수학사 18-시라쿠사의 아르키메데스(3)

수학사 18-시라쿠사의 아르키메데스(3)

 

 

11. 보조정리집

 

 이제까지 다룬 아르키메데스 논문은 대부분 고등수학의 것이지만 시라쿠사 사람들이 초등적 문제를 싫어한 것은 아니었다. 그의 '보조정리집'에는 '구두장이의 칼'에 관한 연구가 있다.

 위 그림처럼 두 개씩 서로 접한 세 개의 반원으로 둘러싸인 부분이고, 여기서는 가장 큰 반원의 안쪽과 두 개의 작은 반원의 바깥쪽이 겹치는 부분을 가르킨다.

 아르키메데스는 명제 4에서 \(CD\)과 \(AB\)에 수직이면, \(CD\)가 지름인 원의 넓이는 구두장이 칼의 넓이와 같음을 보이고 있다. 다음의 명제에서는 \(CD\)로 나뉜 구두장이의 칼의 두 부분에 각각 내접하는 두 원은 합동임을 보였다.

 '보조정리집'은 아르키메데스가 '소금창고'라고 하는 정리(명제 14)실려있다. 

 선분 \(AB,\,AD,\,DE\)와 \(EB\)를 지름으로 하는 네 개의 반원을 그리는데 이때 \(AD=EB\)이다. 그러면 소금창고로 둘러쌍니 도형의 넓이(반원만으로 둘러싸여 있다)는 그 도형의 대칭축 \(FOC\)를 지름으로 하는 원의 넓이와 같다. 

 아르키메데스의 각의 3등분법도 '보조정리집'에 있다(명제 8).

먼저 각 \(ABC\)를 3등분할 각이라고 하자. \(B\)를 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 그린 뒤, \(AB,\,BC\)와 만나는 점을 각각 \(P,\,Q\)라 하고 \(CB\)의 연장과 만나는 점을 \(R\)이라 한다. 다음에 \(CQBR\)의 연장선 위에 점 \(S\)를 놓고, \(S\)와 \(P\)를 이은 선분이 원과 만나는 점을 \(T\)라 하는데 \(ST=BQ=BP=BT\)가 되도록 직선 \(STP\)를 그린다. 그러면 삼각형 \(STB\)와 삼각형 \(TBP\)는 이등변삼각형이므로 각 \(BST\)는 각 \(QBP\)의 \(\frac{1}{3}\)이 됨을 알 수 있다. 물론 아르키메데스와 그 시대 수학자들은 이 방법이 플라톤의 의도(자와 컴파스만으로 작도)에 따른 정통적인 각의 3등분이 아닌 것을 알고 있었다.

 

12. 준정다면체와 삼각뿔

 

 아르키메데스의 저작은 일부만 남아있는데, 이는 뒤에 쓰인(파푸스에 의한) 주석서에서 그가 이른 바 준정다면체 13개의 예를 모두 발견한 것을 알 수 있다는 데서 확인할 수 있다. 

 정다면체는 모든 면이 같은 모양의 정다각형인데 준정다면체는 각 면이 정다각형이지만 모두가 같은 모양이 아닌 볼록다면체이다.

 아르키메데스 저작이 상당히 없어진 것은 수 많은 참고문헌을 통해 알 수 있다. 아라비아 학자들은 보통 헤론의 공식이라고 하는 다음의 공식을$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\left(s=\frac{a+b+c}{2}\right)$$헤론보다 몇 세기 앞선 아르키메데스도 알고 있었다고 한다. 또 아라비아 수학자들은 '꺾인 현의 정리'도 아르키메데스의 업적이라고 한다. 그 정리는

원 위의 점 \(B\)에서 꺾인 현 \(AB\)와 \(BC\,(AB\neq BC)\)가 있고, \(M\)을 호 \(ABC\)의 중점, 긴 현에 내린 수선의 발을 \(F\)라 하면, \(F\)는 꺾인 현 \(ABC\)의 중점이 된다는 것이다.

 아라비아인에 따르면 아르키메데스는 이 정리를 여러가지로 증명했는데, 그 하나는 그림과 같이 먼저 \(FC'=FC\)가 되도록 점선을 긋고, \(\triangle MBC'\equiv\triangle MBA\)임을 증명한 것이다. 그러면 \(\hat{BC'}=\hat{BA}\)가 되고, 따라서 \(C'F=AB+BF=FC\)가 된다.

