수학사 13-알렉산드리아의 유클리드(1)

수학사 13-알렉산드리아의 유클리드(1)

 

 

1. '원론'의 저자

 

 알렉산더 대왕 사후 프톨레마이오스 1세는 무세이움(Museum)이라는 학교(정확히는 연구소)를 알렉산드리아에 세웠다. 그는 1류학자들을 불러모았는데 이 중에는 '원론'의 저자 유클리드가 있었다.

 그러나 이 저자와 저서의 명성에 비해 유클리드의 삶에 대해서는 불명확해서 알려진 사실이 적다. 유클리드는 아카데미에 가입하지 않고 플라톤의 제자들과 함께 배웠다고 생각되고, 프톨레마이오스왕에게 "기하학에는 왕도가 없다", 또한 제자 중 한 사람이 실용성에 의문을 제기하자 하인으로 하여금 그 제자에게 돈을 주고, 그 제자를 파문시켰다고 한다.

 

2. 그 밖의 저작

 

 유클리드의 저작 중 현재까지 전해지는 것은 '원론', '자료론', '도형분할론', '천문협상론', '광학' 이 5가지이다. 그 중 광학은 투시화법 또는 시선의 기하학에 대한 초기 성과로서 흥미가 있다.

 고대 사람들은 (1) 광학(시선의 기하학), (2) 반사광학(반사광선의 기하학), (3) 굴절광학(굴절광선의 기하학)을 다룬 '반사광선' 논문을 유클리드의 것이라고 하나 신뢰성에서 의심받고 있고, 6세기 뒤의 테온의 논문으로 여겨진다.

 유클리드의 광학은 시선의 '방사설'을 받아들이고 있다. 이 착설에서 눈은 물체에 도달하는 빛을 발한다고 하는데 이는 매질 속의 변동이 물체에서 눈까지 직선으로 전달된다는 아리스토텔레스의 학설과 대조적이다(물리학과는 달리). 투시화법의 수학에서는 이 두개의 가설 중 어느쪽을 받아들여도 마찬가지라는 것에 주목해야 한다. '광학'의 정리 가운데는 다음의 고대에 널리 사용된 성질이 있었다.$$0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}\,\text{이면},\,\frac{\tan\alpha}{\tan\beta}<\frac{\alpha}{\beta}$$그런데 광학이 쓰인 목적은 눈에 보이는 것과 똑같은 크기라는 에피쿠로스 학파의 주장(투시화법에서처럼 단축은 인정되지 않는다)과 정면으로 충돌하는 것이다.

 유클리드의 '도형 분할론'은 아라비아 학자들에 의해 전해지고 있고 평면도형의 분할에 관한 36개의 명제를 담고 있었다.

 보기를 들어 명제 1은 삼각형의 넓이를 이등분하는 밑변에 평행한 직선을 작도하는 것이다. 명제 4는 사다리꼴 \(abcd\)를 밑변에 평행한 직선으로 이등분하는 문제로

구하는 선분 \(zi\)는 \(\overline{ze}^{2}=\frac{1}{2}(\overline{eb}^{2}+\overline{ea}^{2})\)이 되도록 \(z\)를 구함으로써 결정된다. 

 다른 명제에서는 평행사변형을 한 변 위의 주어진 점을 지나는 직선으로 넓이가 같은 두 부분으로 나누는 방법(명제 6)과, 그 정점이 평행사변형의 바깥쪽에 있는 경우에 나누는 방법(명제 10) 같은 것을 다룬다. 마지막 명제에서는 사변형을 한 변 위에 놓인 점을 지나는 직선으로 주어진 비가 되도록 사변형의 넓이를 나누는 방법을 다루고 있다.

 이 '도형 분할론'의 내용과 목적이 비슷한 저서는 '자료론'인데 이것은 원론의 1~6권의 자매편으로, 교과서를 보충하는 편람과 같은 것이었다.

 이 책의 본문은 문제에서 제시되는 조건이나 양의 의미를 설명하는 95개의 항목으로 되어있다. 

 처음 두 항목은 두 양 \(a,\,b\)가 주어지면 비를 구할 수 있고, 하나의 양과 그것에 관한 두 번째 양의 비가 주어지면 두 번째 양을 구할 수 있다는 사실을 기술하고 있다.

