수학사 20-페르가의 아폴로니우스(2)

수학사 20-페르가의 아폴로니우스(2)

 

 

7. 맞꼭지원뿔

 

 아폴로니우스는 하나의 기운 맞꼭지원뿔에서 모든 원뿔곡선을 이끌어내고, 그것에 꼭 들어맞는 이름을 붙임으로써 기하학에 중요한 이바지를 했으나 더 이상의 일반화는 이루지 못했다.

 아폴로니우스는 타원뿔 또는 임의의 2차 뿔에서도 마찬가지로 원뿔곡선을 이끌어냈을 터였다. 결국 아폴로니우스의 원뿔의 어떠한 평단면도 그의 정의에서 생성곡선 또는 '기(基)'로써 쓰일 수 있었으므로 '원뿔'이라는 이름은 불필요하게 된다. 

 사실 아폴로니우스 자신이 보인 것처럼(1권 명제 5) 어떤 기운 원뿔도 밑면에 평행한 무한개의 원 모양 평면으로 이루어질 뿐 아니라, 그가 '소반대 단면'이라고 이름 붙인 원 모양 평면의 또다른 무한집합을 포함한다.

 여기서 \(BFC\)를 기운 원뿔의 밑면으로 하고 \(ABC\)를 이 원뿔의 삼각형 단면으로 한다.

 \(P\)를 \(BFC\)에 평행한 원 모양 단면 \(DPE\) 위의 임의의 점으로 하고 단면 \(HPK\)를 삼각형 \(AHK\)와 삼각형 \(ABC\)가 반대 방향에서 닮음이 되도록 만든다. 아폴로니우스는 단면 \(HPK\)를 소반대 단면이라 하고 그것이 원임을 보였다. 삼각형 \(HMD\)와 \(EMK\)의 닮음 성질에서 \(HM\cdot MK=DM\cdot ME=PM^{2}\)이 유도되는데 이 식은 원 특유의 성질로부터 쉽게 증명된다.

(해석기하학에서 \(HM=x\), \(HK=a\), \(PM=y\)라 하면 \(y^{2}=x(a-x)\), 곧 \(x^{2}+y^{2}=ax\)이고 이것은 원의 방정식이다.)

 

8. 기본성질

 

 그리스 기하학자들은 곡선을 세 종류로 나누었다. 첫째는 평면의 자취로서 모든 직선과 원이고, 둘째는 입체의 자취로서 모든 원뿔곡선이고, 셋째는 선의 자취로서 그 밖의 모든 곡선을 아우른 것이다.

 두 번째 이름은 오늘날처럼 원뿔곡선을 만족하는 평면 위의 자취로 정의할 수 없던 데서 나온 이름일 것이고 당시는 원뿔곡선을 구적법적으로 3차원 도형의 절단면으로써 정의했다.

 앞 시대 사람들처럼 아폴로니우스도 3차원 공간의 원뿔에서 곡선을 이끌어 냈는데 그 뒤올 빠르게 원뿔에서 벗어났다. 결국 아폴로니우스는 원뿔과 절단면이 만나 생기는 곡선의 평면 기하학적 성질을 끌어낸 뒤, 그 특성을 바탕으로 순수하게 평면 구적법적인 연구로 나아갔다.

 연구방법은 아마 메나이크무스를 포함한 일반 사람들이 사용했던 방법과 거의 같다.

 먼저 \(ABC\)를 기운 원뿔의 삼각형 단면으로 하고, \(P\)를 원뿔의 단면 \(HPK\)위의 임의의 점으로 한다. 다음에 \(HK\)를 연장하여 \(BC\)의 연장선과 만나는 점을 \(G\)라 하고, \(P\)를 지나는 수평면을 생각하면, 그것은 원뿔을 원 \(DPE\)로 자르고 평면 \(HPK\)를 선분 \(PM\)으로 자른다. 그리고 선분 \(PM\)에 수직이 되도록 원 \(DPE\)의 지름 \(DME\)를 긋는다. 그러면 \(\triangle HDM\)과 \(\triangle HBG\)는 서로 닮음이므로 \(\frac{DM}{HM}=\frac{BG}{HG}\)를 얻고, 또 \(\triangle MEK\)와 \(\triangle KCG\)가 닮음이므로 \(\frac{ME}{MK}=\frac{CG}{KG}\)를 얻는다. 그런데 원의 성질로부터 \(PM^{2}=DM\cdot ME\)이므로 따라서 \(PM^{2}=\frac{HM\cdot BC}{HG}\cdot\frac{MK\cdot CG}{KG}\)를 얻는다. 

 여기서 \(PM=y\), \(HM=x\), \(HK=2a\)로 놓으면 방정식 \(y^{2}=kx(2a-x)\)를 얻고 따라서 이것은 \(H\)를 꼭짓점으로 하고 선분 \(HK\)를 장축으로 하는 타원의 방정식임을 알 수 있다.

 또 아폴로니우스는 그와 마찬가지 방법으로 쌍곡선에 대해서도 \(y^{2}=kx(x+2a)\)와 동치인 관계를 유도했다. 이상의 두 방정식은 \(k=\frac{b^{2}}{a^{2}}\), \(l=\frac{2b^{2}}{a}\)로 놓는 것으로 쉽게 곡선의 이름과 일치하는 형태로 바꿀 수 있다.

 

9. 켤레지름

 

 아폴로니우스는 원뿔에 대한 입체 구적법적 생각으로부터 다음의 원뿔곡선 위에 있는 점의 평면좌표 사이의 기본적 관계$$y^{2}=x-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}},\,y^{2}=lx,\,y^{2}=lx+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}$$를 끌어낸 뒤 본래의 원뿔에 의존하지 않고 평면 방정식에서 그 밖의 성질을 이끌어냈다.

 아폴로니우스는 '원뿔곡선' 제 1권에서 그 곡선들의 기본적 특성을 "다른 저자의 저작보다 훨씬 충분하면서 일반적으로" 알아냈다고 한다.

 곧 아폴로니우스는 타원 또는 쌍곡선의 한 지름(포물선의 경우 본래 지름에 평행한 직선은 그 직선과 포물선이 만나는 점에서 그은 접선과 평행한 현을 모두 이등분하고 있다. 쌍곡선, 타원, 원의 경우는 중심을 지나고 곡선과 만나는 직선을 그 직선과 곡선의 교점에서 그은 접선에 평행한 모든 현을 이등분하고 있다. 그와 같은 직선을 지름이라고 한다)에 평행한 편의 중점의 자취를 두 번째의 지름으로 하고 그 두 개의 지름을 켤레지름이라고 했다.

 실제로 오늘날에는 보통 원뿔곡선을 직교좌표 평면에서 생각하는데 그에 대해 아폴로니우스는 사교좌표축에 상당하는 것으로써 두 켤레지름을 일반적으로 사용했다. 그 켤레지름으로 만든 좌표계는 원뿔곡선을 생각하는데 매우 쓸모있는 좌표계였다. 왜냐하면 아폴로니우스는 타원 똔느 쌍곡선의 지름의 한쪽 끝에 켤레지름에 평행한 직선을 그으면, 그 직선은 원뿔곡선에 접하고, 다른 어떤 직선도 그 직선과 원뿔곡선 사이에 끼이지 않는(그 직선은 원뿔곡선에 그은 접선이다) 것을 보였기 때문이다.

(원뿔곡선) 1권의 명제에는 원뿔곡선 위의 점 \(P\)를 지나는 접선과 지름에 바탕을 둔 좌표계에서 같은 곡선 위의 다른 점 \(Q\)에서 그은 접선과 지름으로 결정된 새로운 좌표계에 변환시키는 것 외에 상당하는 것이 몇 가지 있다(명제 41~49). 아울러 원뿔곡선은 그와 같은 임의의 좌표계를 축으로 삼을 수 있다는 증명도 실려있고, 특히 아폴로니우스는 쌍곡선은 점근선을 축으로 삼을 수 있음을 잘 알고 있었다(예: 직각쌍곡선은 방정식 \(xy=c^{2}\)로 주어졌다).

 

10. 접선과 조화분할

 

 2권에는 켤레지름과 접선의 연구가 계속 이어졌다.

 보기를 들면 점 \(C\)를 중심으로 하는 쌍곡선 위의 임의의 점을 \(P\)라 하고, \(P\)에서 그은 접선이 점근선과 만나는 점을 \(L\)과 \(L'\)이라 하면 \(PL=PL'\)이고(명제 8, 10), 또 \(CP\)에 평행한 임의의 현 \(QQ'\)이 점근선과 만나는 점을 \(K,\,K'\)라 하면 \(QK=Q'K'\)과 \(QK\cdot QK'=CP^{2}\)이 된다(명제 11, 16).

 2권 두 쪽 명제는 조화분할의 이론을 이용하여 원뿔곡선에 접선을 긋는 방법을 보이고 있다.

 보기를 들어 타원의 경우 점 \(Q\)를 곡선 위의 점이라 할 때 아폴로니우스는 \(Q\)에서 축 \(AA'\)위에 수선 \(QN\)을 내리고 \(A\)와 \(A'\)에 대한 \(N\)의 조화 켤레점 \(T\)를 찾고 있다(명제 49, 결국 선분 \(AA'\)의 연장선에 \(\frac{AT}{AT'}=\frac{AN}{NA'}\)을 만족하는 점 \(T\)를 찾는것 또는 \(N\)이 선분 \(AA'\)을 내분하는 것과 같은 비로 \(AA'\)을 외분하는 점 \(T\)를 찾는 것이다). 그러면 \(T\)와 \(Q\)를 지나는 선분은 타원에 접한다. 

 \(Q\)가 곡선 위에 있지 않은 경우도 조화분할의 성질로부터 위와 같은 경우로 끌어들일 수 있다.

(곡선과 한 점이 주어질 때 자와 컴파스로 그 점에서 곡선에 접선을 그을 수 있는 평면곡선은 원뿔곡선 밖에 없다는 것을 증명할 수 있다. 그러나 물론 아폴로니우스는 그것을 몰랐다.)