 이 정리에서 아르키메데스가 삼각버의 의미를 알고 있는지는 알 수 없지만 그에게서 이 정리는 지금의 공식$$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x \sin y$$와 비슷한 역할을 한다. 

 여기서 공식이 성립함을 보이기 위해 \(\hat{MC}=2x\), \(\hat{BM}=2y\)라 한다. 그러면 \(\hat{AB}=2x-2y\)가 되고, 세 호에 대응하는 현은 각각 \(MC=2\sin x\), \(BM=2\sin y\), \(AB=2\sin(x-y)\)이다. 게다가 \(MC\)와 \(MB\)를 \(BC\)위로 내린 정사영은 \(FC=2\sin x\cos y\), \(FB=2\sin y\cos x\)이다. 마지막으로 꺾인 현의 정리를 \(AB=FC-FB\)로 고쳐쓰고 각 현을 삼각함수식으로 바꾸면 \(\sin(x-y)\)의 분해식을 얻는다. 그리고 물론 삼각법의 그 밖의 공식도 이와 같은 꺾인 현의 정리에서 유도할 수 있다. 이는 아르키메데스가 천문학 계산에서 이 정리가 매우 쓸모 있는 도구임을 알고 있던 것을 가르키는 것이다. 

 

13. 방법

 

 유클리드 원론과 달리 아르키메데스의 논문의 실마리는 가는 실과 같다. 6세기의 에우토키우스 시대에는 수많은 아르키메데스 저작 중 '평면에 관하여', 불완전한 '원의 측정', '구와 원기둥에 관하여' 이 세 가지만이 알려졌다. 그런데 20세기에 '방법'이라는 논문이 발견되었다.

 아르키메데스의 '방법'은 다른 저작에서는 볼 수 없는 아르키메데스의 사고 방법의 일면을 엿보게 해주는 점에서 특히 중요한 의의가 있다. 그러나 넓이를 선분의 합으로 가정하는 엄밀성이 결여된 부분도 있다.

 방법은 15개 명제로 되어있는데 거의 알렉산드리아 대학의 수학자이자 서사인 에라토스테네스에게 보내는 편지 형식을 취하고 있다.

 먼저 그는 증명하고, 다음으로 자신이 몇 가지를 증명할 수 있게 해준 어떤 '기계적' 연구방법을 알고 있다고 했다. 그 방법으로 맨 처음으로 발견한 정리는 포물선 조각의 넓이에 관한 것이었다. 

 '방법'의 명제 1에서는 역학에서 무게의 균형을 잡을 때처럼 어떻게 선분의 균형을 잡아 이 정리에 도달했는가를 설명하고 있다. 

 그는 포물선 조각 \(ABC\)와 삼각형 \(AFC\)(\(FC\)는 \(C\)에서 그은 포물선의 접선)를 각각 포물선의 지름 \(QB\)에 평행한 선분으로 보았다. 곧 조각에서는 \(OP\)와 같은 선분의 모임, 삼각형에서는 \(OM\)과 같은 선분의 모임을 생각한 것이다.

 그런데 여기서 \(OP\)와 똑같은 선분이 \(H\)(여기서 \(HK=KC\))에 있다면, 이것은 선분 \(OM\)과 \(K\)를 받침점으로 하여 균형을 이룰 것이다. 따라서 포물선 조각의 중심이 \(H\)와 일치하는 곳에 있을 때 그것은 정확히 삼각형 \(AFC\)와 균형을 이룰 것이다. 그리고 이때 삼각형의 중심은 \(KC\)위에 \(K\)에서 \(C\)쪽으로 \(\frac{1}{3}\)인 곳에 있다. 이상에서 포물선의 조각의 넓이는 삼각형 \(AFC\)의 넓이의 \(\frac{1}{3}\), 결국 포물선 내접 삼각형 \(ABC\)넓이의 \(\frac{4}{3}\)인 것을 알 수 있다(이것은 지레의 원리와 포물선의 성질에서 알 수 있다). 포물선의 성질로부터$$MO:OP=CA:AD=CK:KN=HK:KN\,(\because\,CK=HK)$$이므로 따라서 \(MO:OP=HK:KN\)이고 \(OP\cdot HK=MO\cdot KN\)이다.

 

14 구의 부피

 

 아르키메데스의 '방법' 명제 2는 아르키메데스가 좋아하는 정리이다.

 

"구의 임의의 토막과 밑면과 높이가 같은 원뿔 부피의 비는, 구의 반지름에 남은 토막의 높이를 더한 것과 남은 토막의 높이의 비와 같다"

 이 정리는 아르키메데스가 발견한 훌륭한 균형의 성질에서 쉽게 유도된다(현대의 공식으로도 쉽게 확인할 수 있다).

 먼저 \(O\)가 중심이고 \(AC\)가 지름인 원 \(AQDCP\)를 구의 단면, \(AUV\)를 \(AC\)가 축이고 \(UV\)가 밑면의 지름인 직원뿔의 단면이라 하자. 또 \(IJVU\)를 \(AC\)가 축이고 \(UV=IJ\)가 지름인 직원기둥의 단면, \(AH=AC\)로 한다. 그리고 축 \(AC\)위의 임의의 점 \(S\)를 지나 \(AC\)에 수직인 평면을 생각할 때 그 평면이 원뿔, 구, 원기둥을 자른 면은 각각 반지름이 \(r_{1}=SR\), \(r_{2}=SP\), \(r_{3}=SN\)인 원으로 될 것이다. 그렇게 만들어진 원의 넓이를 \(A_{1},\,A_{2},\,A_{3}\)으로 할 때, 아르키메데스는 \(A_{1},\,A_{2}\)를 옮겨 중심이 \(H\)가 되도록 놓으면 본래 자리에 있던 \(A_{3}\)과 \(A\)를 받침점으로 하여 정확히 균형을 이루는 것을 발견한 것이다. 

 따라서 구, 원뿔, 원기둥의 부피를 각각 \(V_{1},\,V_{2},\,V_{3}\)으로 하면 \(V_{1}+V_{2}=\frac{1}{2}V_{3}\)으로 되고, \(V_{2}=\frac{1}{3}V_{3}\)에서 구의 부피는 \(\frac{1}{6}V_{3}\)으로 될 것이다. 원기둥의 부피 \(V_{3}\)은 (데모크리투스와 에우독소스로부터) 알 수 있으므로 구의 부피 \(\left(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)\)도 알 수 있다. 또 이러한 균형을 잡는 방법을 밑면의 지름이 \(BD\)인 구의 토막, 밑면 지름이 \(EF\)인 원뿔, 밑면 지름이 \(KL\)인 원기둥에 적용하면 구 토막의 부피도 구 전체와 마찬가지로 구할 수 있다.

 

15. '방법'의 발견

 

 원형 절단면을 원래 도형의 꼭짓점ㅇ르 받침점으로 하여 균형을 잡는 방법을 이용하여 아르키메데스는 3가지 회전체(타원면, 포물면, 쌍곡면)의 토막 부피를 구하고, 또 포물면(코노이드)과 임의의 반구, 그리고 반원의 중심을 찾고 있다.

 '방법'은 현대의 적분에서 자주 다루는 두 입체(직원기둥을 두 평면으로 잘랐을 때 생기는 쐐기꼴 부분과 지름이 같은 직원기둥 두 개가 직각으로 만났을 때 생기는 공통부분)의 부피를 구하는 것으로 끝맺는다.

 아르키메데스의 논문 '구와 원기둥에 관하여', '나선에 관하여'의 대부분, '원의 측정'과 '평면의 균형에 관하여'의 일부분과 '부체에 관하여'는 다른 사본이 존재하나 '방법'은 양피지로 쓴 사본 하나만이 존재한다.

 이들 논문은 양피지에 기록되었는데 에우콜로기몬(동방정교회에서 사용하던 기도문과 의식문집)에 사용되어 원문을 지우고 새로 썼는데 '방법'을 제외한 나머지는 다른 사본이 있었고, '방법'만 에우콜로키온이 덧쓰인 채 하나만 남았다.

 

참고자료:  
수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김