 그것과 항목이 비슷한 24개 정도가 있는데 이것들은 대수법칙이나 공식으로 제 구실을 하고 있다. 다음으로 평행선과 비례량에 관한 간단한 기하학 법칙이 실려있고, 문제에 주어지는 자료의 의미를 학생들에게 상기시키고 있다. 보기를 들면 두 선분이 주어진 비를 이루고 있을 때 그 선분들 위에 놓인 닮은 사변형의 넓이의 비도 알 수 있다고 조언하고 있다.

 또 몇 개의 항목은 이차방정식의 풀이를 기하학 표현으로 바꿔 나타낸 것이다. 보기를 들어 주어진 직사각형이 넓이 \(AB\)를 주어진 길이의 선분 \(AC\)위에 놓을 때

직사각형 전체 \(AD\)의 넓이와 \(AB\)의 넓이의 차 \(BC\)가 주어진다면 직사각형 \(BC\)의 각 길이를 구할 수 있다는 것이고 현대 기하학을 이용하여 참임을 증명할 수 있다. 

 \(AC\)의 길이를 \(a\), 직사각형 \(AB\)의 넓이를 \(b^{2}\), \(FC\)와 \(CD\)의 비를 \(c:d\)로 한다. 그리고 \(FC=x\), \(CD=y\)라 하면 \(\frac{x}{y}=\frac{c}{d}\)이면서 \((a-x)y=b^{2}\)가 된다. \(y\)를 소거하면 \((a-x)dx=b^{2}c\), 곧 \(dx^{2}-adx+b^{2}c=0\)이 되고 이것으로부터 \(x=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}c}{d}}\)를 얻는다.

 유클리드의 기하학적 풀이법은 이 식에서 근호 앞 음의 기호를 뺀 것과 같다.

 자료론의 항목 84, 85는 연립방정식 \(xy=a^{2}\), \(x\pm y=b\)로 잘 알려진 대수적 풀이법을 기하학적 표현으로 바꾼 것이다. 자료론 마지막 몇 개 항목에서는 주어진 원 안에서 선의 길이와 각도의 관계를 대루고 있다. 

 

3. '원론'을 쓴 목적

 

 알렉산드리아에 있던 대학은 현대의 고등교육기관과 거의 차이가 없다. 교사들 중에는 연구에 뛰어난 자, 관리행정에 적당한 자, 가르치는 능력이 뛰어난 자가 있었을 것이다. 유클리드는 마지막 분류에 해당하는 사람이었다. 이 것은 새로 발견한 것은 없으나 뛰어난 해설 능력을 지녔다는 것이다. 

 원론은 교과서였지만 최초의 교과서는 아니었다. 그 이전에 적어도 세 개가 있었으나 지금은 전해지지 않고 원론만 남았다. 결국(영국: 고등산술, 미국: 수론) 산술과 (점, 선, 면, 원, 구의) 종합 기하학, 그리고(기하학적) 대수를 내용으로 하고 있다. 이른 바 계산술이 없다는 사실이 주목된다. 마찬가지로 원뿔곡선이나 고등 평면곡선의 연구도 원론에 포함되지 않았는데 이들은 더 발달된 수학의 일부를 구성하는 것이었기 때문이었다.

 프로클로스는 알파벳과 언ㄴ어의 관계처럼 원론도 수학의 나머지 부분과 같은 식의 관계가 있다고 했다. 원론은 다염ㄴ한 일, 곧 초등수학의 기초를 논리적으로 순서있게 해설하는 것에만 엄격히 한정한다. 유클리드의 원론은 독창적인 것은 아니다. 그러나 내용 정리와 배열, 내용 보충은 유클리드가 했고, 역사상 가장 저명한 수학서가 어느 정도까지 독창적으로 쓰인 것인가에 대해서는 더 이상 알 길이 없다.

 

4. 정의와 공준

 

 원론은 총 13권으로 되어있다. 첫 6권은 초등 평면기하학, 다음 3권은 수론, 제 10권은 약분 불가능량, 마지막 3권은 주로 입체기하학에 관한 내용을 담고 있다.

 원론에는 머릿말이 없고, 제 1권은 곧바로 23개의 정의를 나열하면서 시작한다. 다른 용어를 정의하기 위한 무정의 용어가 없었기 때문에 이들 정의의 일부가 실질적으로 정의되지 않는 결점이 있었다. 정의란 그것에 앞선 사항을 사용하여 표현하지 않으면 안되고 그것들의 앞선 사항은 정의되는 사항보다도 잘 알고 있어야 되기 때문이다.

