열린구간에서 정의된 두 증가함수의 차(difference)도 거의 어디서나 미분가능하다.

$f$를 닫힌유계구간 $[a,\,b]$에서의 실함수라 하고 $P=\{x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n}\}$을 $[a,\,b]$의 한 분할이라 하자. 함수 $f$의 $P$에 대한 변동(variation)을 다음과 같이 정의한다. $$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}$$ 그리고 함수 $f$의 구간 $[a,\,b]$에서의 전변동(total variation)을 $$TV(f)=\sup_{P}{V(f,\,P)}$$ 로 정의한다. $[c,\,d]\subset[a,\,b]$에 대하여 $TV(f|_{[c,\,d]})$는 함수 $f$를 $[c,\,d]$로 제한한 함수의 전변동을 나타낸다.

닫힌유계구간 $[a,\,b]$에서 정의된 함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 유계변동(bound variation)이라는 것은 $TV(f)<\infty$인 것이다.

예를들어 함수 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 증가함수라 하자. 그러면 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계변동이고 $TV(f)=f(b)-f(a)$이다. 이를 확인하면 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}$에 대하여 $$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}=\sum_{k=1}^{n}{[f(x_{i})-f(x_{i-1})]}=f(b)-f(a)$$ 이다.

함수 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 립쉬츠 조건을 만족하는 함수라 하자. 그러면 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계변동이고 $TV(f)\leq M(b-a)$이다. 여기서 모든 $x,\,y\in[a,\,b]$에 대하여 $M>0$이 존재해서 $$|f(x)-f(y)|\leq M(x-y)$$ 이다. $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}$에 대하여 $$V(f,\,P)=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}\leq M\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-x_{i-1})}=M(b-a)$$ 이다.

구간 $[0,\,1]$에서 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac{\pi}{2x}\right)\,&(0<x\leq1)\\0\,&(x=0)\end{cases}$$ 은 $[0,\,1]$에서 유계이나 유계변동은 아니다. $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $P_{n}=\left\{0,\,\frac{1}{2n},\,\frac{1}{2n-1},\,...,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{2},\,1\right\}$은 구간 $[0,\,1]$의 한 분할이고 $$V(f,\,P_{n})=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}$$ 이다. 그러므로 $f$는 $[0,\,1]$에서 유계변동이 아니다.

4.8 함수 $f$를 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 유계변동이라 하자. 그러면 $f$는 다음과 같이 두 증가하는 함수의 차(difference)로 나타낼 수 있다. 즉, 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $$f(x)=\{f(x)+TV(f_{[a,\,x]})\}-TV(f_{[a,\,x]})$$ 증명: $c\in(a,\,b)$이고 $P$를 구간 $[a,\,b]$의 한 분할, $P'$을 $c\in P$를 포함하는 $P$의 세분할(reminement)이라 하자. 그러면 삼각부등식에 의해 $V(f,\,P)\leq V(f,\,P')$이다. $[a,\,b]=[a,\,c]\cup[c,\,b]$이므로 $P_{1}$과 $P_{2}$를 각각 $[a,\,c]$와 $[c,\,b]$의 반할이라고 하면 다음이 성립한다. $$V(f|_{[a,\,b]},\,P)=V(f|_{[a,\,c]},\,P_{1})+V(f|_{[a,\,c]},\,P_{2})$$ 이 식의 각 변에 최소상계를 취하면 다음을 얻는다. $$TV(f|_{[a,\,b]})=TV(f|_{[a,\,c]})+TV(f|_{[c,\,b]})$$ 이 사실로부터 $f$가 $[a,\,b]$에서 유계변동이면, 모든 $a\leq x<y\leq b$에 대하여 $TV(f|_{[a,\,y]})-TV(f|_{[a,\,x]})=TV(f|_{[x,\,y]})\geq0$이 성립한다. 이때 $x\in[a,\,b]$에 대한 함수 $TV(f|_{[a,\,x]})$는 증가함수이다. 또한 구간 $[x,\,y]\subset[a,\,b]$의 분할 $P=\{x,\,y\}$에 대하여 $$f(x)-f(y)\leq|f(y)-f(x)|=V(f|_{[x,\,y]},\,P)\leq TV(f|_{[x,\,y]})=TV(f|_{[a,\,y]})-TV(f|_{[a,\,x]})$$ 가 성립하므로 따라서 모든 $a\leq x<y\leq b$에 대하여 $$f(y)+TV(f|_{[a,\,y]})\geq f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})$$ 이고 $f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})$도 증가함수이다. 이 사실로부터 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $$f(x)=[f(x)+TV(f|_{[a,\,x]})]-TV(f|_{[a,\,x]})$$ 가 성립한다. (QED)

4.8의 증명과정에서 $x$에 대한 함수 $TV(f|_{[a,\,x]})$를 함수 $f$의 전변동함수(total variation function)라고 한다.

4.9 (조르단의 정리, Jordan's theorem) 함수 $f$가 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 유계변동일 필요충분조건은 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 두 증가함수의 차로 나타나는 것이다. 증명 ($\Rightarrow$): 4.8 ($\Leftarrow$): 구간 $[a,\,b]$에서 증가하는 두 함수 $g,\,h$에 대하여 $f=g-h$라 하자. 구간 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P=\{x_{0},\,...,\,x_{n}\}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\begin{align*}V(f,\,P)&=\sum_{i=1}^{n}{|f(x_{i})-f(x_{i-1})|=\sum_{i=1}^{n}{|[g(x_{i})-g(x_{i-1})]+[h(x_{i})-h(x_{i-1})]|}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{|g(x_{i})-g(x_{i-1})|}+\sum_{i=1}^{n}{|h(x_{i})-h(x_{i-1})|}\\&=\sum_{i=1}^{n}{[g(x_{i})-g(x_{i-1})]}+\sum_{i=1}^{n}{[h(x_{i})-h(x_{i-1})]}=[g(b)-g(a)]+[h(b)-h(a)]\end{align*}$$ 따라서 $f$의 구간 $[a,\,b]$에 대한 변동들은 위로 유계이고 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계변동이다. (QED)

조르단 정리에서 유계변동함수 $f$를 두 증가함수들의 차로 나타낸 것을 $f$의 조르단 분해(Jordan decomposition)라고 한다.

4.10 함수 $f$가 유계닫힌구간 $[a,\,b]$에서 유계변동이면, $f$는 $(a,\,b)$의 거의 어디서나 미분가능하고 $f'$은 $[a,\,b]$에서 적분가능하다. 증명: 조르단 정리로부터 $f$는 두 증가함수의 차로 나타낼 수 있으며 르베그 정리에 의해 $(a,\,b)$의 거의 어디서나 미분가능하다. 4.7에 의해 $f'$은 $[a,\,b]$에서 적분가능하다. (QED)

참고자료

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson