수학사 17-시라쿠사의 아르키메데스(2)

수학사 17-시라쿠사의 아르키메데스(2)

 

 

6. 각의 삼등분

 

 아르키메데스도 기하학의 3대 작도문제에 관심을 가졌고, 그 결과 유명한 아르키메데스 나선으로 두 문제를 풀었다(자와 컴파스로 푼 것은 아니다). 

 나선은 한 평면 위에서 시점을 중심으로 하여 일정한 속도로 회전하는 반직선 위를 시점에서 일정한 속도로 멀어지는 점이 그리는 자취로 정의된다. 극좌표로 나선의 방정식은 \(r=a\theta\)이고, 나선이 주어지면 각의 3등분은 쉽다.

 먼저 3등분할 각의 꼭짓점과 한 변을 각각 나선의 시점 \(O\)와 회전하는 반직선의 기선 \(OA\)에 일치시킨다. 그 각의 다른 변과 나선이 만나는 점을 \(P\)라고 한다. 선분 \(OP\)의 삼등분점을 \(R,\,S\)라 하고 \(O\)를 중심으로 반지름이 \(OR,\,OS\)인 원을 그린다. 원과 나선의 교점을 \(U,\,V\)라 하면 반직선 \(OU\)와 \(OV\)는 각 \(AOP\)를 삼등분한다. 

 그리스 수학은 변화의 개념에는 거의 주의를 기울이지 않았기 때문에 본질적으로 정적인 학문으로 일컬었다. 그러나 아르키메데스는 나선을 연구하는 가운데 미분법과 비슷한 운동학적으로 생각하는 곡선에서 그은 접선을 발견했던 것이다. 결국 아르키메데스는 이중의 운동(좌표평면의 원점에서 일정한 속도로 멀어지는 운동과 원점을 중심으로 하는 원운동)을 하는 \(r=a\theta\)위의 점을 생각하는 가운데(속도로 이루어진 평행사변형을 찾으러) 두 운동 성분의 합력으로써 그 운동의 방법을 찾으려 했는 듯 하다. 이것은 원이 아닌 곳건의 접선을 구한 것으로서 첫 번째 예라고 생각된다.

 아르키메데스의 나선 연구는 3대 문제를 해결하기 위한 그리스인의 탐구의 한 결과이다. 이 나선을 아르키메데스는 친구인 코논에게 돌렸다.

 아르키메데스가 보인 것처럼 원적선의 경우와 같이 원을 정사각형으로 만드는 데에도 이 나선을 사용할 수 있다.

  먼저 점 \(P\)에서 나선 \(OPR\)에 접선을 긋고, 점 \(O\)에서 \(OP\)에 수직인 직선을 그어 접선과 만나는 점을 \(Q\)라고 한다. 아르키메데스는 거기서 선분 \(OQ\)(점 \(P\)의 극 접선영이라고 한다)의 길이는 점 \(O\)이고 반지름이 선분 \(OP\)인 원이 기준선(주축)과 선분 \(OP\)(동경벡터)로 잘리는 원호 \(PS\)의 길이와 같은 것을 보이고 있다.

 아르키메데스는 이 정리를 전형적인 이중배리법으로 증명했는데 미분을 알고 있다면 식 \(\tan\psi=\frac{r}{r'}\)을 이용하여 증명할 수 있다. 여기서 \(r=f(\theta)\), \(r'=f'(\theta)\), \(\psi\)는 동경벡터와 \(P\)에서 곡선에 그은 접선이 이루는 각이다.

 이와 같이 아르키메데스의 업적은 대부분 현대의 미적분학 과정에 들어가는 내용인 것이다. '나서에 관하여'는 특히 그러했다. 다음이 극좌표에 나선이 \(90^{\circ}\)를 이루는 직선(접선)과 만나는 점을 \(P\)라고 하면 극 접선영 \(OQ\)는 반지름 \(OP\)인 원의 원 둘레의 \(\frac{1}{4}\)이다. 따라서 원 둘레 전체는 선분 \(OQ\)의 4배로 작도할 수 있고 따라서 아르키메데스 정리로부터 원과 넓이가 같은 삼각형을 구할 수 있다. 그것에서 단순한 기하학적 변환으로 삼각형과 같은 넓이를 갖는 정사각형이 구해지고 따라서 원적법이 완성된다. '나선에 관하여' 명제 28개 중 가운데는 나선의 넓이를 구하는 문제가 여러 개 있다. 

 그 중 명제 24에는 동경벡터가 처음 한 번 회전해 만든 부분의 넓이는 '첫째 원'(곧 극을 중심으로 하고 처음 한 바퀴 돌았을 때 극축에 놓인 동경벡터의 길이를 반지름으로 하는 원)의 \(\frac{1}{3}\)임을 보이고 있다. 

 아르키메데스는 착출법을 이용했고, 그 값은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}{r^{2}d\theta}\)와 같다. 게다가 미적분을 사용하면 두 번째 회전으로 만들어지는 고리 \(R_{2}\)(동경의 종점이 첫 번째 회전한 부분과 두 번째 회전한 부분, 그리고 두 번의 회전으로 나누어진 극축 위의 두 선분으로 둘러싸인 부분)의 넓이는 동경이 처음 한 번 회전하여 그리는 영역 \(R_{1}\)의 6배임을 알 수 있다. 아르키메데스는 이것을 착출법으로 증명했고, 점화식 \(R_{n+1}=\frac{n}{n-1}R_{n}\)이 성립한다.

 

7. 포물선 조각의 넓이

 

 '나선에 관하여'의 내용은 매우 훌륭하나 어려워서 그다지 읽히지 않았다. 주로 착출법(적분법)과 관련된 아르키메데스의 논문 중 가장 널리 읽힌 것이 '포물선의 구적'이다.

 그런데 원뿔곡선에 관한 것은 아르키메데스가 쓰기 1세기 전부터 알려져 있었지만 넓이를 구하는 것에는 아무런 진척이 없었다. 이 원뿔곡선(포물선)의 조각을 정사각형으로 바꾼 사람은 아르키메데스이다. 그는 이 구적을 목적으로 한 저작 '포물선의 구적'의 명제 17에서 이루었다.

 표준적인 착출법으로 증명하는 것은 길고 복잡하다. 그런데도 아르키메데스는 이를 이용하여 포물선의 조각 \(APBQC\)의 넓이 \(K\)는 밑변과 높이가 같은 삼각형 \(T\)의 넓이의 \(\frac{4}{3}\)임을 엄밀히 증명했다. 

 그리고 아르키메데스는 그에 이어지는 (그리고 마지막의) 7개 명제에서 이 정리를 또 다른 방법으로 증명한다. 그는 먼저 밑변이 \(AC\)인 가장 큰 내접 삼각형을 더한 것의 4배임을 보이고 있다. 그리고 이 과정은 계속 되풀이해 가면 포물선의 활꼴 \(ABC\)의 넓이 \(K\)는 다음의 무한급수의 합이 되는 것은 분명하다.$$T+\frac{T}{4}+\frac{T}{4^{2}}+\cdots+\frac{T}{4^{n}}+\cdots$$ 그 합은 물론 \(\frac{4}{3}T\)이다. 그러나 아르키메데스는 이 무한급수의 합에 대해 아무런 언급을 하지 않았는데 그 당시에 무한의 과정이 환영받지 못했기 때문으로 보인다. 그 대신 이중배리법으로 \(K\)가 \(\frac{4}{3}T\)보다 크지도 작지도 않음을 증명했다(아르키메데스는 '포물선' 대신 '직원뿔의 절단'이라는 말을 썼다).

 '포물선의 구적'의 머릿말에는 오늘날 아르키메데스의 공리로 알려진 가정, 곧 보조정리가 있다. 그것은 "두 개의 서로 다른 넓이에서 큰 쪽이 작은 쪽을 초과한 몫을 자기 자신에게 더해가면 그것은 주어진 어떤 유한인 넓이도 넘게 할 수 있다"는 공리이다.

 이 공리는 플라톤 시대에 많이 논의되었던 무한소와 불가분량의 개념을 실질상 배제하는 것으로 본질적으로는 착출법과 같다. 아르키메데스는 그것을 다음과 같이 ㅈ인정하고 있따.

 

"옛 기하학자(에우독소스와 그의 후계자들)도 이 보조정리를 사용했다고 볼 수 있다. 그것은 바로 이 보조정리를 써서 그들은 원의 넓이의 비는 지름의 제곱의 비이고, 구의 부피는 지름의 세제곱의 비라는 것, 그리고 각뿔은 밑이 같고 높이가 같은 각기둥의 \(\frac{1}{3}\)인 것을 보았기 때문이다. 또 모든 원뿔은 밑이 같고 높이가 같은 원기둥의 \(\frac{1}{3}\)인 것도 그들은 이 보조정리와 비슷한 다른 보조정리를 가정하여 증명했다."

 

8. 회전 포물면과 토막의 부피

 

 분명히 아르키메데스는 타원과 쌍곡선의 일반적인 활꼴의 넓이는 구하지 못했다. 포물선의 조각꼴의 넓이를 현대의 적분법으로 구하는 데는 다항식만 있으면 되지만 타원과 쌍곡선 조각의 넓이(그리고 그 곡선들이나 포물선의 호의 길이)를 구하려면 초월함수가 필요하다. 그럼에도 아르키메데스는 자신의 논문 '원뿔과 회전 타원체에 관하여'에서 타원 전체의 넓이를 구했다. 

 

"타원의 넓이는 축에 의해 정해지는 정사각형에 비례한다"(명제 6)

 

 물론 타원 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)의 넓이는 \(\pi ab\)이다(\(\sqrt{ab}\): \(a,\,b\)의 기하평균). 게다가 같은 논문 속에서 아르키메데스는 주축을 중심으로 하는 회전타원면, 회전포물면, 회전쌍곡면에서 각각 잘라낸 토막의 부피를 구하는 방법을 보인다.

 보기로 먼저 \(ABC\)를 회전 포물면(코노이드)의 토막이라 하고, 그 축을 \(CD\)로 한다. 그리고 이 도형에는 똑같이 \(CD\)를 축으로 하는 원기둥 \(ABEF\)가 외접한다고 한다. 거기서 축을 길이가 \(h\)인 \(n\)개의 부분으로 나누고 그 분할점들을 지나고 밑면에 평행한 평면을 생각한다. 그리고 그 평면들이 자르는 회전 포물면의 원형 절단면에, 그림과 같은 원기둥 모양을 포물면에 각각 내접 밑 외접하도록 만든다. 그렇게 하면 포물선의 방정식과 등차수열의 합에서 다음과 같은 비례식과 부등식을 얻는다.$$\begin{align*}\frac{\text{원기둥 ABEF}}{\text{내접도형}}&=\frac{n^{2}h}{h+2h+3h+\cdots+(n-1)h}>\frac{n^{2}h}{\frac{1}{2}n^{2}h}\\ \frac{\text{원기둥 ABEF}}{\text{외접도형}}&=\frac{n^{2}h}{h+2h+3h+\cdots+nh}<\frac{n^{2}h}{\frac{1}{2}n^{2}h}\end{align*}$$ 아르키메데스는 이미 이전에 외접도형과 내접도형의 부피의 차는 맨 아래 외점 원기둥 토막 하나의 부피와 같음을 보였다. 그리고 축의 분할점 수를 늘려 각 토막을 더욱 얇게 하면 외접도형과 내접도형의 차는 어떤 정해진 양 보다 작게 할 수 있다. 따라서 위 부등식에서 결론 "원기둥의 부피는 코노이드 토막 부피의 2배이다"를 얻는다.

 단, 이 방법에는 함수의 극한 개념이 없는데 그것이 현대의 미적분과 다른 점이다. 극한의 개념은 가까운 곳에 있었으나 고대 사람들이 그것을 정식화한 적은 결코 없었고 아르키메데스도 예외는 아니다.

 

9. 구의 조각 

 

 아르키메데스는 수 많은 논문을 저술했고, 그 중 후계자들이 칭송한 것은 '나선에 관하여'였으나 자신은 '구와 원기둥에 관하여'를 좋아했다. 아르키메데스는 자기 묘비에 직원기둥에 내접하는 구의 그림을 새겨달라고 부탁했는데 그것은 원기둥과 구의 부피의 비가 각각의 겉넓이 비 \(3:2\)와 같다는 것을 발견하고 증명했기 때문이다. 이 성질은 아르키메데스가 '포물선의 구적'을 저술한 후에 발견했고, 그 이전의 기하학자들이 알지 못했던 것이다.

 구의 겉넓이는 구의 대원 넓이의 4배 임을 알고 증명한 첫 인물은 아르키메데스이다. 그리고 "구를 임의로 자른 토막의 겉넓이는 그 토막의 꼭짓점에서 토막의 밑면인 원의 둘레에 그은 선분을 반지름으로 하는 원의 넓이와 같다"는 것을 보였다. 이 명제는 "구를 임의로 자른 입체의 겉넓이는 반지름이 구의 반지름과 같고 높이가 토막의 높이와 같은 원기둥의 옆넓이와 같다"와 동치이다. 곧 구의 토막의 겉넓이는 구의 중심에서 토막의 밑면, 곧 절단면까지의 거리에 좌우되지 않고 토막의 높이(또는 두께)에 좌우된다는 것이다. 더욱이 구의 표현에 관한 중요한 정리가 명제 33에 있는데 이것은 다음의 sin적분과 동치인 정리르 포함하는 긴 일련의 예비 정리에 이어서 나온 것이다.

 원의 토막 \(LAL'\)안에 다각형을 내접시킬 때, 그 밑면을 뺀 모든 변은 길이가 같으면서 짝수개이고, 더구나 \(LK\cdots A\cdots K'L'\)과 같이 \(A\)는 토막 둘레의 중점이 되도록 한다. 그리고 거기다 밑변 \(LL'\)에 평행하고 서로 마주보이는 꼭지점끼리 잇는 직선 \(BB',\,CC',\,\cdots\)를 긋는다면, \((BB'+CC'+\cdots+LM):AM=A'B:BA\)이다. 여기서 \(M\)은 \(LL'\)의 중점이고 \(AA'\)은 \(M\)을 지나는 지름이다.

 이것은 다음의 삼각방정식을 기하학적으로 바꿔 말한 것이고, \(\theta=\angle AOL\)이다.$$\sin\frac{\theta}{n}+\sin\frac{2\theta}{n}+\cdots+\sin\frac{(n-1)}{n}\theta+\frac{1}{2}\sin\frac{n\theta}{n}=\frac{1-\cos\theta}{2}\cdot\cot\frac{\theta}{2n}$$위 삼각방정식의 양변에 \(\frac{\theta}{n}\)를 곱하고 \(n\)을 한없이 크게 하는 극한을 취하면 식 \(\displaystyle\int_{0}^{\phi}{\sin xdx}=1-\cos\phi\)를 얻게 된다. 곧 좌변은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sin x_{i}\Delta x_{i}}}\)이고 여기서 \(x_{i}=\frac{i\theta}{n}\,(i=1,\,2,\,...,\,n)\), \(\Delta x_{i}=\frac{\theta}{n}\,(i=1,\,2,\,...,\,n-1)\), \(\Delta x_{n}=\frac{\theta}{2n}\)이다. 그리고 \(\displaystyle(1-\cos\theta)\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\theta}{2n}\cot\frac{\theta}{2n}}=1-\cos\theta\)가 된다. 이것의 특별한 경우인 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\sin xdx}=1-\cos\pi=2\)는 아르키메데스가 이것보다 훨씬 앞서 명제로 밝혀놓았다.

 구의 부피를 구하는 공식은 '구와 원기둥에 관하여'의 34번째 명제에 나온다. 구의 부피는 구의 대원을 밑면으로 하고 구의 반지름과 같은 높이인 원뿔부피의 4배이다. 이 정리는 통상적으로 착출법으로 증명하고 있는데, 그 뒤에 아르키메데스가 계산해낸 구와 외접 원기둥의 부피와 겉넓이의 비가 단순한 계로 이어진다.

 

10. 구와 원기둥에 관하여

 

 '구와 원기둥에 관하여' 2권의 문제에는 그리스의 기하학적 대수에 대한 재미있는 견해가 보인다. 명제 2에서 아르키메데스는 구의 일부분의 부피를 구하는 공식을 증명했다. 명제 3에서는 겉넓이의 비가 주어진 비로 되도록 구를 평면으로 자르는 것을 구의 지름을 주어진 비로 나누고 그 내분점을 지나 지름에 수직인 평면으로 자르는 것을 보이고 있다. 그리고 마침내 명제 4에서 주어진 구를 평면으로 잘랐을 때 두 토막의 부피가 주어진 비가 되도록 한다면 어떻게 해야 하는가를 보이는데 현대기호로 나타내면 \(\frac{4a^{2}}{x^{2}}=\frac{(3a-x)(m+n)}{ma}\)이고 여기서 \(m:n\)은 토막의 부피의 비이다.

 이것은 3차방정식이 되는데 델로스 문제에서 사용한 원뿔곡선을 교차시키는 방법으로 풀려고 했다. 아르키메데스는 대입법을 써서 삼차방정식을 \(x^{2}(c-x)=db^{2}\)의 꼴로 놓고, 그 삼차방정식의 양의 근의 개수에 관해 따로따로 완전히 분석할 것을 약속했다. 그러나 그 분석은 그 뒤 알려지지 않았다가 6세기 초 에우토키우스에 의해 알려졌다.

 아르키메데스의 분석이라고 믿을 만한 단편을 찾았는데 여기서는 해를 포물선 \(cx^{2}=b^{2}y\)와 쌍곡선 \((c-x)y=cd\)를 교차시켜 구했고, 더 나아가 주어진 조건을 만족하는 실근의 개수를 결정하는 계수조건을 찾았다. 그 계수 조건은 \(b^{2}d=x^{2}(c-x)\)에서 판별식 \(27b^{2}d-4c^{3}\)이다. 

 모든 삼차방정식은 아르키메데스형 3차방정식으로 바뀔 수 있으므로 여기서 일반 삼차방정식을 본질적으로 완전히 분석한 것이 된다. 3차방정식에 대한 관심을 에우토키우스 이후 몇 세기가 지난 아라비아에서 이어진다.

 

참고자료: 
수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김