 정의에 이어서 유클리드는 공준 5개와 공통개념 5개를 들고 있다. 그런데 아리스토텔레스는 공리(또는 공통개념)와 공준을 확실히 구별했는데 전자는 그 자체가 자명한 명제(모든 학문에 보편적인 진리)여야 하고, 후자는 그보다 자명하지 않으나 학습자의 동의를 전제로 하지 않아도 되는 사항이었다(당면한 문제에만 관계하는 사항이었기 때문). 또 뒤에 몇 저자는 가정을 두 형태로 나누어 자명한 것으로 알려져 있거나 받아들이는 성질에 대해 공리라는 말을 썼고, '요청'될 만한 성질에 대해 '공준'이라는 말을 썼다. 그러나 유클리드가 앞에서 서술한 견해 중 어느 쪽을 지지했는지, 또 가정을 두 개로 구별했는지 알 수 없다. 현대 수학자들은 공리와 공준 사이에 본질적인 차이가 없다고 보고 있다. 원론의 대부분 판에서는 다음의 10가지 가정을 두고 있다.

 

공준: 다음 사항들이 미리 요청되어 있다고 하자.

1. 임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 긋는 일

2. 유한한 직선을 연속하여 직선으로 연장하는 일

3. 임의의 중심과 반지름을 갖는 원을 그리는 일

4. 모든 직각은 서로 같다는 것

5. 한 직선이 두 직선과 만날 때 같은 쪽의 내각의 합이 두 직각보다 작다면, 이 두 직선은 한없이 연장할 때, 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 만나는 사실

공통개념

1. 같은 것과 같은 것들은 또한 서로 같다.

2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체끼리는 서로 같다

3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 남은 것 끼리는 서로 같다

4. 서로 포갤 수 있는 둘은 서로 같다.

5. 전체는 부분보다 크다.

 

 아리스토텔레스는 "다른 조건이 같다면 더 작은 수의 공준으로 끝내는 것이 좋다"고 썼으며, 유클리드도 이에 대해 찬성했다.

 공준 3은 문자 그대로 아주 좁은 의미로 해석되어 가끔 유크릴드의 컴파스 사용법을 서술했다고 전해진다. 이 컴파스의 다리는 앞 끝이 종이 위에 있는동안 두 다리가 일정한 각도로 벌어지고, 들어올리면 접한다.

 곧, 이 공준은 어떤 선분을 더욱 긴 다른 선분 위로 옮길 때, 긴 선분의 끝점에서 그 선분과 같은 길이가 되는 곳에 컴파스로 표시하는 것을 허락한다고 해석되지 않는 것이다.

 그와 같은 선분을 옮기는 작도는 공준 3을 엄격하게 해석해도 항상 가능하다는 것이 1권 처음명제 3개로 증명된다. 

 명제 1은 주어진 선분 \(AB\)위에 \(A\)를 중심으로 \(B\)를 지나는 원과, \(B\)를 중심으로 \(A\)를 지나는 원을 그려 이들 두 원의 교점(만나는 점을 암암리에 가정)을 \(C\)라고 하면, 정삼각형 \(ABC\)가 작도됨을 증명한다. 명제 2는 명제 1을 바탕으로 하여 임의의 점 \(A\)를 끝점으로 하여

주어진 선분  \(BC\)와 같은 선분을 작도할 수 있음을 나타낸다. 먼저 유클리드는 \(AB\)를 연결하여 그 위에 정삼각형 \(ABD\)를 그린다. 다음에 변 \(DA\)와 \(DB\)는 각각 점 \(E,\,F\)까지 연정한다. 그리고 나서 \(B\)를 중심으로 하여 점 \(C\)를 지나는 원을 그려 \(BF\)와 만나는 점을 \(G\)로 한다. 그리고 나서 점 \(D\)를 중밋으로 하여 점 \(G\)를 지나는 원을 그려 직선 \(DE\)와 만나는 점을 \(H\)라 하면, \(AH\)가 구하는 선분이라는 것은 쉽게 알 수 있다.

마지막으로 명제 3에서 유클리드는 명제 2를 사용하여 길이가 같지 않은 두 선분이 주어질 때 긴 선분에서 짧은 선분과 같은 길이의 선분을 잘라낼 수 있음을 보였다.

 

참고자료:

수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김