 

11. 셋 또는 네 선의 자취

 

 아폴로니우스는 3권을 자랑으로 여겼는데 '원뿔곡선'전 8권에 대한 서문에서 다음과 같이 썼다.

 

제 3권에는 입체의 자취를 모두 나타내고 그 존재 범위를 결정하는데 쓸모있는, 주목할 가치가 있는 정리가 많이 있다. 그 중 갖아 중요하면서 가장 아름다운 정리는 새로운 정리이다. 그것들을 발견했을 때, 나는 유클리드가 '셋 또는 네 선의 자취'를 전부로 그린 것이 아니라 우연히 그 일부를 그것도 불충분하게 그리고 있는데 지나지 않는다는 것을 알았다. 나의 발견이 없다면 그 자취의 완성은 그 자취의 완성은 불가능했다. 

 

 여기서 말하는 셋 또는 네 선의 자취문제는 유클리드부터 뉴턴에 이를 이르는 수학에서 중요한 구실을 했다. 그것은 평면 위에 세 직선(또는 네 직선)이 있을 때, 세 직선 가운데 하나까지의 거리의 제곱이 다른 두 직선까지의 거리의 곱에 비례하여 움직이는 점 \(P\)의 자취를 구하라는 문제이다.

(네 직선의 경우 점 \(P\)에서 두 직선 까지의 거리의 곱이 다른 두 직선 까지의 거리의 곱에 비례하여 점 \(P\)가 움직인다) 이때 거리는 점 \(P\)에서 그은 직선이 각 직선과 각각 주어진 각도를 이루고 있을 때 측정한다. 직선을 표준형 방정식으로 나타낼 수 있는 현대의 해석적 방법을 사용하면 그 자취가(실 또는 허이건, 가약 또는 기약이건) 원뿔곡선임을 보이기 쉽다. 

 보기를 들면 세 직선의 자취인 경우, 직선의 방정식이 다음과 같이 주어졌을 때$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\,A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0$$점 \(P(x,\,y)\)와 세 직선의 거리는 \(P\)를 지나 각 직선과 각각 각 \(\theta_{1},\,\theta_{2},\,\theta_{3}\)을 이루는 직선을 따라 재는 것으로 하면 점 \(P\)의 자취는 다음과 같다.$$\frac{(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})^{2}}{(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})\sin^{2}\theta_{1}}=\frac{K(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}\sin^{2}\theta_{2}}\cdot\frac{(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})}{\sqrt{A_{3}^{2}+B_{3}^{2}}\sin^{2}\theta_{3}}$$ 일반적으로 이 방정식은 \(x\)와 \(y\)에 관한 이차식이므로 그 자취는 원뿔곡선이 된다. 그러나 이러한 해석으로는 아폴로니우스가 제 3권에서 다룬 방법을 바르게 나타내지 못한다. 

 그는 신중히 표현한 명제를 50개 이상 늘어놓고 모두 종합기하학적 방법으로 증명한 뒤, 마지막으로 구하는 자취에 이르고 있다. 500년 후 파푸스는 \(n(n>4)\)개의 직선에 대해 이 정리를 일반화했는데, 1637년 데카르트가 고안한 해석기하학을 시험해 본 것이 바로 그 일반화 된 경우였다.

 

12. 원뿔곡선의 교점

 

 아폴로니우스는 원뿔곡선의 4권에서 "원뿔곡선이 서로 만나는 것은 몇 가지 방식이 있는가?"를 보였다. 또 그는 어떤 원뿔곡선이 쌍곡선과 만나는 점의 수에 관하여 "지금까지의 저자들은 아무것도 말하지 못했다"라고 하면서 그 수에 관해 정리한 것을 특히 자랑한다. 쌍곡선이 두 곡선이라는 생각은 아폴로니우스가 처음 했고, 그는 그 사실을 발견하고 그것에 관한 정리를 증명한 것에 꽤 만족했다. 

 보기를 들면 어떤 쌍곡선의 한 쪽이 다른 쌍곡선의 두 쪽과 모두 만날 때, 첫 번째 쌍곡선의 다른 한 쪽과 두 번째 쌍곡선의 어느 쪽도 두 점에서 만나지 않음을 보였다(4권 42).

 그리고 어떤 쌍곡선의 한 쪽이 반대방향으로 오목 또는 볼록한 두 번째의 쌍곡선의 한 쪽에 접한다면, 첫 번째 쌍곡선의 다른 한 쪽은 두 번째 쌍곡선의 다른 쪽과 만나지 않음을 보였다(4권 54).

 아폴로니우스는 (지금도 그렇지만) 그의 시대에도 순수수학을 배척하는 속이 좁은 사람들이 있어, 그러한 결과가 무슨 쓸모가 있는가 하고 비난한다고 말하고 있는데, 이는 4권에 실은 정리와 관련된 엇이었다. 아폴로니우스는 거기서 "그 정리들은 그것을 증명하는 것만으로도 가치가 있다. 그것은 우리가 수학에서 그 밖의 많은 사항을 받아들이는 것도 수학 자체를 위해서이고 다른 까닭은 없는 것과 같다"라고 자랑스럽게 말하고 있다. 

 

참고자료: 
수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김